随机变量序列的几种收敛性及其关系毕业论文文档格式.doc
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2.a.e.收敛、依概率收敛、依分布收敛、r—阶收敛的概念、性质以及它们之间的关系.
2.1a.e.收敛的概念及性质 1
2.2依概率收敛的概念及性质 2
2.3依分布收敛的概念及性质 3
2.4r—阶收敛的概念及性质 5
3.随机变量序列依分布收敛的等价条件. 6
4.随机变量依概率收敛的一些结果 9
5.小结. 12
6.参考文献 12
1.引言：
在数学分析和实变函数中“收敛性”极为重要，特别在实变函数中对可测函数列收敛性的讨论。
实变函数主要是在集合论与测度论的基础上建立起了Lebesgue积分以及它的一些性质，而Lebesgue积分的讨论中，在测度空间中关于可测函数列的各种收敛性以及它们之间的关系的讨论在理论和应用上都是十分重要的.同样在现代概率论中，其中的许多概念也是借助于集合论和测度论中的概念来定义和研究的，比如概率论中事件间的关系及运算与集合论中代数间的关系及运算是相类似的，而且在许多情况下，用集合论的表达方式更简练、更容易理解，不妨设为满足某一性质的全体所成的集合，若F为的一个代数，则称为可测空间；
若为F上的测度，则称为测度空间；
若为F上的测度，且，则称为F上的概率测度，称为概率测度空间；
由此我们通过测度论知识就得到了概率测度空间，同时引出了概率公理化定义：
概率是在代数F上的一个非负的、规范的、可列可加的集函数，其中为某一试验中可能的结果的全体,称为样本空间；
F为随机事件全体，称为事件域（代数）；
也就是说概率P是概率测度空间F上的一个测度集函数，同实变函数中的可测函数列收敛性一样，在概率论中我们有必要研究随机变量序列的收敛性，这对于概率论的学习是十分重要的.
在概率论中，概率空间上的随机变量就是样本空间上关于F的可测函数，对于一般的可测函数的序列我们在数学分析和实变函数中已有认识，其中“收敛性”理论是非常重要的，在概率论中也一样重要，随机变量序列有：
几乎处处收敛，依概率收敛，依分布收敛，r—阶收敛.下面一一分别介绍：
设和是给定概率空间上的随机变量.
2.1a.e.收敛的概念及性质
定义1如果有
，（1.1）
则称随机变量列几乎处处收敛到，记作.
注意：
（1.1）式中括号里的集是一事件，因而是有意义的，用集合论的语言实际上是
.（1.2）
定理1的充要条件是
.（1.3）
证明：
（必要性）如在定点上有，则
不能对无穷多n成立.
令，则，故由连续性定理及得
.
（充分性）由（1.2）式及上式第一等号得.
对可列多个概率为0的事件的和，有，即，故.由对偶原则，即得.
由此及（1.2）即得.
2.2依概率收敛的概念及性质
定义2如果，，
则称随机变量序列依概率收敛于随机变量，记作.
定理2若，则.
由于，有，又及定理1
得，所以定理得证.
但是定理2的逆命题不真，反例如下：
例1取，F为[0,1]中全体博雷尔子集所成代数，P为勒贝格测度，
令一般地，将（0,1]分成k个等长的区间，而令
定义
则是一列随机变量，对任意，由于故，即；
然而对任意固定，任一正整数k,恰有一i，使，而对其余的j有，有此知中有无穷多个1及无穷多个0，于是对每个都不收敛.
2.3依分布收敛的概念及性质
定义3设均为实函数.如果有,其中x为的连续点集，
则称弱收敛到，记作.
例2任意取一常数列，使.
令.显然，对每一有.其次，及的分布函数分别为，；
但在的不连续点c上，.故.
由此例可知定义3中称“弱收敛”是自然的，因为分布函数列的极限函数不一定是分布函数，为了避免这种情况，故引入如下的定义：
定义设随机变量与分别有分布函数与，且，则称随机变量列依分布收敛到，仍记作.
定理3设，则.
证：
对任意，有
，
由于，故对得
因此；
类似可证：
对，有，
于是对，有.
如果是的连续点，令，得.
但定理3逆命题不成立，反例如下：
例3抛掷一枚均匀的硬币，有两个可能结果：
={出现正面}，={出现反面}，于是有
令则是一个随机变量，其分布函数为
，这时，若，则显然与有相同的分布函数.再令的分布函数记作，故，于是对任意的，有，所以成立，而对任意的，恒有不趋于0，即不可能有.
在上述例子中，随机变量与在每次试验中取相反的两个数值，可是它们却有完全相同的分布函数.由此可知，一般说来并不能从分布函数列的弱收敛肯定相应的随机变量序列依概率收敛.但是在特殊情况下，它却是成立的，由下面定理说明.
定理4随机变量序列的充要条件是.
这里是的分布函数，也就是退化分布：
（必要性）已由定理3给出，下证（充分性）：
对任意的，有
定理得证.
