高三数学备考冲刺140分问题33求圆锥曲线离心率或离心率范围含解析Word格式.doc

高三数学备考冲刺140分问题33求圆锥曲线离心率或离心率范围含解析Word格式.doc

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的范围.

【例1】已知两定点和,动点在直线上移动,椭圆以为焦点且经过点,则椭圆的离心率的最大值为（）

A．B．C.D．

【答案】A

【解析】关于直线的对称点为,连接交直线于点,则椭圆的长轴长的最小值为,所以椭圆的离心率的最大值为,故选A.

【点评】求解本题的关键是利用对称性求距离的最小值

【小试牛刀】已知椭圆与圆,若在椭圆上存在点P,使得由点P所作的圆的两条切线互相垂直,则椭圆的离心率的取值范围是（）

A．B．C．D．

【答案】C

【解析】椭圆上长轴端点向圆外两条切线PA,PB,则两切线形成的角最小,若椭圆上存在点P令切线互相垂直,则只需,即,

∴,解得,∴,即,而,

∴,即.

（二）借助题目中给出的不等信息

根据试题本身给出的不等条件,如已知某些量的范围,存在点或直线使方程成立,的范围等,进一步得到离心率的不等关系式,从而求解.

【例2】已知椭圆上一点关于原点的对称点为为其右焦点,若设且则椭圆离心率的取值范围是　　.

【答案】

【解析】左焦点为.连结可得四边形是矩形,所以.所以又所以..又因为,.所以.即.因为所以.所以.故填.

【点评】本题的关键是利用椭圆的定义建立等量关系式,然后借助已知条件利用三角函数的图象求解离心率的范围.

【小试牛刀】【百校联盟2018届TOP202018届高三三月联考】．已知平行四边形内接于椭圆，且，斜率之积的范围为，则椭圆离心率的取值范围是（）

A.B.C.D.

【解析】由题意，关于原点对称，设，，

，故选A.

（三）借助函数的值域求解范围

根据题设条件,如曲线的定义、等量关系等条件建立离心率和其他一个变量的函数关系式,通过确定函数的定义域后,利用函数求值域的方法求解离心率的范围.

【例3】已知椭圆与双曲线有相同的焦点,则椭圆的离心率的取值范围为（）

A．B．C．D．

【解析】∵椭圆,∴,,,,∵双曲线,,,,

∴由条件有,则,∴,由,有,,,∴,即,而,∴.

【点评】本题根据题设“相同的焦点”建立等量关系,得到函数关系式,进而根据m的范围,借助反比例函数求解离心率的范围.

【小试牛刀】已知二次曲线,则当时,该曲线的离心率的取值范围是（）

A．B．C．D．

【解析】由当时,二次曲线为双曲线,双曲线即为,且,则,即有,故选C.

（四）根据椭圆或双曲线自身的性质求范围

在求离心率的范围时有时常用椭圆或双曲线自身的性质,如椭圆中,,P是椭圆上任意一点,则等.

【例4】设为椭圆的左、右焦点,且,若椭圆上存在点使得,则椭圆的离心率的最小值为（）

A．B．C．D．

【答案】D

【解析】设,由圆锥曲线的共同特征可得,所以,即,所以,又,解得,所以离心率的最小值为,故选D．

【点评】为椭圆上的一点是本题的关键条件,根据圆锥曲线的共同特征把转化成基本量,,与的关系式,结合椭圆的范围,即可得到的不等式,从而求出其最小值．

【小试牛刀】【天津市南开区2019届高三上数学期末】已知双曲线的左、右焦点分别为、，点M在双曲线的左支上，且，则此双曲线离心率的最大值为　　

A． B． C．2 D．

【分析】先由双曲线的定义得到，再由点M在双曲线左支上，即可得出结果.

【解析】由双曲线的定义可得，根据点M在双曲线的左支上，可得，，双曲线离心率的最大值为，

故选A．

四、迁移运用

1．【湖南省怀化市2019届高三3月第一次模拟】两正数的等差中项为，等比中项为，且，则双曲线的离心率为（）

A． B． C． D．

【解析】因为两正数的等差中项为，等比中项为，所以，解得或，

因为，所以，所以.故选D

2．【江西省上饶市重点中学2019届高三六校第一次联考】设双曲线的右焦点为，过且斜率为1的直线与的右支相交不同的两点，则双曲线的离心率的取值范围是（）

A．B．C．D．

【解析】要使直线与双曲线的右支相交不同的两点，需使双曲线的其中一渐近线方程的斜率小于直线即，所以，所以，故选A

3．【江西省高安中学2019届高三上学期期中】如图，点在以为焦点的双曲线上，过作轴的垂线，垂足为，若四边形为菱形，则该双曲线的离心率为（）

A．B．2C．D．

【解析】

解：

由题意得：

四边形的边长为2c,连接,由对称性可知,||=||=2c,则三角形为等边三角形.

