苏科版中考数学必考经典题学案-1.数与式问题Word下载.doc

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（1）在运算中每个根式可以看做是一个“单项式“，多个不同类的二次根式的和可以看作“多项式“．

（2）二次根式的运算结果要化为最简二次根式．

（3）在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍

【题型剖析】

【类型1】实数综合计算

【例1】

（2019•苏州）计算：

（）2+|﹣2|﹣（π﹣2）0

【分析】直接利用绝对值的性质以及零指数幂的性质分别化简得出答案．

【解析】原式＝3+2﹣1＝4．

方法小结：

本题考查实数的综合运算能力，是各地中考题中常见的计算题型．解决此类题目的关键是熟记特殊角的三角函数值，熟练掌握负整数指数幂、二次根式、绝对值等考点的运算．

【变式1-1】

（2019•宿迁）计算：

（）﹣1﹣（π﹣1）0+|1|．

【分析】直接利用负指数幂的性质和零指数幂的性质、绝对值的性质分别化简得出答案．

【解析】原式＝2﹣11

．

【变式1-2】

（2019•连云港）计算（﹣1）×

2（）﹣1．

【分析】分别根据有理数乘法的法则、二次根式的性质以及负整数指数幂化简即可求解．

【解析】原式＝﹣2+2+3＝3．

本题考查了实数的运算法则，属于基础题，解答本题的关键是熟练掌握二次根式的化简以及负整数指数幂．

【变式1-3】

（2019•盐城）计算：

|﹣2|+（sin36°

）0tan45°

【分析】首先对绝对值方、零次幂、二次根式、特殊角三角函数分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果，

【解析】原式＝2+1﹣2+1＝2．

【类型2】：

整式的化简求值

【例2】

（2019•南京）计算（x+y）（x2﹣xy+y2）

【分析】根据多项式乘以多项式的法则，可表示为（a+b）（m+n）＝am+an+bm+bn，计算即可．

【解析】

（x+y）（x2﹣xy+y2），

＝x3﹣x2y+xy2+x2y﹣xy2+y3，

＝x3+y3．

故答案为：

x3+y3．

本题主要考查多项式乘以多项式的法则．注意不要漏项，漏字母，有同类项的合并同类项．

【变式2-1】

（2019•建湖县二模）先化简，再求值：

（x﹣3）2+2（x﹣2）（x+7）﹣（x+2）（x﹣2），其中x2+2x﹣3＝0．

【分析】原式利用完全平方公式，平方差公式，以及多项式乘以多项式法则计算，去括号合并得到最简结果，求出方程的解得到x的值，代入计算即可求出值．

【解析】原式＝x2﹣6x+9+2x2+10x﹣28﹣x2+4＝2x2+4x﹣15，

由x2+2x﹣3＝0，得到x2+2x＝3，

则原式＝2（x2+2x）﹣15＝6﹣15＝﹣9．

【变式2-2】

（2019•宜兴市二模）

（1）计算：

（3﹣π）0﹣（）﹣2﹣tan30°

（2）化简：

（2a﹣b）2﹣（a﹣b）（4a﹣b）

【分析】

（1）根据零指数幂，负整数指数幂，特殊角的三角函数值进行计算，再求出即可；

（2）先算乘法，再合并同类项即可．

（1）原式＝1﹣4

＝﹣3；

（2）原式＝4a2﹣4ab+b2﹣4a2+ab+4ab﹣b2

＝ab．

【变式2-3】

（2019•江都区一模）

（1）计算：

2cos45°

+|1|（﹣2019）0

（2+a）（2﹣a）+a（a﹣1）

（1）先算三角函数值，去绝对值，根式化简和零指数，然后分数约分和去括号，最后合并同类二次根式．

（2）是整式加减乘除混合运算，平方差公式，再单项式×

多项式，最后合并同类项．

（1）原式═2

（1）﹣21

═1﹣21

═0

（2）原式═22﹣a2+a2﹣a

═4﹣a

第

（1）题考查了学生对实数运算的基本运算能力是否具有方向性，同时求三角函数值、零指数，无理数的估算，去绝对值、二次根式化简等放到实数运算中，让一部分学生计算中不知道怎样处理，这给课堂提出了更高的要求；

