高等代数 第三章 线性空间Word格式文档下载.doc

高等代数 第三章 线性空间Word格式文档下载.doc

《高等代数 第三章 线性空间Word格式文档下载.doc》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高等代数 第三章 线性空间Word格式文档下载.doc（42页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。

则

1）当时，方程组中的未知量个数与方程个数相同，且系数行列式为一个范德蒙行列式，即

所以方程组有惟一的零解，这就是说线性无关.

2）当时，令

则由上面1）的证明可知是线性无关的.而是延长的向量，所以也线性无关.

5.设线性无关，证明也线性无关.

证设由线性关系

再由题设知线性无关，所以

解得

所以线性无关.

6.已知的秩为，证明：

中任意个线性无关的向量都构成它的一个极大线性无关组.

证设是中任意个线性无关向量组，如果能够证明任意一个向量都可由线性表出就可以了.

事实上，向量组是线性相关的，否则原向量组的秩大于，矛盾.这说明可由线性表出，再由的任意性，即证.

7.设的秩为，是中的个向量，使得中每个向量都可被它们线性表出，证明：

是的一个极大线性无关组.

证由题设知与等价，所以的秩与的秩相等，且等于.又因为线性无关，故而是的一个极大线性无关组.

8.证明：

一个向量组的任何一个线性无关组都可以扩充成一线性无关组.

证将所给向量组用（Ⅰ）表示，它的一个线性无关向量组用（Ⅱ）表示.

若向量组（Ⅰ）中每一个向量都可由向量组（Ⅱ）线性表出，那么向量组（Ⅱ）就是向量组（Ⅰ）的极大线性无关组.否则，向量组（Ⅰ）至少有一个向量不能由向量组（Ⅱ）线性表出，此时将添加到向量组（Ⅱ）中去，得到向量组（Ⅲ），且向量组（Ⅲ）是线性无关的.

进而，再检查向量组（Ⅰ）中向量是否皆可由向量组（Ⅲ）线性表出.若还不能，再把不能由向量组（Ⅲ）线性表出的向量添加到向量组（Ⅲ）中去，得到向量组（Ⅳ）.继续这样下去，因为向量组（Ⅰ）的秩有限，所以只需经过有限步后，即可得到向量组（Ⅰ）的一个极大线性无关组.

9.设向量组为

，，

，

1）证明：

线性无关.

2）把扩充成一极大线性无关组.

证1）由于的对应分量不成比例，因而线性无关.

2）因为，且由

可解得

再令

代入已知向量后，由于相应的齐次线性方程组的系数行列式为0，因而该齐次线性方程组存在非零解，即线性相关，所以可由线性表出.

这意味着就是原向量组的一个极大线性无关组.

注此题也可将排成的矩阵，再通过列初等变换化为行阶梯形或行最简形，然后得到相应结论.

10.用消元法求下列向量组的极大线性无关组与秩：

，

解1）设

对矩阵作行初等变换，可得

所以的秩为3，且即为所求极大线性无关组.

3）同理可得为所求极大线性无关组，且向量组的秩为3.

11.证明：

如果向量组（Ⅰ）可以由向量组（Ⅱ）线性表出，那么（Ⅰ）

的秩不超过（Ⅱ）的秩.

证由题设，向量组（Ⅰ）的极大线性无关组也可由向量组（Ⅱ）的极大线性无关组线性表出，即证向量组（Ⅰ）的秩不超过向量组（Ⅱ）的秩.

12.设是一组维向量，已知单位向量可被它们线性表出，证明：

证设的秩为，而的秩为.

由题设及上题结果知

从而.故线性无关.

13.设是一组维向量，证明：

线性无关的充分必要条件是任一维向量都可被它们线性表出.

证必要性.设线性无关，但是个维向量必线性相关，于是对任意维向量，它必可由线性表出.

充分性.任意维向量可由线性表出，特别单位向量可由线性表出，于是由上题结果，即证线性无关.

14.证明：

方程组

对任何都有解的充分必要条件是系数行列式.

证充分性.由克拉默来姆法则即证.

下证必要性.记

则原方程组可表示为

由题设知，任意向量都可由线性表出，因此由上题结果可知线性无关.

进而，下述线性关系

仅有惟一零解，故必须有，即证.

15.已知与有相同的秩，证明：

与等价.

证由于与有相同的秩，因此它们的极大线性无关组所含向量个数必定相等.这样的极大线性无关组也必为的极大线性无关组，从而它们有相同的极大线性无关组.

另一方面，因为它们分别与极大线性无关组等价，所以它们一定等价.

16.设

证明：

与具有相同的秩.

证只要证明两向量组等价即可.由题设，知可由线性表出.

现在把这些等式统统加起来，可得

于是

即证也可由线性表出，从而向量组与等价.

17.计算下列矩阵的秩：

1）2）

3）4）

5）

解1）秩为4.

2）秩为3.

3）秩为2.

4）秩为3.

5）秩为5.

18.讨论取什么值时，下列方程有解，并求解.

1）2）

3）

解1）因为方程组的系数行列式

所以当时，原方程组与方程

同解，故原方程组有无穷多解，且其解为

其中为任意常数.

当时，原方程组无解.

