Excel回归分析结果的详细阐释Word文档格式.doc
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Multiple对应的数据是相关系数(correlationcoefficient),即R=0.989416。
RSquare对应的数值为测定系数(determinationcoefficient),或称拟合优度(goodnessoffit),它是相关系数的平方,即有R2=0.9894162=0.978944。
Adjusted对应的是校正测定系数(adjusteddeterminationcoefficient),计算公式为
式中n为样本数,m为变量数,R2为测定系数。
对于本例,n=10,m=1,R2=0.978944,代入上式得
标准误差(standarderror)对应的即所谓标准误差,计算公式为
这里SSe为剩余平方和,可以从下面的方差分析表中读出,即有SSe=16.10676,代入上式可得
最后一行的观测值对应的是样本数目,即有n=10。
第二部分,方差分析表
方差分析部分包括自由度、误差平方和、均方差、F值、P值等(表2)。
表2方差分析表(ANOVA)
逐列、分行说明如下:
第一列df对应的是自由度(degreeoffreedom),第一行是回归自由度dfr,等于变量数目,即dfr=m;
第二行为残差自由度dfe,等于样本数目减去变量数目再减1,即有dfe=n-m-1;
第三行为总自由度dft,等于样本数目减1,即有dft=n-1。
对于本例,m=1,n=10,因此,dfr=1,dfe=n-m-1=8,dft=n-1=9。
第二列SS对应的是误差平方和,或称变差。
第一行为回归平方和或称回归变差SSr,即有
它表征的是因变量的预测值对其平均值的总偏差。
第二行为剩余平方和(也称残差平方和)或称剩余变差SSe,即有
它表征的是因变量对其预测值的总偏差,这个数值越大,意味着拟合的效果越差。
上述的y的标准误差即由SSe给出。
第三行为总平方和或称总变差SSt,即有
它表示的是因变量对其平均值的总偏差。
容易验证748.8542+16.10676=764.961,即有
而测定系数就是回归平方和在总平方和中所占的比重,即有
显然这个数值越大,拟合的效果也就越好。
第四列MS对应的是均方差,它是误差平方和除以相应的自由度得到的商。
第一行为回归均方差MSr,即有
第二行为剩余均方差MSe,即有
显然这个数值越小,拟合的效果也就越好。
第四列对应的是F值,用于线性关系的判定。
对于一元线性回归,F值的计算公式为
式中R2=0.978944,dfe=10-1-1=8,因此
第五列SignificanceF对应的是在显著性水平下的Fα临界值,其实等于P值,即弃真概率。
所谓“弃真概率”即模型为假的概率,显然1-P便是模型为真的概率。
可见,P值越小越好。
对于本例,P=0.0000000542<
0.0001,故置信度达到99.99%以上。
第三部分,回归参数表
回归参数表包括回归模型的截距、斜率及其有关的检验参数(表3)。
表3回归参数表
第一列Coefficients对应的模型的回归系数,包括截距a=2.356437929和斜率b=1.812921065,由此可以建立回归模型
或
第二列为回归系数的标准误差(用或表示),误差值越小,表明参数的精确度越高。
这个参数较少使用,只是在一些特别的场合出现。
例如L.Benguigui等人在Whenandwhereisacityfractal?
一文中将斜率对应的标准误差值作为分形演化的标准,建议采用0.04作为分维判定的统计指标(参见EPB2000)。
不常使用标准误差的原因在于:
其统计信息已经包含在后述的t检验中。
第三列tStat对应的是统计量t值,用于对模型参数的检验,需要查表才能决定。
t值是回归系数与其标准误差的比值,即有
,
根据表3中的数据容易算出:
对于一元线性回归,t值可用相关系数或测定系数计算,公式如下
将R=0.989416、n=10、m=1代入上式得到
对于一元线性回归,F值与t值都与相关系数R等价,因此,相关系数检验就已包含了这部分信息。
但是,对于多元线性回归,t检验就不可缺省了。
第四列Pvalue对应的是参数的P值(双侧)。
当P<
0.05时,可以认为模型在α=0.05的水平上显著,或者置信度达到95%;
0.01时,可以认为模型在α=0.01的水平上显著,或者置信度达到99%;
0.001时,可以认为模型在α=0.001的水平上显著,或者置信度达到99.9%。
0.0001,故可认为在α=0.0001的水平上显著,或者置信度达到99.99%。
P值检验与t值检验是等价的,但P值不用查表,显然要方便得多。
最后几列给出的回归系数以95%为置信区间的上限和下限。
可以看出,在α=0.05的显著水平上,截距的变化上限和下限为-1.85865和6.57153,即有
斜率的变化极限则为1.59615和2.02969,即有
第四部分,残差输出结果
这一部分为选择输出内容,如果在“回归”分析选项框中没有选中有关内容,则输出结果不会给出这部分结果。
残差输出中包括观测值序号(第一列,用i表示),因变量的预测值(第二列,用表示),残差(residuals,第三列,用ei表示)以及标准残差(表4)。
表4残差输出结果
预测值是用回归模型
计算的结果,式中xi即原始数据的中的自变量。
从图1可见,x1=15.2,代入上式,得
其余依此类推。
残差ei的计算公式为
从图1可见,y1=28.6,代入上式,得到
标准残差即残差的数据标准化结果,借助均值命令average和标准差命令stdev容易验证,残差的算术平均值为0,标准差为1.337774。
利用求平均值命令standardize(残差的单元格范围,均值,标准差)立即算出表4中的结果。
当然,也可以利用数据标准化公式
逐一计算。
将残差平方再求和,便得到残差平方和即剩余平方和,即有
利用Excel的求平方和命令sumsq容易验证上述结果。
以最大积雪深度xi为自变量,以残差ei为因变量,作散点图,可得残差图(图3)。
残差点列的分布越是没有趋势(没有规则,即越是随机),回归的结果就越是可靠。
用最大积雪深度xi为自变量,用灌溉面积yi及其预测值为因变量,作散点图,可得线性拟合图(图4)。
图3残差图
图4线性拟合图
第五部分,概率输出结果
在选项输出中,还有一个概率输出(ProbabilityOutput)表(表5)。
第一列是按等差数列设计的百分比排位,第二列则是原始数据因变量的自下而上排序(即从小到大)——选中图1中的第三列(C列)数据,用鼠标点击自下而上排序按钮,立即得到表5中的第二列数值。
当然,也可以沿着主菜单的“数据(D)→排序(S)”路径,打开数据排序选项框,进行数据排序。
用表5中的数据作散点图,可以得到Excel所谓的正态概率图(图5)。
表5概率输出表
图5正态概率图
【几点说明】
第一,多元线性回归与一元线性回归结果相似,只是变量数目m≠1,F值和t值等统计量与R值也不再等价,因而不能直接从相关系数计算出来。
第二,利用SPSS给出的结果与Excel也大同小异。
当然,SPSS可以给出更多的统计量,如DW值。
在表示方法上,SPSS也有一些不同,例如PValue(P值)用Sig.(显著性)表征,因为二者等价。
只要能够读懂Excel的回归摘要,就可以读懂SPSS回归输出结果的大部分内容。
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