高等数学配套教学课件3年专科第三版盛祥耀第三节函数的微分及其应用PPT课件下载推荐.ppt

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第三节函数的微分及其应用,一、微分概念,二、微分的几何意义,第二章导数与微分,三、微分的基本公式及其运算法则,四、微分在近似计算中的应用,当边长增加x时，,一、微分概念,先来看一个例子，边长为x的正方形，,其面积增加多少？

@#@,面积的增加部分记作S，,则,S=（x+x）2-x2,=2xx+（x）2，,当x很小时，例如x=1，x=0.01，则2xx=0.02，,设正方形的面积为S，,而另一部分x2=0.0001，,当x越小时，,x2部分就比2xx小的更多.,因此，如果要取S的近似值时，,显然2xx是S的一个很好的近似，,2xx就称为S=x2的微分.,定义设函数y=f（x）在点x的一个邻域内有定义，,y=Ax+，,其中A与x无关，是x的高阶无穷小量，,则称Ax为函数y=f（x）在x处的微分，记作dy，即,dy=Ax.,这时也称函数y=f（x）在点x处可微.,如果函数f（x）在点x处的增量y=f（x+x）-f（x）可以表示为,例1设y=x3，求x=1处的微分.,解,y=（1+x）313=3x+3（x）2+（x）3.,上式可以看成两部分组成，,它是x的高阶无穷小量，,所以函数y=x3在点x=1处的微分是,dy=3x.,为了方便起见，把自变量的增量x写成dx，即,x=dx.,从而,dy=Adx.,第一部分具有Ax形式的是3x，,第二部分是3（x）2+（x）3，,这是因为,则函数y=f（x）在点x处可导，,反之，如果函数y=f（x）在点x处可导，,证因为f（x）在点x处可微，,即f（x）在点x处可导，且A=f（x）.,y=Ax+.,且A=f（x）.,所以有,定理1设函数y=f（x）在点x可微，,则f（x）在点x可微.,从而有,（这是根据极限与无穷小的关系得出的）.,得,y=f（x）x+x.,所以，函数f（x）可微.,且,dy=f（x）x或,dy=f（x）dx.,反之，因f（x）在x处可导，,即,我们可以把理解为两个微分的商.,函数f（x）在x处可微的充要条件是函数f（x）在x处可导.,上述定理可叙述为：

@#@,式也可以写为,此式说明，dy与dx之商即函数的微分与自变量微分之商就是函数f（x）的导数.,因而，导数也称为微商.,解因为,所以,例2求函数y=2lnx在x处的微分，并求当x=1时的微分（记作dy|x=1）.,N,T,M,P,二、微分的几何意义,如图所示，,就是曲线y=f（x）在点P处切线的纵坐标在相应处x的增量，,而y就是曲线y=f（x）的纵坐标在点x处的增量.,x,x+x,PN=dx，,NM=y，,所以dy=NT，,NT=PNtan,=f（x）dx，,即函数y=f（x）的微分dy,1.基本初等函数的微分公式,dc=,三、微分的基本公式及其运算法则,0.,dx=,x-1dx.,dex=,exdx.,dax=,axlnadx.,dsinx=,cosxdx.,dcosx=,-sinxdx.,dtanx=,sec2xdx.,dcotx=,-csc2xdx.,dsecx=,secxtanxdx.,dcscx=,-cscxcotxdx.,2.微分的四则运算,定理2设函数u、v可微，,则,d（uv）=dudv.,d（uv）=udv+vdu.,证上述三个公式证法均类似，,其余由读者作为练习自证之.,d（uv）=（uv）dx=（uv+vu）dx,=uvdx+vudx.,因为vdx=dv，udx=du.,所以有,d（uv）=udv+vdu.,推论1当v为常数c时，则d（cu）=cdu.,推论2当v=1时，,我们只证第二个，,则,例3设y=3extanx，,求dy.,解,dy=d（3ex）dtanx,=3dexsec2xdx,=3exdxsec2xdx=（3exsec2x）dx.,例4设y=excosx，求dy.,解,dy=d（excosx）,=exdcosx+cosxdex,=-exsinxdx+excosxdx,=ex（cosx-sinx）dx.,解,3.复合函数的微分,定理3设函数y=f（u），u=（x）均可微，,dy=f（u）（x）dx.,则y=f（x）也可微，,且,由于du=（x）dx，,所以上式可写为,dy=f（u）du.,从上式的形式看，,它与y=f（x）的微分dy=f（x）dx形式一样，这叫一阶微分形式不变性.,其意义是：

@#@不管u是自变量还是中间变量，函数y=f（u）的微分形式总是dy=f（u）du.,例6设y=sin（2x），求微分dy.,解利用微分形式不变，,有,dy=cos2xd（2x）=2cos2xdx.,例7设y=e-3xcos2x，求dy.,解,dy=d（e-3xcos2x）,=e-3xdcos2x+cos2xde-3x,=-e-3xsin2xd（2x）+cos2xe-3xd（-3x）,=-e-3x（2sin2x+3cos2x）dx.,由此也可知,y=-e-3x（2sin2x+3cos2x）.,=-2e-3xsin2xdx-3cos2xe-3xdx,四、微分在近似计算中的应用,当|x|很小时（记作|x|1），,ydy.,即,f（x0+x）-f（x0）f（x0）x，,或,f（x）f（x0）+f（x0）（x-x0）.,有,解球的体积公式是,当r由4m增加到4+0.1m，,v的增加为v时，,vdv.,而dv=vdr=4r2dr，,即,v4r2dr.,此处dr=0.1，r=4.代入上式得体积近似增加了,v43.14420.120（m3）.,例8一个充好气的气球，半径为4m.,升空后，因外部气压降低气球半径增大了10cm，,问气球的体积近似增加多少？

@#@,例9计算cos3012的近似值.,解选函数f（x）=cosx，,f（x）=-sinx，,f（x0）=cos30，,代入公式,f（x）f（x0）+f（x0）（x-x0），,得,例10计算的近似值.,解选函数,f（x0）=2，,代入公式,f（x）f（x0）+f（x0）（x-x0），,得,例11试证当|h|1时，,eh1+h.,证选函数f（x）=ex，x0=0，,则x=h.,f（0）=1，,f（0）=1，,代入公式,f（x）f（x0）+f（x0）（x-x0），,有,eh1+1（h-0）=1+h.,f（x）=ex，,