当且时，原方程组有惟一解.且

2）因为方程组的系数行列式

所以当时，原方程组的系数矩阵与增广矩阵的秩分别为2与3，所以无解.

当时，的秩为2，的秩为3，故原方程组也无解.

当，且时，方程组有唯一解

3）因为方程组的系数行列式

所以当时，即且时，方程组有惟一解，且为

当时

1o若，这时系数矩阵的秩为2，而它的增广矩阵的秩为3，故原方程组无解。

2o若，这时增广矩阵

所以当时，的秩为3，的秩为，原方程组无解.

而当时，原方程组有无穷多个解，且其解为

19.用消元法解下列线性方程组：

解1）对方程组得增广矩阵作行初等变换，有

因为

所以方程组有无穷多解，其同解方程组为

2）对方程组德增广矩阵作行初等变换，有

所以原方程无解.

3）对方程组德增广矩阵作行初等变换，有

所以方程组有惟一解，且其解为

4）对方程组的增广矩阵作行初等变换，有

即原方程组德同解方程组为

由此可解得

其中是任意常数g

5）对方程组的增广矩阵作行初等变换，有

所以原方程组无解.

6）对方程组的增广矩阵作行初等变换，有

即原方程组的同解方程组为

解之得

其中是任意常数.

20.求下列齐次线性方程组的一个基础解系，并用它表出全部解：

1）2）

3）4）

解1）对方程组的系数矩阵作行初等变换，有

因为，所以原方程组的基础解中含有3个线性无关的解向量，且原方程组的同解方程组为

于是只要令

即得

同理，令

则为原方程组的一个基础解系，且该齐次线性方程组的全部解为

2）对方程组的系数矩阵作行初等变换，有

因为，所以原方程组的基础解系中含有2个线性无关的解向量，且原方程组的同解方程组为

若令

，得

，得

3）对方程组的系数矩阵作行初等变换，有

又因为

所以，方程组的基础解系含有一个线性无关的解向量，且原方程组的同解方程组为

于是令，可得

则即为原方程组的一个基础解系，且该齐次线性方程组的全部解为，其中为任意常数.

4）对方程组的系数矩阵作行初等变换，有

又应为

所以，方程组的基础解系含有2个线性无关大解向量，且原方程组的同解方程组为

，得

21.用导出组的基础解系表出第1题1）、4）、6）题中线性方程组的全部解，其中

解1）对原方程组的增广矩阵作初等行变换，可得

所以方程组有无穷多解，且其导出组的基础解系中含有1个线性无关的解向量，又因为原方程组的同解方程组为

若令，代入原方程组的导出组，可解得，于是导出组的基础解系为

且原方程组的一个特解为

故园方程组的全部解为

4）对原齐次线性方程组的系数矩阵作初等变换，可得

所以方程组有无穷多解，且其基础解系中含有2个线性无关的解向量，又因为原方程组的同解方程组为

于是导出组的基础解系为

故原方程组的全部解为

6）对原方程组的增广矩阵作初等变换，可得

所以方程组有无穷多个解，且其导出组的基础解系中含有1个线性无关的解向量，又因为原方程组的同解方程组为

22.取什么值时，线性方程组

有解？

在有解的情形，求一般解.

解对方程组的增广矩阵行作初等变换：

于是，只有且时，增广矩阵的秩与系数的秩都为2，此时原方程组有解；

当且时，原方程组都无解.

当，时，原方程组与方程组

同解，且其一般解为

23.设

此方程组有解的充分必要条件为

在有解的情形，求出它的一般解.

证对方程组的增广矩阵作行初等变换，有

此时的秩为4，的秩为4的充分必要条件是

因此，原方程组有解的充分必要条件是

其次，当时，原方程组与方程组与

同解，所以它的一般解为

24.证明：

与基础解系等价的线性无关向量组也是基础解系.

证由于两个等价的线性无关向量组所含向量个数是相等的，不妨设是齐次线性方程组的一个基础解系，且与它等价，则可由线性表出，从而也是原齐次线性方程组的解.

又由题设知线性无关，且可由线性表出，从而齐次线性方程组的任一个解也都可以由线性表出，即证也是方程组的一个基础解系.

25.设齐次方程组

的系数矩阵的秩为，证明：

方程组的任意个线性无关的解都是它的一个基础解系.

证由于方程组的系数矩阵的秩为，所以它的基础解系所含线性无关解向量的个数为.

设是方程组的一个基础解系，是方程组的任意个线性无关的解向量，则向量组

的秩仍为，且是它的一个极大线性无关组，同理也是它的一个极大线性无关组，所以与等价，再由上题即证.

26.证明：

如果是一线性方程组的解，那么

（其中）也是一个解.

证设线性方程组为

由题设，是该方程组的个解，现将

代入方程组，得

所以仍是方程组的一个解，即证.

27.多项式

与

在取什么值时有公共根？

解因为与的结式为

故当时，有

从而与有公共根.此外，由还可求得的3个根，它们皆可使与有公共根.

28.解下列联立方程：

解1）由结式

可解得下1，1，2，-1四个根.

当时，代入原方程组，可得

解此方程组，可得.

当时，代入原方程组，得

解之得.