二元一次方程组应用题经典题(解析版----例题Word下载.doc
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③顺水速度-逆水速度=2×
水速.
注意:
飞机航行问题同样会出现顺风航行和逆风航行,解题方法与船顺水航行、逆水航行问题类似.
2.工程问题:
工作效率×
工作时间=工作量.
3.商品销售利润问题:
(1)利润=售价-成本(进价);
(2);
(3)利润=成本(进价)×
利润率;
(4)标价=成本(进价)×
(1+利润率);
(5)实际售价=标价×
打折率;
“商品利润=售价-成本”中的右边为正时,是盈利;
为负时,就是亏损.打几折就是按标价的十分之几或百分之几十销售.(例如八折就是按标价的十分之八即五分之四或者百分之八十)
4.储蓄问题:
(1)基本概念
①本金:
顾客存入银行的钱叫做本金.②利息:
银行付给顾客的酬金叫做利息.
③本息和:
本金与利息的和叫做本息和.④期数:
存入银行的时间叫做期数.
⑤利率:
每个期数内的利息与本金的比叫做利率.⑥利息税:
利息的税款叫做利息税.
(2)基本关系式
①利息=本金×
利率×
期数
②本息和=本金+利息=本金+本金×
期数=本金×
(1+利率×
期数)
③利息税=利息×
利息税率=本金×
期数×
利息税率.
④税后利息=利息×
(1-利息税率)⑤年利率=月利率×
12⑥月利率=年利率.
免税利息=利息
5.配套问题:
解这类问题的基本等量关系是:
总量各部分之间的比例=每一套各部分之间的比例.
6.增长率问题:
解这类问题的基本等量关系式是:
原量×
(1+增长率)=增长后的量;
原量×
(1-减少率)=减少后的量.
7.和差倍分问题:
较大量=较小量+多余量,总量=倍数×
倍量.
8.数字问题:
解决这类问题,首先要正确掌握自然数、奇数、偶数等有关概念、特征及其表示.如当n为整数时,奇数可表示为2n+1(或2n-1),偶数可表示为2n等,有关两位数的基本等量关系式为:
两位数=十位数字10+个位数字
9.浓度问题:
溶液质量×
浓度=溶质质量.
10.几何问题:
解决这类问题的基本关系式有关几何图形的性质、周长、面积等计算公式
11.年龄问题:
解决这类问题的关键是抓住两人年龄的增长数是相等,两人的年龄差是永远不会变的
12.优化方案问题:
在解决问题时,常常需合理安排.需要从几种方案中,选择最佳方案,如网络的使用、到不同旅行社购票等,一般都要运用方程解答,得出最佳方案.
方案选择题的题目较长,有时方案不止一种,阅读时应抓住重点,比较几种方案得出最佳方案.
知识点三:
列二元一次方程组解应用题的一般步骤
利用二元一次方程组探究实际问题时,一般可分为以下六个步骤:
1.审题:
弄清题意及题目中的数量关系;
2.设未知数:
可直接设元,也可间接设元;
3.找出题目中的等量关系;
4.列出方程组:
根据题目中能表示全部含义的等量关系列出方程,并组成方程组;
5.解所列的方程组,并检验解的正确性;
6.写出答案.
要点诠释:
(1)解实际应用问题必须写“答”,而且在写答案前要根据应用题的实际意义,检查求得的结果是否合理,不符合题意的解应该舍去;
(2)“设”、“答”两步,都要写清单位名称;
(3)一般来说,设几个未知数就应该列出几个方程并组成方程组.
(4)列方程组解应用题应注意的问题
①弄清各种题型中基本量之间的关系;
②审题时,注意从文字,图表中获得有关信息;
③注意用方程组解应用题的过程中单位的书写,设未知数和写答案都要带单位,列方程组与解方程组时,不要带单位;
④正确书写速度单位,避免与路程单位混淆;
⑤在寻找等量关系时,应注意挖掘隐含的条件;
⑥列方程组解应用题一定要注意检验.
类型一:
列二元一次方程组解决——行程问题
1.甲、乙两地相距160千米,一辆汽车和一辆拖拉机同时由甲、乙两地相向而行,1小时20分相遇.相遇后,拖拉机继续前进,汽车在相遇处停留1小时后调转车头原速返回,在汽车再次出发半小时后追上了拖拉机.这时,汽车、拖拉机各自行驶了多少千米?
思路点拨:
画直线型示意图理解题意:
(1)这里有两个未知数:
①汽车的行程;
②拖拉机的行程.
(2)有两个等量关系:
①相向而行:
汽车行驶小时的路程+拖拉机行驶小时的路程=160千米;
②同向而行:
汽车行驶小时的路程=拖拉机行驶小时的路程.
解:
设汽车的速度为每小时行千米,拖拉机的速度为每小时千米.
根据题意,列方程组 解这个方程组,得:
.
答:
汽车行驶了165千米,拖拉机行驶了85千米.
总结升华:
根据题意画出示意图,再根据路程、时间和速度的关系找出等量关系,是行程问题的常用的解决策略.
类型二:
列二元一次方程组解决——工程问题
2.一家商店要进行装修,若请甲、乙两个装修组同时施工,8天可以完成,需付两组费用共3520元;
若先请甲组单独做6天,再请乙组单独做12天可完成,需付两组费用共3480元,问:
(1)甲、乙两组工作一天,商店应各付多少元?
