拔河比赛论文文档格式.doc

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指导教师：

邓昌瑞

参赛学校：

江西渝州科技职业学院

报名序号：

141

证书邮寄地址：

江西渝州科技职业学院科研处

邓昌瑞（收）

第二页

阅卷专家1

阅卷专家2

阅卷专家3

评阅结果

B题拔河比赛

摘要

本文针对拔河比赛问题建立四个数学模型，运用牛顿定律，层次分析法，微分方程解决拔河过程中的位置安排，拉过绳索的长度，比赛规则以及提案问题。

模型一：

要解决拔河比赛中的站队问题；

首先，考虑影响站队获胜的因素；

其次对各个因素利用牛顿定律进行分析；

再次利用层次分析法对算出各因素的权重为：

身高技巧体重力量；

最后，综合分析各因素，得出要想在，比赛中发挥最大能量，需要身高高的在前面，体重和力量大的在后面，技巧好的在前方。

模型二：

解决拉过绳索的距离是否科学问题；

利用牛顿定律对受力进行分析，得到加速度和速度的关系式，之后利用微积分对加速度进行双重积分求出所移动的位移为0.9567小于比赛所规定的距离4米，所以将比赛获胜规定为拉过绳索4米是科学的。

模型三：

为吸引更多的学生和提高学生的素质，需要制定什么规则；

首先，提高积极性所提出的要求不要太苛刻，能够符合人们的心理；

其次，提高竞争力需要考虑到队员的需求；

最后，对体重和拉力的距离定量分析，判断这两个因素对吸引学生和提高竞争力的影响。

模型四：

根据模型三制定的拔河比赛规则，以此向全国大学生体育运动组委会提出将拔河比赛列入全国大学生正式比赛项目的提案；

根据提案的内容及要求结合拔河比赛的相关内容，得出合理的提案。

最后，对模型进行灵敏度和误差分析，并且对模型优缺点进行评价与推广。

关键词:

