不定积分PPT资料.ppt
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,定理,存在原函数.,初等函数在定义区间上连续,初等函数在定义区间上有原函数,机动目录上页下页返回结束,原函数相差一个常数,定义,在区间I上的原函数全体称为,上的不定积分,其中,积分号;
被积函数;
被积表达式.,积分变量;
若,则,(C为任意常数),C称为积分常数不可丢!
例如,记作,机动目录上页下页返回结束,不定积分的几何意义:
的原函数的图形称为,的图形,的所有积分曲线组成,的平行曲线族.,机动目录上页下页返回结束,的积分曲线.,例1.设曲线通过点(1,2),且其上任一点处的切线,斜率等于该点横坐标的两倍,求此曲线的方程.,解:
所求曲线过点(1,2),故有,因此所求曲线为,机动目录上页下页返回结束,二、基本积分表,从不定积分定义可知:
或,或,(k为常数),机动目录上页下页返回结束,或,或,机动目录上页下页返回结束,机动目录上页下页返回结束,例2.求,解:
原式=,例3.求,解:
原式=,机动目录上页下页返回结束,三、不定积分的性质,机动目录上页下页返回结束,例4.求,解:
原式=,机动目录上页下页返回结束,例5.求,解:
原式=,例6.求,解:
原式=,机动目录上页下页返回结束,例7.求,解:
原式=,机动目录上页下页返回结束,8.求下列积分:
提示:
机动目录上页下页返回结束,9求不定积分,解:
机动目录上页下页返回结束,内容小结,1.不定积分的概念,原函数与不定积分的定义,不定积分的性质,基本积分表(见P186),2.直接积分法:
利用恒等变形,及基本积分公式进行积分.,常用恒等变形方法,分项积分,加项减项,利用三角公式,代数公式,积分性质,机动目录上页下页返回结束,思考与练习,1.证明,2.若,提示:
机动目录上页下页返回结束,提示:
3.若,是,的原函数,则,提示:
已知,机动目录上页下页返回结束,二、第二类换元法,一、第一类换元法,机动目录上页下页返回结束,换元积分法,第二类换元法,第一类换元法,基本思路,机动目录上页下页返回结束,设,可导,则有,一、第一类换元法,定理1.,则有换元,公式,(也称配元法,即,凑微分法),机动目录上页下页返回结束,例1.求,解:
令,则,故,原式=,注:
当,时,机动目录上页下页返回结束,例2.求,解:
令,则,想到公式,机动目录上页下页返回结束,例3.求,想到,解:
(直接配元),机动目录上页下页返回结束,例4.求,解:
机动目录上页下页返回结束,类似,例5.求,解:
原式=,机动目录上页下页返回结束,常用的几种配元形式:
万能凑幂法,机动目录上页下页返回结束,例6.求,解:
原式=,例8.求,解:
原式=,机动目录上页下页返回结束,例9.求,解法1,解法2,两法结果一样,机动目录上页下页返回结束,例10.求,解法1,机动目录上页下页返回结束,解法2,同样可证,或,机动目录上页下页返回结束,例11.求,解:
原式=,机动目录上页下页返回结束,例12.求,解:
机动目录上页下页返回结束,例13.求,解:
原式=,机动目录上页下页返回结束,例14.求,解:
原式=,机动目录上页下页返回结束,分析:
例15.求,解:
原式,机动目录上页下页返回结束,小结,常用简化技巧:
(1)分项积分:
(2)降低幂次:
(3)统一函数:
利用三角公式;
配元方法,(4)巧妙换元或配元,万能凑幂法,机动目录上页下页返回结束,利用积化和差;
分式分项;
利用倍角公式,如,思考与练习,1.下列各题求积方法有何不同?
机动目录上页下页返回结束,2.求,提示:
法1,法2,法3,作业目录上页下页返回结束,二、第二类换元法,机动目录上页下页返回结束,第一类换元法解决的问题,难求,易求,若所求积分,易求,则得第二类换元积分法.,难求,,定理2.设,是单调可导函数,且,具有原函数,证:
令,则,机动目录上页下页返回结束,则有换元公式,例16.求,解:
令,则,原式,机动目录上页下页返回结束,例17.求,解:
令,则,原式,机动目录上页下页返回结束,例18.求,解:
令,则,原式,机动目录上页下页返回结束,令,于是,机动目录上页下页返回结束,说明:
被积函数含有,时,除采用,采用双曲代换,消去根式,所得结果一致.,或,或,机动目录上页下页返回结束,三角代换外,还可利用公式,原式,例19.求,解:
令,则,原式,当x0时,类似可得同样结果.,机动目录上页下页返回结束,