概率论计算习题.docx

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概率论计算习题

概率论计算：

1．已知在10只晶体管中有2只次品，在其中取两次，作不施加抽样，求下列事件的概率。

（1）两只都是正品？

（2）两只都是次品？

（3）一只是正品，一只是次品？

（4）第二次取出的是次品？

解：

设A1、A2表示第一、二次取到正品的事件，由等可能概型有：

（1）

（2）

（3）（4）

2．某电子设备制造厂所用的晶体管是由三家元件厂提供的，根据以往记录有如下数据~~~设三家工厂的产品在仓库中是均匀混合的，且无区别的标志。

（1）在仓库中随机地取一只晶体管，求它是次品的概率。

（2）在仓库中随机地取一只晶体管，发现是次品，问此次品是一厂产品的概率？

解：

设Bi（I=1,2,3）表示任取一只是第I厂产品的事件，A表示任取一只是次品的事件。

（1）由全概率公式

（2）由贝叶斯公式

3．房间里有10个人，分别佩戴从1号到10叼的纪念章，任选三人记录其纪念章的号码，求：

（1）最小号码为5的概率；

（2）最大号码为5的概率。

解：

由等可能概型有：

（1）;

（2）

4．6件产品中有4件正品和2件次品，从中任取3件，求3件中恰为1件次品的概率。

解：

设6件产品编号为1，2……6，由等可能概型

5．设随机变量X具有概率密度。

（1）确定常数k；

（2）求P（X>0.1）

解：

（1）由有

（2）

6．一大楼装有5个同类型的供水设备，调查表明，在任一时刻t，每个设备被使用的概率为0.1，问在同一时刻

（1）恰有2个设备被使用的概率是多少？

（2）至多有3个设备被使用的概率是多少？

（3）至少有1个设备被使用的概率是多少？

解：

由题意，以X表示任一时刻被使用的设备的台数，则X~b（5,0.1），于是

（1）

（2）

（3）

7．设随机变量X的概率密度为

求

解：

8．由某机器生产的螺栓的长度（cm）服从参数μ=10.05，σ=0.06的正态分布，规定长度在范围10.05±0.12内为合格品。

求一螺栓为不合格品的概率。

解：

由题意，所以为

9．设X~N（3，22）求：

（1）

（2）

解：

（1）

（2）由P>c=P（x≤c），即

10．设随机变量X的分布律为

X

-2

-1

0

1

3

P

求Y=X2的分布律。

解：

Y=X2的全部取值为0，1，4，9且P（Y=0）=P（X=0）=，

P（Y=1）=P（X=-1）+P（X=1）=，

P（Y=4）=P（X=-2）=，

P（Y=9）=P（X=3）=故Y的分布律为

X

0

1

4

9

P

11．设二维随机变量（x，y）具有概率密度

（1）求分布函数F（x，y）；

（2）求概率P（Y≤X）

解：

（1）

（2）

12．已知（X，Y）的联合分律为

X

Y

0

1

1

2

1/8

1/4

1/4

3/8

求X及Y的边缘分布律。

解：

X的分布律为

X

0

1

P

Y的分布律为

X

1

2

P

13．设随机变量（X，Y）的联合概率密度为，边缘概率密度。

解：

14．设（X，Y）的概率密度为

（1）确定常数k；

（2）求P（X<1，Y<3）；（3）求边缘概率密度

解：

（1）

（2）

（3）

15．设随机变量X的分布律为

X

-2

0

2

P

0.4

0.3

0.3

求

解：

16．设X—b（n,p）,求E（X）,D（X）

17．设随机变量X在（a,b）上服从均匀分布，求E（X），D（X）。

解：

X的概率密度为

18．设随机变量X服从分布，其概率密度为

19．已知X—N（μ，σ2），求E（X），D（X）。

20．在总体N（52，6.33）中随机抽一容量为36的样本，求样本平均值落在50.8到53.8之间的概率。

21．已知X—t（n），求证X2—F（1，n）

22．设为总体的一个样本，求下列各总体的密度函数中未知参数的极大似然估计量。

23．设总体为随机变量X，且E（X）=a（常数，未知），试说明样本平均值是a的无偏估计量。

24．设总体X在[a,b]上服从均匀分布，a,b未知，是一个样本，试求a,b的矩估计量。

25．设某种清漆的9个样品，其干燥时间（以小时计）分别为6.1,6.0,5.7,5.8,6.5,7.0,6.3,5.6,5.0。

设干燥时间总体服从正态分布N（μ，σ2），求μ的置信度为0.95的置信区间。

（1）若由以往经验知σ=0.6（小时）；

（2）若σ为未知。

26．随机地取某种炮弹9发做试验，得炮口速度的样本标准差S=11（m/s），设炮口速度服从正态分布，求这种炮弹的炮口速度的标准差σ的置信度为0.95的置信区间。

27．某种电子元件的寿命x（以小时计）服从正态分布，μ，σ2均未知，现测得16只元件的寿命如下：

159280101212224379179264222362168250149260485170问是否有理由认为元件的平均寿命大于225小时（取a=0.05）

28．已知（X，Y）的联合分布律为

X

Y

0

1

2

1

0

1/6