第

（2）考查了整式的运算，学生只要理解整式运算顺序，才会计算此题，同时平方差公式的运用既体现多项式×

多项式的法则通法通解，也体现了该公式特殊性．两个小题放在一起，既可以类比学习从熟悉的实数运算到式的运算，又为梯度式教学设计提供一个很好的教学素材模式．

【类型3】：

因式分解

【例3】

（2019•苏州）因式分解：

x2﹣xy＝　　．

【分析】直接提取公因式x，进而分解因式即可．

【解析】x2﹣xy＝x（x﹣y）．

x（x﹣y）．

此题主要考查了提取公因式法分解因式，正确找出公因式是解题关键．

【变式3-1】

（2019•南京）分解因式（a﹣b）2+4ab的结果是　　．

【分析】直接利用多项式乘法去括号，进而合并同类项，再利用公式法分解因式得出答案．

（a﹣b）2+4ab

＝a2﹣2ab+b2+4ab

＝a2+2ab+b2

＝（a+b）2．

（a+b）2．

【变式3-2】

（2019•无锡）分解因式4x2﹣y2的结果是（　　）

A．（4x+y）（4x﹣y） B．4（x+y）（x﹣y）

C．（2x+y）（2x﹣y） D．2（x+y）（x﹣y）

【分析】直接利用平方差公式分解因式得出答案．

【解析】4x2﹣y2＝（2x+y）（2x﹣y）．

故选：

C．

【变式3-3】

（2019•广陵区校级二模）下列多项式因式分解的结果不含a﹣1的是（　　）

A．a2﹣1 B．a2﹣a C．a2﹣a﹣2 D．a4﹣1

【分析】各项分解得到结果，即可作出判断．

【解析】A、原式＝（a+1）（a﹣1），不符合题意；

B、原式＝a（a﹣1），不符合题意；

C、原式＝（a﹣2）（a+1），符合题意；

D、原式＝（a2+1）（a+1）（a﹣1），不符合题意，

此题考查了因式分解﹣十字相乘法，以及提公因式法，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．

【类型4】：

分式的化简求值

【例4】

（2019•南通）先化简，再求值：

（m），其中m2．

【分析】先化简分式，然后将m的值代入计算．

【解析】原式

•

＝m2+2m，

当m2时，

原式＝m（m+2）

＝

（2）（2+2）

＝2﹣2

【变式4-1】

（2019•淮安）先化简，再求值：

（1），其中a＝5．

【分析】根据分式的混合运算法则把原式化简，代入计算即可．

（1）

（）

＝a+2，

当a＝5时，原式＝5+2＝7．

【变式4-2】

（2019•苏州）先化简，再求值：

（1），其中，x3．

【分析】先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再将x的值代入计算可得．

【解析】原式（）•，

当x3时，

原式．

【变式4-3】

（2019•盐城）

【生活观察】甲、乙两人买菜，甲习惯买一定质量的菜，乙习惯买一定金额的菜，两人每次买菜的单价相同，例如：

第一次

菜价3元/千克

质量

金额

甲

1千克

3元

乙

第二次：

菜价2元/千克

　2　元

　1.5　千克

（1）完成上表；

（2）计算甲两次买菜的均价和乙两次买菜的均价．（均价＝总金额÷

总质量）

【数学思考】设甲每次买质量为m千克的菜，乙每次买金额为n元的菜，两次的单价分别是a元/千克、b元/千克，用含有m、n、a、b的式子，分别表示出甲、乙两次买菜的均价、，比较、的大小，并说明理由．

【知识迁移】某船在相距为s的甲、乙两码头间往返航行一次．在没有水流时，船的速度为v，所需时间为t1；

如果水流速度为p时（p＜v），船顺水航行速度为（v+p），逆水航行速度为（v﹣p），所需时间为t2．请借鉴上面的研究经验，比较t1、t2的大小，并说明理由．

（1）金额＝单价×

质量可求第二次甲的金额与乙的质量；

（2）利用均价＝总金额÷

总质量可求甲两次买菜的均价和乙两次买菜的均价；

【数学思考】分别表示出、，然后求差，把分子配方，利用偶次方的非负性可得答案；

【知识迁移】分别表示出、，然后求差，判断分式的值总小于等于0，从而得结论．

（1）2×

1＝2（元），3÷

2＝1.5（元/千克）

故答案为2；

1.5．

（2）甲两次买菜的均价为：

（3+2）÷

2＝2.5（元/千克）

乙两次买菜的均价为：

（3+3）÷

（1+1.5）＝2.4（元/千克）

∴甲两次买菜的均价为2.5（元/千克），乙两次买菜的均价为2.4（元/千克）．

【数学思考】，

∴═0

∴

【知识迁移】t1，t2

∴t1﹣t2═

∵0＜p＜v

∴t1﹣t2＜0

∴t1＜t2．

【类型5】：

代数计算的创新考法

【例5】

（2019•宿迁模拟）若2019个数a1、a2、a3、…、a2019满足下列条件：

a1＝2，a2＝﹣|a1+5|，a3＝﹣|a2+5|，…，a2019＝﹣|a2018+5|，则a1+a2+a3+…+a2019＝（　　）

A．﹣5040 B．﹣5045 C．﹣5047 D．﹣5051

【分析】通过前面几个数的计算，根据数的变化可得出从第3个数开始，按﹣2，﹣3依次循环，按此规律即可得出a1+a2+a3+…+a2019的值．

【解析】依题意，得：

a1＝2，

a2＝﹣|2+5|＝﹣7，

a3＝﹣|﹣7+5|＝﹣2，

a4＝﹣|﹣2+5|＝﹣3，

a5＝﹣|﹣3+5|＝﹣2，

a6＝﹣|﹣2+5|＝﹣3，

……

由上可知，这2019个数a1、a2、a3、…、a2019从第三个数开始按﹣2，﹣3依次循环，

故这2019个数中有1个2，1个﹣7，1009个﹣2，1008个﹣3，

∴a1+a2+a3+…+a2019＝2﹣7﹣2×

1009﹣3×

1008＝﹣5047，

【变式5-1】