拔河比赛层次分析法比赛规则提案

1问题重述

1.1问题的由来

拔河比赛始于我国春秋时期，是一项具有广泛群众基础且深受人们喜爱的多人体育运动。

拔河运动可以锻炼参加者的臂力、腿力、腰力和耐力，并且能够培养团队合作精神。

此外，一场拔河比赛最多持续几分钟或几十分钟，并不需要太多的体力，且比赛现场气氛热烈。

拔河比赛有各种比赛分级方法。

常见的的分级是以参赛双方每方8人的总体重来分级，从320公斤到720公斤，每隔40公斤一级。

拔河比赛绳子中间有一个标记，在比赛中，若参赛的某一方将绳子标记拉过自己一侧4米则该方获胜。

1.2问题的提出

1．在某种分级比赛中，如果某方想在拔河比赛中发挥该队最大能量，他应该怎样安排他的队员位置？

请用对比赛建立一个数学模型的方式来说明你的结果。

2．比赛获胜规定为拉过绳索4米，请通过数学建模的方式说明该规定是否科学。

写一个将你设计的拔河比赛列入全国大学生正式比赛项目的提案。

3．当前我国在校学生的体质普遍不强，有人提出想用经常进行的拔河比赛来吸引更多的学生参加运动，以提高学生的身体素质。

请你设计一个既能保证在校大部分同学都能参加，又能体现比赛竞争性的拔河比赛规则，该规则要定量的说明。

4．向全国大学生体育运动组委会写一个将你设计的拔河比赛列入全国大学生正式比赛项目的提案。

2模型假设与符号说明

2.1模型假设

1忽略绳子的重量

2绳子在拔河过程中是匀速直线运动

3两个队伍中的力量一样大

4两个队伍中的总体重相同

5所有参赛队员脚底与地面的磨擦系数相同

6所有参赛队员均符合我国成年人的标准体重

7在拔河比赛中无意外事故发生

8替补队员与参赛队员的体重相差不大

2.2符号说明

表示参赛队员的质量（）

表示参赛8人的总质量

表示摩擦系数

分别表示受到的摩擦力

分别表示正压力

分别表示拉力

表示所受到的合力

表示重心离地面的高度

分别表示所受到的重力

表示身高

表示体重

表示技巧

表示力量

表示最大特征值

表示正负相反矩阵（一致矩阵）

表示特征向量

表示最大拉力

表示最小拉力

表示最大与最小拉力之差

表示拔河周期

周期的参数

表示移动的位

3问题分析

3.1问题一的分析

问题解决如何安排队员的位置，使其在拔河比赛中发挥最大的能量；

拔河比赛是一种分级比赛，常见的分级比赛是以参赛双方每方8人的总体重分级，如果想在拔河比赛中发挥该队最大能量，需要对影响比赛胜负的因素进行系统的考虑，最大限度的提高获胜的概率，而影响胜负的因素包括身高，体重，技巧，力量等原因。

首先，对体重进行分析；

体重的大小直接影响到摩擦力的大小，根据牛顿第三定律合外力提供加速度可知，合外力等于绳子的拉力与摩擦力之差，对这两个力比较，来确定摩擦力的大小，但是拔河比赛是一种多人合作的比赛形式，它主要体现在人与人之间的团队合作。

所以两队的总体重也将会大体相同，虽然有所区别但是影响力不会太大，体重稍重的将会赢取比赛的可能性增大。

其次，对力量进行分析；

将两队分别看成一个总体，两队所受到的力是作用力与反作用力，大小相等方向相反，所以跟力气并没有必然的关系。

再次，对身高进行分析；

身高的大小影响到重心的高低，需要利用牛顿定律对重心的高低进行分析，对身高高的在前和身高低的在前两种情况进行分析，得出较有利的情况。

最后，对技巧进行分析；

巧妙的利用各种技巧增大获胜的可能性，其实利用技巧归根结底也是增大摩擦力来间接增大拉力。

总而言之，上述几种因素的变化都是为了合理的安排队员的位置，来提高获胜的可能性。

3.2问题二的分析

主要让我们解决比赛获胜规定为拉过绳索4米是否科学；

因为在拔河的过程中队员所用的力并不是恒定不变的，具有一定的波动性，刚开始人的力气比较大，之后拉力随着时间的推移也将随之减少，该过程类似于余弦函数，列出加速度与时间以及速度与时间的微分方程，对加速度进行双重积分就可求的移动位移的表达式，通过网络查询出拔河比赛的周期，以及所用的压力差，带入数据即可求的所需移动的距离，将其与4米比较，如果小于4米说明拉过绳索4米是科学的，否则是不科学的。

3.3问题三的分析

为提高学生的身体素质，有人提出通过经常进行拔河比赛来吸引更多的学生参加，这就要求设计一个既能保证在校大部分学生参加，又能体现比赛竞争力的拔河比赛规则，为了吸引更多的学生制定的条件不要太苛刻，应该给学生充分的自由空间，对于临近比赛有特殊情况的学生，一旦经对方同意之后，可以找他人替代，凡是在校的所有学生都可以参加，并且给予参加者一分级方法，它是根据体重的重量进行分级的，由模型一的分析可知，重量较重的应该放定的物资和精神奖励，为了公平起见需要同等年级和相邻年级的学生进行比赛，还要提高比赛的安全性，要规定比赛的赛场范围，以及有必要的坐垫；

因为拔河比赛有各种比赛在队伍的后方，所以在比赛选取人物的过程中，尽量选择重量级人物来提高竞争力；

提高竞争力需要队员设置不同的奖项，评选出冠军和亚军班级，增强学生的集体荣誉感以及好胜的能力。

最后还要结合模型一和模型三对参赛选手的体重和移动的位移进行分析，分别讨论两种因素对人们吸引力和竞争力的影响。

3.4问题四的分析

根据问题三制定的拔河比赛的规则，以此向全国大学生体育运动组委会提出将其列入全国大学生正式比赛项目的提案；

首先，要了解提案的内容包括前言，背景，目的，构想，策略，要件，粗略性的行程表，预算，风险课题以及结尾。

其次，要明确各内容所包含的知识，也就是需要记录的信息，对知识进行系统的分析。

最后，结合拔河比赛事件模型三设计的规则写出比赛项目的提案。

4模型建立与求解

4.1模型一：

如何安排队员位置能使该队在比赛中发挥最大能量。

根据问题一的分析可知，如果想在比赛中最大限度发挥该队的潜力，需要对队员的位置进行合理的安排，才能保证赢取比赛的可能性增大，但是在站队过程中影响胜负的因素包括参赛人的体重，身高，力量和技巧等。