0

2

4/6

0

1/6

求X及Y的边缘分布律

解：

X的分布律为

X

0

1

2

P

0

Y的分布律为

X

1

2

P

29．设随机变量X的分布律为

X

-2

0

2

P

0.4

0.3

0.3

30．盒子有4个新乒乓球，2个旧乒乓球，甲从中任取一个用后放回（此球下次算旧球），乙再从中取一个，那么乙取到新球的概率是多少？

31．对于正态总体的大样本（n>30），S近似服从正态分布N（σ，σ2/2n），其中σ为总全的标准差，试证：

σ的100（r2）%的置信区间为

32．总体X~N（μ，σ2）是来自总体区的容量n=16的样本，S2是样本方差

33．已知离散型随机变量X服从对数为2的泊松分布，即求X=3X-2的数学期望E（X）。

34．设随机变量X与Y独立，且X~N（1，2）Y~N（0，1）试求X=2X-Y+3的概密度。

35．设随机变量的分布律为P（Z=K）=，确定a。

36．设（X，Y）的密度函数为求X，Y的边缘密度函数判别其独立性。

37．设随机变量（X，Y）的概率密度为求：

常数C及联合分布主数F（X，Y）。

38．设二维随机变量（X，Y）的联合分布函数求二维随机变量（X，Y）的联合φ（x,y）

解：

可验证F（x,y）是连续型二维随机变量的分布函数，则

39．测定某种溶液中的水份，它的10个测定值给出S=0.037%，设测定值总体为正态分布，σ2为总体方差试在水平a=0.05下检验假设

H0:

σ=0.04%,H1:

a<0.04%。

40．设随机变量X的概率密度为求Y=X2的概率密度函数Py（Y）。

41．设随机变量X的分布函数为求常数A及X的概率密度P（X）。

42．设随机变量X的概率密度函数是求X的分布函数F（x）

43．在长为a线段上任取两点M与N，试求线段MN长度的数学期望。

44．设总体X服从区间[θ，2θ]上的均匀分布，θ>0是未知参数，是来自总体X的容量为n的样本，记。

证明：

。

45．设随机变量（X，Y）的联合概率密度函数为求X=X-Y的概率密度函数。

46．设随机变量Z的概率密度为求E（Z）及D（Z）。

47．对圆的直径作挖测量，设其值均匀地分布在[a,b]内，求圆面积的数学期望。

解：

设圆直径为随机变量Z，圆面积为Y。

48．随机向量（X，Y）在区域D={（x,y）|0

求关于Z的边缘分布并求Z=2Z+1的方差。

49．设是来自参数为λ的泊松分布为总体的一个样本，试求λ的极大似然估计。

50．已知随机变量Z的分布函数为求E（Z）和D（Z）。

51．设随机变量（X，Y）的概率密度为

（1）确定常数K；

（2）求P{Z<1.5}

52．Z的概率密度为其中θ>0，θ为未知参数，求θ的极大似然估计值。

53．设总体Z的概率密度为其中θ>0,θ为未知参数，求θ的矩估计量。

54．设随机变量Z服从（0，2）上的均匀分布，则随机变量Y=Z2在（0，4）内的概率分布密度函数fy（y），求fy（y）。

55．已知

P（A）=P（B）=P（C）=,P（AB）=,P（AC）=P（B）,求A，B，C均不发生的概率。

56．甲、乙、丙三人进行投篮比赛，已知甲的命中率为0.9，乙的命中率为0.8，丙的为0.7，现每人各投一次，求三人中至少有两人投中的概率。

解：

设A为“甲投中”，B为“乙投中”，C为“丙投中”则

57．某工厂生产的100个零件中有5个次品，采用不放回抽样，每次任取一个，求（i）第一次抽次品。

（1）第一次和第二次都抽到次品

（2）第一，二，三次都抽到次品。

58．若AB，A>C,P（A）=0.9，

59．对以往数据进行分析，结果表明，当机器调整良好时，产品的合格率为30%，每天早上机器开动时，机器调整良好的概率为75%。

设某日早上第一件产品是合格品，试问机器调整得主奶好的概率是多少？

60．房间里有10个人，分别佩戴从1号到10号的胸章，任选三人记录共胸章的号，求

（1）最小号码为5；

（2）最大号码煤矿的概率。

61．一个工人看管12台同一类型的机器，在一段时间内每台机器需工人维修的概率为，求这段时间内至少有两台机器需要工人维修的概率。

解：

设为“K台机器需维修”，则

62．制帽厂生产帽子合格率为0.8，一盒中装有帽子4顶。

一个采购员从每盒中随机地取出两顶帽子进行检验，若两顶帽子都合格，则买下这盒帽子，求每盒帽子被买下的概率。

解：

设B为“一盒帽子被买下”，Ai为“一盒帽子中有I顶帽子合格”。

则

63．某种电子元件的寿命X（以小时计）服从正态分布，μ，σ2均未知，现测得16只元件的寿命如下：

159280101212224379179264222362168250149260485170问是否有理由认为元件的平均寿命大于225小时（取a=0.05），已知t0.05（15）=1.7531。

解：

此检验如下：

四、综合题

1.对于正态总体的大样本（n>30），s近似服从正态分布，其中为总体的标准差，试证：

的置信区间为

解：

则

即

2.测定某种溶液中的水份，它的10个测定值给出S=0.037%，设测定值总体为正态分布，为总体方差试在水平α=0.05下检验假设解:

3.总体X~N是来自总体区的容量n=16的样本，

解：