线性代数教案(正式打印版)Word文件下载.doc

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黑板讲解与多媒体演示.

基本内容

备注

第一节二、三阶行列式的定义

一、二阶行列式的定义

从二元方程组的解的公式,引出二阶行列式的概念。

设二元线性方程组

用消元法,当时,解得

令,称为二阶行列式,则

如果将D中第一列的元素,换成常数项,,则可得到另一个行列式,用字母表示,于是有

按二阶行列式的定义,它等于两项的代数和：

这就是公式

（2）中的表达式的分子。

同理将中第二列的元素a12,a22换成常数项b1,b2,可得到另一个行列式,用字母表示,于是有

于是二元方程组的解的公式又可写为

其中

例1.解线性方程组

同样,在解三元一次方程组时,要用到“三阶行列式”,这里可采用如下的定义.

二、三阶行列式的定义

设三元线性方程组

用消元法解得

定义设有9个数排成3行3列的数表

记,称为三阶行列式,则

三阶行列式所表示的6项的代数和,也用对角线法则来记忆：

从左上角到右下角三个元素相乘取正号,从右上角到左下角三个元素取负号,即

例2.计算三阶行列式.（-14）

例3.求解方程（）

例4.解线性方程组

解先计算系数行列式

再计算

,

得,,

第二节全排列及其逆序数

引例：

用1、2、3三个数字,可以组成多少个没有重复的三位数？

一、全排列

把n个不同的元素排成一列,叫做这个元素的全排列（简称排列）.

可将个不同元素按进行编号,则个不同元素的全排列可看成这个自然数的全排列.

个不同元素的全排列共有种.

二、逆序及逆序数

逆序的定义：

取一个排列为标准排列,其它排列中某两个元素的次序与标准排列中这两个元素的次序相反时,则称有一个逆序.

通常取从小到大的排列为标准排列,即的全排列中取为标准排列.

逆序数的定义：

一个排列中所有逆序数的总数称为这个排列的逆序数.

逆序数为偶数的排列称为偶排列,逆序数为奇数的排列称为奇排列,标准排列规定为偶排列.

例1:

讨论的全排列.

全排列

123

231

312

132

213

321

逆序数

2

1

3

奇偶性

偶

奇

逆序数的计算：

设为的一个全排列,则其逆序数为.

其中为排在前,且比大的数的个数.

例2：

求排列的逆序数.

解：

（对于逆序数的计算介绍另一种算法）

第三节阶行列式的定义

下面可用全排列的方式改写二阶,三阶行列式.

二阶行列式

.

其中：

①是的全排列,②是的逆序数,③是对所有的全排列求和.

三阶行列式

其中:

①是的全排列,②是的逆序数,③是对所有的全排列求和.

①是的全排列,②是的逆序数,③是对所有的全排列求和.

例1.计算对角行列式:

例2.证明对角行列式（其对角线上的元素是,未写出的元素都为0）

证明:

按定义式

例3.证明下三角行列式

按定义式得

以上,阶行列式的定义式,是利用行列式的第一行元素来定义行列式的,这个式子通常称为行列式按第一行元素的展开式.

回顾和小结

小结：

1.二三阶行列式的定义；

2.全排列及其逆序数；

3.阶行列式的定义。

复习思考题或作业题

思考题：

1.计算三阶行列式

2.求排列的逆序数.

作业题：

习题一：

第1（1,3）、2（2,4,6）

实施情况及分析

1.通过学习学员理解了二、三阶行列式和全排列及的定义概念,会计算二、三阶行列式；

2.对其逆序数等方面的应用有待加强.

第

（2）次课授课时间（）

第一章第四、五节

《线性代数》（第4版）同济大学编

掌握对换的概念；

掌握阶行列式的性质，会利用阶行列式的性质计算阶行列式的值；

行列式的性质；

3.教学难点：

行列式的性质.

1.教学内容：

对换；

2.时间安排：

3.教学方法：

4.教学手段：

基本内容

第四节 

对换

对换的定义：

在排列中,将任意两个元素对调,其余元素不动,这种作出新排列的手续叫做对换．

将相邻两个元素对调,叫做相邻对换．

例：

——.

