结构化学基础习题及答案(结构化学总复习)Word文档格式.doc

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8.21

7.41

5.49

Ek/10－19J

由表中数据作图，示于图1.2中

图1.2金属的图

由式

推知

即Planck常数等于图的斜率。

选取两合适点，将和值带入上式，即可求出。

例如：

图中直线与横坐标的交点所代表的即金属的临界频率，由图可知，。

因此，金属钠的脱出功为：

【1.3】金属钾的临阈频率为5.464×

10-14s-1，如用它作为光电极的阴极当用波长为300nm的紫外光照射该电池时，发射光电子的最大速度是多少？

【1.4】计算下列粒子的德布罗意波的波长：

（a）质量为10-10kg，运动速度为0.01m·

s-1的尘埃；

（b）动能为0.1eV的中子；

（c）动能为300eV的自由电子。

根据关系式：

（1）

【1.5】用透射电子显微镜摄取某化合物的选区电子衍射图，加速电压为，计算电子加速后运动时的波长。

根据deBroglie关系式：

【1.6】对一个运动速度（光速）的自由粒子，有人进行了如下推导：

结果得出的结论。

上述推导错在何处？

请说明理由。

微观粒子具有波性和粒性，两者的对立统一和相互制约可由下列关系式表达：

式中，等号左边的物理量体现了粒性，等号右边的物理量体现了波性，而联系波性和粒性的纽带是Planck常数。

根据上述两式及早为人们所熟知的力学公式：

知①，②，④和⑤四步都是正确的。

微粒波的波长λ服从下式：

式中，u是微粒的传播速度，它不等于微粒的运动速度υ，但③中用了，显然是错的。

在④中，无疑是正确的，这里的E是微粒的总能量。

若计及E中的势能，则⑤也不正确。

【1.7】子弹（质量0.01kg，速度1000m·

s-1），尘埃（质量10-9kg，速度10m·

s-1）、作布郎运动的花粉（质量10-13kg，速度1m·

s-1）、原子中电子（速度1000m·

s-1）等，其速度的不确定度均为原速度的10%，判断在确定这些质点位置时，不确定度关系是否有实际意义？

按测不准关系，诸粒子的坐标的不确定度分别为：

子弹：

尘埃：

花粉：

电子：

【1.8】电视机显象管中运动的电子，假定加速电压为1000，电子运动速度的不确定度为的10%，判断电子的波性对荧光屏上成像有无影响？

在给定加速电压下，由不确定度关系所决定的电子坐标的不确定度为：

这坐标不确定度对于电视机（即使目前世界上最小尺寸最小的袖珍电视机）荧光屏的大小来说，完全可以忽略。

人的眼睛分辨不出电子运动中的波性。

因此，电子的波性对电视机荧光屏上成像无影响。

【1.9】用不确定度关系说明光学光栅（周期约）观察不到电子衍射（用电压加速电子）。

解法一：

根据不确定度关系，电子位置的不确定度为：

这不确定度约为光学光栅周期的10－5倍，即在此加速电压条件下电子波的波长约为光学光栅周期的10－5倍，用光学光栅观察不到电子衍射。

解法二：

若电子位置的不确定度为10－6m，则由不确定关系决定的动量不确定度为：

在104V的加速电压下，电子的动量为：

由Δpx和px估算出现第一衍射极小值的偏离角为：

这说明电子通过光栅狭缝后沿直线前进，落到同一个点上。

因此，用光学光栅观察不到电子衍射。

【1.10】请指出下列算符中的线性算符和线性自轭算符：

由线性算符的定义：

为线性算符;

而为线性自轭算符.

