有限元试题及答案[1]Word文档下载推荐.doc

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∴

二、设平面问题中的应力问题

其中（1、2、………9）为常数，令所有体积力为零，对下面特殊情况说明平衡是否满足？

为什么？

或者之间有什么关系才满足平衡。

（1）除，，外，其余为零。

（2）

（3）

（4）所有均为非零。

对于此平面问题，由力的平衡方程（体积力为零）：

可以得出

（1）当除，，外，其余为零时，，平衡方程成立，故此情况下平衡。

（2）当时，、并不一定为零，此情况下平衡方程并不一定成立，故此情况下不满足平衡，只有在时，才满足平衡。

（3）当时，平衡方程成立，故此情况下满足平衡。

（4）所有均为非零时，只有当，时，平衡方程才成立，才能够满足平衡，否则不平衡。

三、下列应力分布是否满足平衡条件（体积力为零），（2D平面应力问题），描述就如图所示平面结构，该应力函数所表示时得边界应力。

根据力得平衡方程（体积力为零时）

知

上两个等式成立，即平衡方程成立，即此情况满足平衡条件。

其边界应力，

，

作图如下：

故边界下应力如图2.2所示：

其边界得剪应力如图2.3所示：

四、如图所示已知，，（平面应力问题）

求：

（1）斜面上应力，的表达式

（2）最大主应力，最小主应力及此时斜面的方向余弦。

（1）由力的平衡知（设厚度为t）

..........①

..........②

又......③

由①③知........④

由②知.......⑤

④+⑤知

整理得........⑥

④-⑤整理得：

.......⑦

（2）由⑥知：

∴.........⑧

⑧式中，

为的函数，对⑧式两边进行求导，并令可得：

........⑨

对⑦式进行化简可得........⑩

⑨代入⑩中可得，即在所在斜面上确定得正应力即最大或最小主应力。

由⑧化简：

.........（11）

由⑨知

两边平面化简可得.........（12）

由⑨还知：

........（13）

（12）、（13）代入（11）可得时的：

∴最大主应力

最小主应力

由⑨式知

五、分别就下列情形，写出所有基本方程（分量形式，指标形式），各基本变量（分量形式、指标形式及对应关系）。

（1）1D情形

（2）2D情形

（3）3D情形

1D情形

a、基本变量

分量形式：

；

指标形式：

（）

对应关系：

b、基本方程

（体积力）

指标形式（）

分量形式

、、

指标形式（1，2）

（＝1，2）

（＝1，2）

对应关系，

，，

分量形式

几何变形方程

材料物理方程

或

力平衡方程

几何变形方程

材料物理方程

或

分量形式

指标形式

，，

，，

，，，

力平衡方程

几何变形方程

材料的物理方程

指标形式

几何变形方程

材料物理方程或（）

六、分别给出平面应力平面应变状态下的前提条件及表达式，推导两种情况下的物理方程，以及它们之间转换关系。

①前提条件:

