级数敛散性总结Word文档下载推荐.doc

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Alembertdiscriminantmethod,Logarithmicmethod,integralmethod,Rabemethod,andCauchymethod.

Finally,thethirdpartofthispapermadeacomprehensivesummarythroughsortingoutidentifyingmethodsofseriesconvergenceanddivergence.Basedonthetypesofseriesandthemethodsofgeneraltermcharacteristics,thispapersummarizedtheanalysismentalityandeffectivewaysofsolutionstoconvergenceproblem.

Keywords:

SeriesConvergenceMathod

第一章引言

级数理论是数学分析的重要组成部分，与极限理论有密切的联系，它与另一个分支微积分学一起作为基础知识和工具出现在其余各分支中。

级数是研究函数的一个重要工具，在理论上和实际应用中都处于重要地位，这是因为一方面能借助级数表示许多常用的非初等函数，微分方程的解就常用级数表示；

另一方面又可将函数表为级数，从而借助级数去研究函数，例如用幂级数研究非初等函数，以及进行近似计算等。

II

广东石油化工学院本科毕业论文：

级数敛散性总结

第二章级数基本概念

2.1级数的定义

其定义如下：

设，记所有无限项加起来的和为

而则称为级数。

注：

数项级数或无穷级数也常简称级数。

2.2级数的分类

级数的种类繁多，并没有很详细的分类标准，本文考虑从通项的内容来看，主要分成两大类：

数项级数和函数项级数。

数项级数：

通项没有含有函数的的级数。

等比级数：

（又称几何级数）形如

其中，称为等比级数。

调和级数：

形如

称为等比级数。

正项级数：

若数项级数的各项的符号都相同，则称为同号级数。

对于同号级数，只须研究各项都是由正数组成的级数——称为正项级数。

交错级数:

若级数的各项符号正负相间，即：

称为交错级数。

2

一般项级数：

没有以上特点的数项级数。

函数项级数：

如果级数的每一项依赖于一个连续变量，,在一个区上变化，这个级数就成为一个函数项级数，简称函数级数，记为。

幂级数：

有幂级数列所产生的函数项级数，即形如

的级数成为幂级数。

傅立叶级数：

一般地说，若是以为周期且在上可积的函数，以的傅立叶系数的三角级数

称为的傅立叶级数，其中

称为傅立叶系数。

泰勒级数：

设函数在点的某一邻域内具有直到阶导数，则形如

称为泰勒级数。

Laurent级数：

如果函数在环形域解析，则可以展开为

其中

3

称为Laurent系数，是环形域内包围在其内部的任意简单封闭曲线。

称

是在环形域的Laurent级数。

2.3级数收敛发散的充要条件

一般收敛：

级数的收敛问题是级数理论的基本问题。

从级数的收敛概念可知，级数的敛散性是借助于其部分和数列的敛散性来定义的。

因此可从数列收敛的柯西准则得出级数收敛的柯西准则（宋国柱，2004）：

收敛等价于任意给定正数，必有自然数，当，对一切自然数，有

即充分靠后的任意一段和的绝对值可任意小。

绝对收敛：

设是实数列，如果级数收敛，则级数收敛；

条件收敛：

如果级数收敛，但级数发散，则说级数条件收敛；

一致收敛：

设函数项级数在区域D中收敛于函数，若，，使得当时，对一切同时成立，则说在D一致收敛于。

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2.4常见级数对应的收敛定理

2.4.1常数项级数

1.当存在，则收敛；

2.Cauchy准则：

级数收敛的充分和必要条件是，,使得当时，对一切自然数p成立。

3.无穷级数：

收敛的必要条件：

若级数收敛，则

2．4.2正项级数

1.正项级数收敛的充分条件是它的部分序列和有上界；

2.比较判别法：

设，则

（1）若收敛，则也收敛；

（2）若发散，则也发散；

3.比值判别法：

设和是两个正项级数，且

（1）若，则级数和同时收敛或同时发散；

（2）若，级数收敛，则也收敛；

（3）若，级数发散，则也发散。

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4.Cauchy判别法（根值判别法）：

设是正项级数，

（1）则当时，级数收敛；

（2）则当时，级数发散；

（3）则当时，级数可能收敛也可能发散。

5.对数判别法：

若对任意的，当时有，则收敛；

若有，则发散。

6.积分判别法：

设是上非负下降函数，则收敛。

2.4.3交错级数

1.Leibniz判别法：

设，且，则交错级数

收敛且余和的绝对值

2.Cauchy定理：

若级数和都绝对收敛，其和分别为和，则它们的乘积

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也是绝对收敛，且和为。

2.4.4函数项级数

1.Cauchy准则：

函数项级数在D一致收敛于的充分且必要条件是：

，，使得当时，对一切及一切自然数P同时成立。

2.weierstass判别法：

设在集合G上，且收敛，则在G上一致收敛。

2.4.5幂级数

1.Abel定理：

若在收敛，则当时，级数绝对收敛，若在处发散，则当时，级数发散。

（1）幂级数在其收敛圆是内闭一致收敛的。

（2）比值法：

若，则幂级数的收敛半径，这里，当时，，当时，。

（3）根值法：

，则级数的收敛半径

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2.4.6傅立叶级数

1.狄尼判别法：

设连续或者至多有第一类间断点，记

若存在，使存在，则

2.Lipschitz判别法设在点满足Lipa条件，即对充分小的有（为常数，），则

3.狄里希莱-约当判别法若在上囿变，则在点

4.弗耶定理设是周期为的连续函数，为傅立叶级数的部分和，，则在上一致收敛于。

5.威尔斯托拉斯逼近定理设，周期为，则存在三角多项式列一致收敛于。

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第三章级数敛散性判别法

3.1判别级数发散的简单方法

（注：

面对一道通项有规律的判定收敛性的题时，最初的想法应该从定义下手）

定义：

如果级数的部分和数列有极限，则收敛，反之发散。

例题l判别级数的散敛性。

解：

因为

故级数的部分和

，

又因为

所以，原级数收敛。

例题