定理1 

一个排列中的任意两个元素对换,排列改变奇偶性.

推论

奇排列调成标准排列的对换次数为奇数,

偶排列调成标准排列的对换次数为偶数.

证明：

由定理1知对换的次数就是排列奇偶性的

变化次数,而标准排列是偶排列（逆序数为0）,因此知推论成立

定理2 

：

阶行列式为：

其中为的逆序数.

（以4阶行列式为例,对证明过程作以说明）

（补充）定理3阶行列式也可定义为

其中和是两个级排列,为行标排列逆序数与列标排列逆序数的和.

练习：

试判断和是否都是六阶行列式中的项.

第五节 

行列式的性质

转置行列式的定义

记=（）

行列式称为行列式的转置行列式（依次将行换成列）

一、阶行列式的性质

性质1：

行列式与它的转置行列式相等.

由此知，行与列具有同等地位.关于行的性质，对列也同样成立，反之亦然.

如:

以r表示第i行，表示第j列.交换两行记为,交换i,j两列记

作.

性质2：

行列式互换两行（列），行列式变号.

推论：

行列式有两行（列）相同，则此行列式为零.

性质3：

行列式的某一行（列）的所有元素乘以数,等于用数乘以该行列式.

行列式的某一行（列）所有元素的公因子可以提到行列式符号外.

性质4：

行列式中有两行（列）的元素对应成比例，则此行列式为零.

性质5：

若行列式中某一行（列）的元素都是两数之和，则此行列式等于两个行列式之和.

即若

则+.

性质6：

把行列式某一行（列）的元素乘以数再加到另一行（列）上，则该行列式不变.

二、阶行列式的计算：

例1.计算.

例2.

（推广至阶，总结一般方法）

例3.证明：

证明：

左端

例4.计算阶行列式.

（利用递推法计算）

例5.，

证明：

.

对换和阶行列式的性质与计算

1.对换的定义及两个定理;

2.阶行列式的性质与计算；

1.把排列54132作一次对换变为24135,问相当于作几次相邻对换？

把排列12345作偶数次对换后得到的新排列是奇排列还是偶排列？

2.计算：

.

第3，4（2，4）,5（2,4,5）

1.通过学习学员掌握了阶行列式的定义和对换的概念；

2.对利用阶行列式的定义和对换等方面的应用有待加强.

第（3）次课授课时间（）

第一章第六节

1.《线性代数》（第4版）同济大学编；

了解余子式和代数余子式的概念；

掌握行列式按行（列）展开；

行列式按行（列）展开；

行列式按行（列）展开.

第六节 

行列式按行（列）展开

定义在阶行列式中，把元素所处的第行、第列划去，剩下的元素按原排列构成的阶行列式，称为的余子式，记为；

而称为的代数余子式.

引理如果阶行列式中的第行除外其余元素均为零，即：

则：

.

证先证简单情形：

再证一般情形：

定理 

行列式等于它的任意一行（列）的各元素与对应的代数余子式乘积之和，即

按行：

按列：

证：

（此定理称为行列式按行（列）展开定理）

例1 

解:

例2:

从而解得.

例3．证明范德蒙行列式

其中，记号“”表示全体同类因子的乘积.

证用归纳法

因为

所以，当n=2时，（4）式成立.

现设（4）式对时成立，要证对时也成立.为此，设法把降阶；

从第行开始，后行减去前行的倍，有

（按第一列展开，并提出因子）

阶范德蒙行列式

=

定理的推论 

行列式一行（列）的各元素与另一行（列）对应各元素的代数余子式乘积之和为零，即

结合定理及推论，得

，其中

例4.计算行列式的值。

行列式按行（列）展开。

1.余子式和代数余子式的概念;

2.行列式按行（列）展开;

设:

求第一行各元素的代数余子式之和

习题一:

第7（2，3，5，6）

1.通过学习学员理解了余子式和代数余子式的概念，掌握行列式按行（列）展开；

2.对利用行列式按行（列）展开的方法计算行列式等方面的应用有待加强.

第（4）次课授课时间（）

第一章第七节

了解克拉默法则的内容,了解克拉默法则的证明,会利