1.平面应力：

设有很薄的厚度薄板，所受力在（xoy）平面且不随之变化，则在板内外表面有：

由于板很薄：

可以近似认为在整个板内外有：

，＝0，＝0

所有力学变量都是，函数，不随变化即，，（）

基本变量为、，、、，、、

2.平面应变：

设有一根无限长等截面柱形体，所承受外载不随变化，任一截面都为对称面，则有：

，＝0，，

所有变量都是、的函数，不随变化。

则，，（）

基本变量为：

、，、、，、、

②表达式

平面应力和平面应变的平衡方程和几何方程一样，均为：

平衡方程

几何方程

物理方程：

（a）平面应力：

由已知条件知，由3D物理方程组知

解得

（b）平面应变由已知条件已知，由3D物理方程组知

同理

即

（c）两者之间的关系

比较平面应力和平面应变的物理方程可以看出，若将平面应力问题物理方程中的换成，换成，则可得到平面应变问题的物理方程。

七、一立方块放在同样大小的刚性盒内，上面用刚性盖密封后均匀压力为q，方块与盒盖之间无摩擦力，设施力方向为z轴，盒的侧面方向为x轴和y轴，求方块的应力，，和应变。

设立方块的弹性模量为，泊松比为。

由已知条件知立方块在刚性的盒内，在x,y两方向不会产生位移。

即应变。

由物理方程知：

BC（p）：

解以上关系可得

八、证明1、受纯剪单元体应变能为

证明2、指标形式下与分量形式下应变能计算公式的对用关系为

证明3、纯弯梁应变能的表达式为：

证明1：

对于受纯剪单元体情形下的应力分量如图8.1所示。

此状态的力学基本变量为：

我们首先研究一对剪应力与剪应变，如图8.2所示，设上只作用和。

同理可得

所以由与作用下，在微体上产生能量为：

证明2：

若证明等式成立，必须首先证明

又因分解后见下表。

又因

证明3、如图所示纯弯梁

梁的厚度很薄，外载沿厚度方向无变化，其中性层为y层，梁长为，弹性模量为E，基本变量为：

位移（对中性层）

应力（为主应力，其方向很小，不考虑）

应变（为主要应变，中性层取微段莱推导三大方程）

如图所示8.4所示力的平衡：

几何方程：

由变形后的几何关系可知

其中y为距中性层坐标，为挠度曲率。

由虎克定律知物理方程为：

整理上述方程得知下基本方程组

故纯弯梁的应变能：

九、如图所示为1个1D拉压问题

（1）写出描写该问题的所有基本变量

（2）写出所有基本方程，包括BC

（3）写出应变能，外力功

（4）写出最小势能原理的一般表达式（1D问题）

（5）证明（4）（即该原理与原基本方程的关系）

解

（1）基本变量

（2）基本方程

平衡方程

几何方程

物理方程

BC（）：

由平衡方程得知（待定）

由几何方程得知（待定）

由BC（）知

由BC（p）知

（3）应变能

外力功

（4）最小势能一般表达式（1D问题）

（5）证明对于拉压杆的问题，其体积力，外力

∴

将物理方程代入，将化成，的函数

…①

将几何方程代入，并利用Gauss-Green公式有

又因总的边界条件，考虑许可位移场的性质（它满足位移边界条件，其边界微分增量为0，即，所以

根据最小势能原理，对系统势能取极值，令，则

在Sp和上，其有任一性，故若使则必须

即为力的平衡方程和力的边界条件。

对①式进一步求导，则，故由确定的使势能取极值。

由以上推导可知，满足位移边界条件的试函数，在满足几何方程和物理方程前提下，当势能取最小时，其结果可精确满足剩下的平衡方程和力的边界条件。

十、就1D杆单元

节点位移（局部坐标下）

节点位移（整体坐标下）

（1）写出和之间的关系

（2）将该单元的位移场、应力场、应变场用整体坐标系下的节点位移q来表示。

（3）推导出基于整体坐标下的刚度矩阵。

（1）如图所示：

其中

（2）在局部坐标下，设位移场模式（有两个节点）为：

（，待定）

由边界位移知

解之，知：

，

其中

∴

在整体坐标系下有

（3）系统的势能为：

＝

其中，K为刚度矩阵

十一、就2D纯弯梁单元，节点位移（局部），节点位移（整体），写出和之间的转换关系。

由图可知

其中，

十二、简述有限元分析的基本步骤和相对应的基本表达式

（1）物体几何离散化

，为具有特征的单元。

（2）单元研究，（所有力学信息均用节点位移来表达）

单元节点描述单元的位移场模式（唯一确定性原则，完备性原则）

所有物理量表达（所有力学量都用节点位移来表达）

单元的平衡关系

（3）装配集成

整体平衡关系

其中，，，

（4）处理BC并解节点位移

其中，为未知节点位移，为已知节点位移，为未知节点力，为已知节点力

由上式写成两个方程：

直接求出未知节点位移

（5）求支反力

在求出后，即可求出支反力

（6）其它力学计算

计算单元＆整体的应变及应力，即：

十三、就线性弹性平面问题，写出一下表达式

（1）三大类型基本方程（分量或指标形式）并指明自变量。

（2）两类边界条件（分量或指标形式）

（3）对离散单元，写出用单元节点位移表示位移场的表达式

（4）对于离散单元，写出用单元节点位移表示单元应变场的表达式

（5）对于离散单元，写出用单元节点位移表示单元应力场的表达式

（6）对于离散单元，写出用单元节点位移表示单元应变能的表达式

（7）对于离散单元，写出用单元节点位移表示单元外力功的表达式

（8）对于离散单元，写出用单元节点位移表示单元势能的表达式

（9）对于离散单元，写出用总体节点位移表示单元总势能的表达式

（10）对于离散单元，写出用总体节点位移表示的刚度矩阵

（1）平衡方程

几何方程

物理方程

其中，，，，，，，为自变量

（2）位移边界条件on

力的边界条件on