过点P作PH⊥x轴于点H,则∠=60，

||=2c,在直角三角形中,||=,||=,

则P（2c,）,连接,则||=.

由双曲线的定义知,2a=||-||=-2c=,

所以双曲线的离心率为e===，故选C.

4．【宁夏银川一中2019届高三第一次模拟】双曲线和直线，若过的左焦点和点的直线与平行，则双曲线的离心率为（）

过的左焦点和点的直线可写为：

，即

与平行

又

本题正确选项：

5．【辽宁省沈阳市东北育才学校2019届高三第五次模拟】如图，是双曲线的左、右焦点，过的直线与双曲线交于两点，若，则双曲线的离心率为（）

【解析】设，，则，，

根据双曲线的定义，得，即，

解之得：

；

因为，所以三角形是以为直角的直角三角形，

所以，因此；

在三角形中，

，可得，因此，该双曲线的离心率为.

故选A

6．【广东省韶关市2019届高三1月调研】设点为双曲线和圆的一个交点，若，其中为双曲线的两焦点，则双曲线的离心率为（）

A．2B．C．D．

【答案】B

【解析】圆是以原点为圆心，以为半径的圆，则，从而有，

∴|M|＝c，c，，由双曲线的定义得，得离心率为，

故选：

B.

7．【广东省华附、省实、广雅、深中2019届高三上学期期末联考】设，分别是椭圆的左、右焦点，若在直线其中上存在点P，使线段的垂直平分线经过点，则椭圆离心率的取值范围是　　

【解析】由题意得，，

设点，

则由中点公式可得线段的中点，

线段的斜率与的斜率之积等于，

即，

，

，，或舍去，

．

又椭圆的离心率，

故，

C．

8．【陕西省西安市西北工业大学附属中学2019届第一次适应性训练】设，是双曲线的两个焦点，P是C上一点，若，且的最小内角为，则C的离心率为　　

因为、是双曲线的两个焦点，是双曲线上一点，且满足，

不妨设是双曲线右支上的一点，由双曲线的定义可知

所以，，，

,为△最小边,

△的最小内角，根据余弦定理，

所以．

9．【北京市丰台区2019届高三上学期期末】已知抛物线的焦点与椭圆的一个焦点重合，且椭圆截抛物线的准线所得线段长为6，那么该椭圆的离心率为　　

【解析】易知抛物线的焦点（2，0），准线x=-2，

即椭圆的c=2，

因为抛物线的准线恰好过椭圆的焦点，即相交的线段为椭圆的通径；

即通径为，又因为c=2

解得a=4

所以离心率

故选D.

10．【四川省绵阳市2019上学期期末】若双曲线与双曲线有公共点，则双曲线离心率的取值范围是（）

由得的渐近线方程为，由得的渐近线方程为，

因为双曲线与双曲线有公共点，

所以只需，即，即，即，解得.

故选C

11．【河北省武邑中学2019届高三下学期第一次质检】已知直线与双曲线的斜率为正的渐近线交于点，曲线的左、右焦点分别为，若，则双曲线的离心率为（）

A．4或 B． C． D．

由渐近线方程与直线求出点A的坐标为,过A点作轴于点B，则

由已知可得

当时，则故舍去，综上

故选D

12．【贵州省贵阳市普通中学2019届高三年级第一学期期末】已知点F是双曲线的左焦点，点E是该双曲线的右顶点，过点F且垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B两点，若是钝角三角形，则该双曲线的离心率的取值范围是　　

【解析】双曲线关于x轴对称，且直线AB垂直x轴，

是钝角三角形，

是钝角，

即有，

为左焦点，过F且垂直于x轴的直线与双曲线交于A、B两点，

，即，

由，可得，

解得或，舍去，

则双曲线的离心率的范围是．

D．

13．【山东省临沂市2019届高三2月教学质量检测】点A、B分别为椭圆的左、右顶点，F为右焦点，C为短轴上不同于原点O的一点，D为OC的中点，直线AD与BC交于点M，且MF⊥AB，则该椭圆的离心率为

【解析】由题意如图：

MF⊥AB，且OC⊥AB，∴MFOC，同理MFOD，

∴①，，②

①②得到：

===,

∴2（a﹣c）＝c+a，

∴a＝3c，∴e．

B．

14．【吉林省长春市2019届高三质量监测

（二）】已知双曲线的左、右焦点分别为，，过且与渐近线垂直的直线分别与该渐近线和轴相交于，两点，为坐标原点，若，则双曲线的离心率为（）

A．B．C．2D．

【解析】由题意，取双曲线的一条渐近线，即，

则过右焦点与渐近线垂直的直线方程为，即，

又由焦点到渐近线的距离为，

又由，所以，即，

又由原点到的距离为，

在直角中，由射影定理得，即，

又由，整理得，所以，故选B.

15．【2019年四川省达州市一诊】已知椭圆的左右焦点分别为、，抛物线与椭圆C在第一象限的交点为P，若，则椭圆