(2)已知甲组单独做需12天完成,乙组单独做需24天完成,单独请哪组,商店所付费用最少?
本题有两层含义,各自隐含两个等式,第一层含义:
若请甲、乙两个装修组同时施工,8天可以完成,需付两组费用共3520元;
第二层含义:
若先请甲组单独做6天,再请乙组单独做12天可完成,需付两组费用共3480元.设甲组单独做一天商店应付x元,乙组单独做一天商店应付y元,由第一层含义可得方程8(x+y)=3520,由第二层含义可得方程6x+12y=3480.
(1)设甲组单独做一天商店应付x元,乙组单独做一天商店应付y元,依题意得:
解得
答:
甲组单独做一天商店应付300元,乙组单独做一天商店应付140元.
(2)单独请甲组做,需付款300×
12=3600元,单独请乙组做,需付款24×
140=3360元,
故请乙组单独做费用最少.
答:
请乙组单独做费用最少.
工作效率是单位时间里完成的工作量,同一题目中时间单位必须统一,一般地,将工作总量设为1,也可设为a,需根据题目的特点合理选用;
工程问题也经常利用线段图或列表法进行分析.
类型三:
列二元一次方程组解决——商品销售利润问题
3.有甲、乙两件商品,甲商品的利润率为5%,乙商品的利润率为4%,共可获利46元.价格调整后,甲商品的利润率为4%,乙商品的利润率为5%,共可获利44元,则两件商品的进价分别是多少元?
做此题的关键要知道:
利润=进价×
利润率
甲商品的进价为x元,乙商品的进价为y元,由题意得:
,解得:
答:
两件商品的进价分别为600元和400元.
类型四:
列二元一次方程组解决——银行储蓄问题
4.小明的妈妈为了准备小明一年后上高中的费用,现在以两种方式在银行共存了2000元钱,一种是年利率为2.25%的教育储蓄,另一种是年利率为2.25%的一年定期存款,一年后可取出2042.75元,问这两种储蓄各存了多少钱?
(利息所得税=利息金额×
20%,教育储蓄没有利息所得税)
设教育储蓄存了x元,一年定期存了y元,我们可以根据题意可列出表格:
教育储蓄
一年定期
合计
现在
一年后
2042.75
解:
设存一年教育储蓄的钱为x元,存一年定期存款的钱为y元,则列方程:
存教育储蓄的钱为1500元,存一年定期的钱为500元.
总结升华:
我们在解一些涉及到行程、收入、支出、增长率等的实际问题时,有时候不容易找出其等量关系,这时候我们可以借助图表法分析具体问题中蕴涵的数量关系,题目中的相等关系随之浮现出来.
类型五:
列二元一次方程组解决——生产中的配套问题
5.某服装厂生产一批某种款式的秋装,已知每2米的某种布料可做上衣的衣身3个或衣袖5只.现计划用132米这种布料生产这批秋装(不考虑布料的损耗),应分别用多少布料才能使做的衣身和衣袖恰好配套?
本题的第一个相等关系比较容易得出:
衣身、衣袖所用布料的和为132米;
第二个相等关系的得出要弄清一整件衣服是怎么样配套的,即衣袖的数量等于衣身的数量的2倍(注意:
别把2倍的关系写反了).
设用米布料做衣身,用米布料做衣袖才能使衣身和衣袖恰好配套,根据题意,得:
用60米布料做衣身,用72米布料做衣袖才能使做的衣身和衣袖恰好配套.
生产中的配套问题很多,如螺钉和螺母的配套、盒身与盒底的配套、桌面与桌腿的配套、衣身与衣袖的配套等.各种配套都有数量比例,依次设未知数,用未知数可把它们之间的数量关系表示出来,从而得到方程组,使问题得以解决,确定等量关系是解题的关键.
类型六:
列二元一次方程组解决——增长率问题
6.某工厂去年的利润(总产值—总支出)为200万元,今年总产值比去年增加了20%,总支出比去年减少了10%,今年的利润为780万元,去年的总产值、总支出各是多少万元?
设去年的总产值为x万元,总支出为y万元,则有
总产值(万元)
总支出(万元)
利润(万元)
去年
x
y
200
今年
120%x
90%y
780
根据题意知道去年的利润和今年的利润,由利润=总产值—总支出和表格里的已知量和未知量,可以列出两个等式.
设去年的总产值为x万元,总支出为y万元,根据题意得:
,解之得:
去年的总产值为2000万元,总支出为1800万元
当题的条件较多时,可以借助图表或图形进行分析.
类型七:
列二元一次方程组解决——和差倍分问题
7.(2011年北京丰台区中考一摸试题)“爱心”帐篷厂和“温暖”帐篷厂原计划每周生产帐篷共9千顶,现某地震灾区急需帐篷14千顶,两厂决定在一周内赶制出这批帐篷.为此,全体职工加班加点,“爱心”帐篷厂和“温暖”帐篷厂一周内制作的帐篷数分别达到了原来的1.6倍、1.5倍,恰好按时完成了这项任务.求在赶制帐篷的一周内,“爱心”帐篷厂和“温暖”帐篷厂各生产帐篷多少千顶?
找出已知量和未知量,根据题意知未知量有两个,所以列两个方程,根据计划前后,倍数关系由已知量和未知量列出两个等式,即是两个方程组成的方程组.
设原计划“爱心”帐篷厂生产帐篷x