18秋福师《实变函数》在线作业一-1辅导资料xWord文件下载.docx

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4、若f∈AC，则f是连续的有界变差函数，即f∈C∩BV.

5、若f有界且m（X）<

∞,则f可测。

6、增函数f在[a,b]上几乎处处可微。

7、若f,g∈BV，则f+g,f-g,fg均属于BV。

8、对任意可测集E，若f在E上可积，则f的积分具有绝对连续性.

9、若f,g∈BV，则|f|,f+,f-,f∧g,f∨g属于BV。

10、若f∈BV当且仅当f是两个增函数之差。

11、测度为零的集称为零测集.

12、存在某区间[a,b]上增函数f，使得f'

（x）在[a,b]上积分值∫fdx<

f（b）-f（a）.

13、有界可测函数f在区间[a,b]上L可积的充要条件是f在[a,b]上几乎处处连续.

14、若f可测，则|f|可测，反之也成立.

15、f可积的必要条件:

f几乎处处有限，且集X（f≠0）有sigma-有限测度。

16、若f_n测度收敛于f，g连续，则g（f_n）也测度收敛于g（f）.

17、函数f在[a,b]上为常数的充要条件是f在[a,b]上绝对连续且在[a,b]上几乎处处为零.

18、有界可测集的测度为有限数，无界可测集的测度为+∞

19、当f在（0,+∞）上一致连续且L可积时，则lim_{x->

+∞}f（x）=0.

20、若f∈L1[a,b],则几乎所有的x属于[a,b]均是g的L点.

21、利用有界变差函数可表示为两个增函数之差，可将关于单调函数的一些结论转移到有界变差函数：

几乎处处可微而且导函数可积。

22、三大积分收敛定理是积分论的中心结果。

23、f在E上可积的充要条件是级数M[E（|f|>

=n）]之和收敛.

24、若f广义R可积且f不变号，则fL可积.

25、无论Riemann积分还是Lebesgue积分，只要|f|可积，则f必可积.

26、g的连续点是L点，但L点未必是连续点.

27、连续函数和单调函数都是有界变差函数.

28、绝对连续函数是一类特殊的连续有界变差函数。

29、f为[a,b]上减函数，则f'

（x）在[a,b]可积且其积分值∫fdx≤f（b）-f（a）.

30、设f:

R->

R可测，f（x+y）=f（x）+f（y）,则f（x）=ax

31、R中任一非空开集是可数个互不相交的开区间之并.

32、若f_n测度收敛于f，则1/f_n也测度收敛于1/f.

33、可数个G_delta集之交和有限个G_delta集之并仍是G_delta集，但可数个G_delta集之并未必仍是G_delta集

34、函数f≡C∈[-∞,∞],则f可测。

35、有限覆盖定理的内容是：

若U是R^n中紧集F的开覆盖，则可以从U中取出有限子覆盖.

36、函数f在区间[a,b]上Ｒ可积的充要条件是f在区间[a,b]上的不连续点集为零测度集.

37、f,g∈M（X）,则fg∈M（X）.

二、单选题共5题，10分

1、fn∈L（E）,则fn->

0,a.e.是∫Efndx->

0（）

A充分条件

B必要条件

C充要条件

D非充分非必要条件正确答案是：

D

2、开集减去闭集其差集是（）

A闭集

B开集

C非开非闭集

D既开既闭集正确答案是：

3、下列关系式中不成立的是（）Af（∪Ai）=∪f（Ai）

Bf∩（Ai）=f（∩Ai）

C（A∩B）0=A0∩B0

D（∪Ai）c=∩（Aic）正确答案是：

4、fn->

f,a.e.,则

Afn依测度收敛于f

Bfn几乎一致收敛于f

Cfn一致收敛于fD|fn|->

|f|,a.e.

5、设g（x）是[0,1]上的有界变差函数，则f（x）=sinx-V0x（g）是[0,1]上的

A连续函数

B单调函数

C有界变差函数

D绝对连续函数正确答案是：

C

三、多选题共8题，16分

1、若f∈AC[a,b]，则（）Af∈C[a,b]

Bf∈BV[a,b]

Cf（x）=f（a）+∫ax f'

（t）dt

Df∈Lip[a,b]

ABC

2、若f∈BV[a,b]，则（）

Af为有界函数

BVax（f）为增函数

C对任意c有Vab（f）=Vac（f）+Vcb（f）

Df至多有可数个第一类间断点正确答案是：

ABCD

3、f（x）=1,x∈（-∞，+∞）,则f（x）在（-∞，+∞）上

A有L积分值

B广义R可积

CL可积

D积分具有绝对连续性正确答案是：

AD

4、若f,g是有界变差函数，则（）

Af+g有界变差函数

Bfg有界变差函数

Cf/g有界变差函数

Dmax（f,g）有界变差函数正确答案是：

ABD

5、f（x）=sinx/x,x∈（0,+∞）,则f（x）在（0,+∞）上

A广义R可积

B不是广义R可积

D不是L可积

6、若0<

=g<

=f且f可积，则（）

Ag可积

Bg可测Cg<

∞，a.e.

D当g可测时g必可积正确答案是：

CD

7、设E1，E2是R^n中测度有限的可测集，则Am（E1∪E2）+m（E1∩E2）=mE1+mE2

B若E1包含于E2,mE1<

=mE2

C若E1包含于E2,m（E2\E1）=mE2-mE1

8、若f（x）为Lebesgue可积函数，则（）

Af可测

B|f|可积

Cf^2可积D|f|<

∞.a.e.