将每个参赛队伍中的所有成员看为一个整体，对这个整体进行受力分析可知受到鞋底与地面的摩擦力和手与绳子之间的拉力，受力如图1所示

图1拔河比赛的受力分析

根据图1的受力情况，对物体进行分析可知，物体受到拉力，重力，支持力，摩擦力四个力的作用，向下的重力和向上的支持力的合力为0，水平方向上受到摩擦力和拉力，由牛顿第三定律可得合外力

当时，即，此时拉力大于摩擦力，队将会向队移动，最终将会使比赛失败，为了赢取比赛需要尽可能大的将摩擦力转化为拉力，因此增加拉力也就是增加摩擦力，而：

正压力的大小与人的体重有关，然而假设中鞋底与地面的摩擦系数相同，所以只与体重向关联，为了增大摩擦力双方会找体重大的人参加比赛，题目中又将总体重分为十个等级，并且每个等级相差40公斤，相差的范围较大，所以可以将双方的中体重近似看为相同。

但是也有例外的情况，如果一方的体重与另一方的差距较大，那么体重大的获胜概率较大。

此时忽略了绳子与手之间的摩擦力和手的力量。

在两队的拔河比赛中，队受重力、支持力、静摩擦力和绳的拉力，队受力情况和队相同。

绳受到两个力（忽略绳子的重力），即对绳的拉力和对绳的拉力，当绳移动得很慢时，可以看作是匀速直线运动，这两个拉力是一对平衡力，大小相等。

根据牛顿第三定律（即当物体给物体一个作用力时，物体必然同时给物体一个反作用力，作用力与反作用力大小相等，方向相反，且在同一直线上），对绳的拉力和绳对的拉力是一对相互作用力，大小相等，对绳的拉力和绳对的拉力是一对相互作用力，大小相等。

因此，对于拔河的两个队，对施加了多大拉力，同时也对施加一个同样大小的拉力。

既然双方所受拉力的大小相等，应该不可能分出胜负，实际上总有一方获胜。

可见，双方之间的拉力也就是双方的力气并不是决定胜负的因素。

因为影响因素众多，各个因素对拔河比赛的影响力也有所不同，上述已经说明体重和力量对比赛的影响较小可以忽略不计，所以根据所学的层次分析法分析身高和技巧两因素占有的权重：

影响因素

身高

体重

技巧

力量

目标层O啊

准则层

措施层

方法一

方法二

图2层次分析法的分层

层次结构反映了因素之间的关系，但准则层中的各准则在目标衡量中所占的比重并不一定相同，在决策者的心目中，它们各占有一定的比例，需要对层次分析法进行单排序及一致性检验，首先需要判断矩阵对应于最大特征值,因为判断矩阵

利用软件（附录A）就可求的最大特征根，所以矩阵为非一致性矩阵，比大得越多，的非一致性程度也就越严重，对应的标准化特征向量也就越不能真实的反映各因素所占的比重，因此，对决策者提供的判断矩阵有必要作一次一致性检验，以决定是否能接受它。

对判断矩阵的一致性检验的步骤如下：

（i）计算一致性指标

=

（ii）查找相应的平均随机一致性指标。

对，Saaty给出了的值，如下表所示：

表1平均随机一致性指标

123456789

000.580.901.121.241.321.411.45

的值是这样得到的，用随机方法构造500个样本矩阵：

随机地从1~9及其倒数中抽取数字构造正互反矩阵，求得最大特征根的平均值，并定义

（ⅲ）计算一致性比例

又因为当时，认为判断矩阵的一致性是可以接受的，否则应对判断矩阵作适当修正，所以时该判断矩阵的一致性是可以接受的。

进而可得到各因素所占的权重为

表2各因素所占的权重

因素

权重