注：
定理4将随机变量序列依概率收敛于常数的问题转化为讨论分布函数列弱收敛于退化分布的问题.这样两种收敛关系间的联系就清楚了.
引理1（马尔科夫[Mapkob]不等式）设随机变量有阶绝对矩，即，
则对任意有.（1.4）
取，并以代替，得，称为切比雪夫不等式.
2.4r—阶收敛的概念及性质
定义4设对随机变量及有，其中r>
0为常数，如果，
则称阶收敛于，记为.
定理5如果，则；
反之不真.
由引理1，对，有，又，
所以，即得.
例4如例1所取，令，（一切）.
显然，对一切，，故；
然而不趋于0.
由上面四种收敛性间的关系可得：
几乎处处收敛依概率收敛依分布收敛.
阶收敛依概率收敛依分布收敛.
3.随机变量序列依分布收敛的等价条件.
因为随机变量取值的统计规律可由它的分布函数完全确定，所以自然会考虑利用分布函数的收敛性来定义随机变量的收敛性，又分布函数和特征函数一一对应，而判断一个分布函数的序列的收敛是否弱收敛有时是很麻烦的，但判断相应的特征函数序列的收敛性却往往比较容易，下面给出弱收敛的充要条件，首先做一些准备：
定理6设均为分布函数，则的充要条件是：
对于函数的连续点集的某个稠子集有.（2.1）
由立得必要性.下设（2.1）式成立.对任何,取且则有.令，用（2.1）式得
再令便得证，即，证毕.
引理2（海来Helly第一定理）任一分布函数列必定含弱收敛于某函数的子列，而且单调不减，右连续，.
在引理2中不能断定海来第一定理中的是分布函数.事实上，取，则对任应的分布函数,极限函数不是分布函数.
引理3（海来Helly第二定理）设分布函数列弱收敛于分布函数，则对任何有界连续函数有.（其中分别是的密度函数）.
定理7（连续性定理）分布函数列弱收敛到分布函数的充要条件是：
相应的特征函数列逐点收敛到相应的特征函数.
令分别是的密度函数.
（必要性）：
设，对有界连续函数分别用引理3便得，当时对一切有
.
（充分性）据引理2知，分布函数列必存在子序列，使当时.其中极限函数是上非减右连续函数且有界：
下证此二式均取等号，即为分布函数.如若不然，有.（2.2）
那么，一方面由及连续知，对满足的任意，存在充分小的正数，使
另一方面，既然，由（2.1）式知可选取，使与皆为的连续点，且存在自然数，使当时有
.（2.3）
再由及时有，便可得到
这与（2.3）式矛盾.至此得证的子列弱收敛到分布函数.对此运用已证的必要性，知所对应的特征函数为.再由极限函数的唯一性定理可推出.
最后证明分布函数列也弱收敛到.仍然用反证法.如若不然，必存在的连续点，使不趋于.于是有界数列必含收敛子列.
其极限值.对分布函数序列运用引理2，又存在子列使.与前述至少在上不同.但是重复上述论证可知也应当是与对应的分布函数，由唯一性定理知，这导出矛盾.定理证完.
例5若是服从参数为的泊松分布的随机变量，证明：
.（2.4）
已知的特征函数为故的特征函数为
于是
从而对任意的点列，有.
但是是N（0,1）分布的特征函数，由定理7即知有成立，因为是可以任意选取的，这就意味着（2.4）式成立（“泊松分布（当参数时）收敛于正态分布”）.
下面给出弱收敛的各种等价条件：
如果存在一个函数，使对每一,有，则称特征函数列为广义均匀收敛到，而且这收敛对每一有限区间中的是均匀的（即对任意，任意有限区间，存在正整数，使对一切，当时，有），这时也说广义均匀（一致）收敛.
由于连续，如广义均匀收敛到，则必定是连续函数.
系1设分布函数列对应的特征函数列为，则下列四条件等价：
（1）弱收敛于某分布函数，
（2）收敛到某函数，在点0连续，
（3）收敛到某连续函数，
（4）广义均匀收敛到某函数.
当任一条件满足时，是的特征函数.
下面说明系1中等价条件
（2）中“在的连续性”是不可缺少的条件.
例6设.是一列特征函数.实际上，
，
其中是分布函数（2.5）
的密度函数.
显然，对任意，，这里，
在0点不连续，也不是特征函数.
另外对于（2.5）中，极限函数不是一分布函数.
至此我们可将随机变量序列的四种收敛性间的蕴含关系总结如下：
几乎处处收敛依概率收敛分布函数的弱收敛
r阶收敛特征函数逐点收敛
4.随机变量依概率收敛的一些结果
在概率论，我们用“频率的稳定性”引出概率这个基本的概念.许多试验结果表明，虽然一次随机试验中某确定事件发生与否不能预言，但是如果在相同条件下大量重复这个试验，则此事件发生的频率会稳定在某个值的附近.这说明，在一定条件下各事件出现的可能性的大小是客观存在的，可以用上述频率的稳定值来度量，这就是事件的概率.频率的稳定性呈现在大量重复试验中，历史上把这个试验次数很大时出现的规律称作大数定律
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