相似三角形---射影定理的运用Word格式.doc
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AC2=AD•AB。
(证明略)
二、变式推广
1.逆用 如图(1):
若△ABC中,CD为高,且有DC2=BD•AD或AC2=AD•AB或BC2=BD•AB,则有∠DCB=∠A或∠ACD=∠B,均可等到△ABC为直角三角形。
(证明略)
2.一般化,若△ABC不为直角三角形,当点D满足一定条件时,类似地仍有部分结论成立。
(后文简称:
射影定理变式
(2))
如图(2):
△ABC中,D为AB上一点,若∠CDB=∠ACB,或∠DCB=∠A,则有△CDB∽△ACB,可得BC2=BD•AB;
反之,若△ABC中,D为AB上一点,且有BC2=BD•AB,则有△CDB∽△ACB,可得到∠CDB=∠ACB,或∠DCB=∠A。
(证明略)
三、应用
例1 如图(3),已知:
等腰三角形ABC中,AB=AC,高AD、BE交于点H,求证:
4DH•DA=BC2
分析:
易证∠BAD=∠CAD=900-∠C=∠HBD,联想到射影定理变式
(2),可得BD2=DH•DA,又BC=2BD,故有结论成立。
例2 如图(4):
已知⊙O中,D为弧AC中点,过点D的弦BD被弦AC分为4和12两部分,
求DC。
分析:
易得到∠DBC=∠ABD=∠DCE,满足射影定理变式
(2)的条件,故有CD2=DE•DB,易求得DC=8
(解略)
例3 已知:
如图(5),△ABC中,AD平分∠BAC,AD的垂直平分线交AB于点E,交AD于点H,交AC于点G,交BC的延长线于点F,
求证:
DF2=CF•BF。
证明:
连AF, ∵FH垂直平分AD,
∴FA=FD, ∠FAD=∠FDA,
∵AD平分∠BAC,∴∠CAD=∠BAD,
∴∠FAD-∠CAD=∠FDA-∠BAD,
∵∠B=∠FDA-∠BAD,
∴∠FAC=∠B,又∠AFC公共,
∴△AFC∽△BFA,∴=,
∴AF2=CF•BF,∴DF2=CF•BF。
射影定理练习
【选择题】
1、已知直角三角形中,斜边AB=5cm,BC=2cm,D为AC上的一点,交AB于E,且AD=3.2cm,则DE=()
A、1.24cmB、1.26cmC、1.28cmD、1.3cm
2、如图1-1,在Rt中,CD是斜别AB上的高,在图中六条线段中,你认为只要知道()线段的长,就可以求其他线段的长
A、1 B、2 C、3 D、4
3、在Rt中,,于点D,若,则( )
A、 B、 C、 D、
4、如图1-2,在矩形ABCD中,,则( )
A、 B、 C、 D、
【填空题】
5、中,,于点D,AD=6,BD=12,则CD= ,AC=
,=。
6、如图2-1,在Rt中,,,AC=6,AD=3.6,则BC= .
【解答题】
7、已知CD是的高,,如图3-1,求证:
8、已知,,,是正三角形,求证:
9、如图3-2,矩形ABCD中,AB=a,BC=b,M是BC的中点,,E是垂足,求证:
10、如图,在Rt△ABC中,CD是斜边AB上的高,点M在CD上,DH⊥BM且与AC的延长线交于点E.求证:
(1)△AED∽△CBM;
(2)AE•CM=AC•CD.
11、已知:
如图,等腰△ABC中,AB=AC,AD⊥BC于D,过点B做射线BG,交AD、AC于E、F两点,与过点C平行于AB的直线交于点G。
求证:
(1)BE2=EF•EG
(2)若过点B的射线交AD\AC的射线AD、AC的延长线分别于E、F两点,与过C平行于AB的直线交于点G,则()的结论是否成立,若成立,请说明理由。
参考答案
1、C 2、B 3、C 4、C
5、
6、8
7、证明:
在Rt中,由射影定律得,
,在中,
又,
8、证明:
如图所示,在中,
,
9、证明:
在和中,,
所以~
所以,因为AB=a,BC=b,
所以
10、证明:
(1)∵△ABC是直角三角形,
∴∠A+∠ABC=90°
,
∵CD⊥AB,
∴∠CDB=90°
即∠MCB+∠ABC=90°
∴∠A=∠MCB,
∴∠2+∠DMB=90°
∵DH⊥BM,
∴∠1+∠DMB=90°
∴∠1=∠2,
又∵∠ADE=90°
+∠1,∠CMB=90°
+∠2,
∴∠ADE=∠CMB,
∴△AED∽△CBM;
(2)∵△AED∽△CBM,
∴AE:
AD=CB:
CM,
∴AE•CM=AD•CB,
∵△ABC是直角三角形,CD是AB上的高,
∴△ACD∽△CBD,
∴AC:
CD,
∴AC•CD=AD•CB,
∴AE•CM=AC•CD.
11、连结EC。
证明先BE=EC。
再证△CEF∽△GEC