【1.11】是算符的本征函数，求其本征值。

应用量子力学基本假设Ⅱ（算符）和Ⅲ（本征函数，本征值和本征方程）得：

因此，本征值为。

【1.12】下列函数中，哪几个是算符的本征函数？

若是，求出本征值。

，是的本征函数，本征值为1。

是的本征函数，本征值为1。

【1.13】和对算符是否为本征函数？

，

所以，是算符的本征函数，本征值为。

而

所以不是算符的本征函数。

【1.14】证明在一维势箱中运动的粒子的各个波函数互相正交。

证：

在长度为的一维势箱中运动的粒子的波函数为：

=1，2，3，……

令n和n’表示不同的量子数，积分：

和皆为正整数，因而和皆为正整数，所以积分：

根据定义，和互相正交。

【1.15】已知在一维势箱中粒子的归一化波函数为

式中是势箱的长度，是粒子的坐标，求粒子的能量，以及坐标、动量的平均值。

（1）将能量算符直接作用于波函数，所得常数即为粒子的能量：

即：

（2）由于无本征值，只能求粒子坐标的平均值：

（3）由于无本征值。

按下式计算px的平均值:

【1.16】求一维势箱中粒子在和状态时，在箱中范围内出现的概率，并与图1.3.2（b）相比较，讨论所得结果是否合理。

（a）

由上述表达式计算和，并列表如下：

1/8

1/4

1/3

3/8

1/2

0.293

1.000

1.500

1.726

2.000

5/8

2/3

3/4

7/8

1

根据表中所列数据作图示于图1.16中。

图1.16

（b）粒子在状态时，出现在和间的概率为：

粒子在ψ2状态时，出现在0.49l和0.51l见的概率为：

（c）计算结果与图形符合。

【1.17】链型共轭分子在长波方向处出现第一个强吸收峰，试按一维势箱模型估算其长度。

该分子共有4对电子，形成离域键。

当分子处于基态时，8个电子占据能级最低的前4个分子轨道。

当分子受到激发时，电子由能级最高的被占轨道（n=4）跃迁到能级最低的空轨道（n=5），激发所需要的最低能量为ΔE＝E5－E4，而与此能量对应的吸收峰即长波方向460nm处的第一个强吸收峰。

按一维势箱粒子模型，可得：

因此：

计算结果与按分子构型参数估算所得结果吻合。

【1.18】一个粒子处在的三维势箱中，试求能级最低的前5个能量值[以h2/（8ma2）为单位]，计算每个能级的简并度。

质量为m的粒子在边长为a的立方箱中运动，其能级公式为：

E122=E212=E221=9

E113=E131=E311=11

E222=12

【1.19】若在下一离子中运动的电子可用一维势箱近似表示其运动特征：

估计这一势箱的长度，根据能级公式估算电子跃迁时所吸收的光的波长，并与实验值510.0比较。

该离子共有1个电子，当离子处于基态时，这些电子填充在能级最低的前5个型分子轨道上。

离子受到光的照射，电子将从低能级跃迁到高能级，跃迁所需要的最低能量即第5和第6两个分子轨道的的能级差。

此能级差对应于棘手光谱的最大波长。

应用一维势箱粒子的能级表达式即可求出该波长：

实验值为510.0nm，计算值与实验值的相对误差为-0.67%。

【1.20】已知封闭的圆环中粒子的能级为：

式中为量子数，是圆环的半径，若将此能级公式近似地用于苯分子中离域键，取R=140pm，试求其电子从基态跃迁到第一激发态所吸收的光的波长。

由量子数n可知，n=0为非简并态，|n|≥1都为二重简并态，6个电子填入n=0，1，等3个轨道，如图1.20所示：

图1.20苯分子能级和电子排布

实验表明，苯的紫外光谱中出现β，和共3个吸收带，它们的吸收位置分别为184.0nm，208.0nm和263.0nm，前两者为强吸收，后面一个是弱吸收。

由于最低反键轨道能级分裂为三种激发态，这3个吸收带皆源于电子在最高成键轨道和最低反键之间的跃迁。

计算结果和实验测定值符合较好。

【1.21】函数是否是一维势箱中粒子的一种可能状态？

若是，其能量有无确定值？

若有，其值为多少？

若无，求其平均值。

该函数是长度为的一维势箱中粒子的一种可能状态。

因为函数和都是一维势箱中粒子的可能状态（本征态），根据量子力学基本假设Ⅳ（态叠加原理），它们的线性组合也是该体系的一种可能状态。

因为

常数

所以，不是的本征函数，即其能量无确定值，可按下述步骤计算其平均值。

将归一化：

设=，即：

所代表的状态的能量平均值为：

也可先将和归一化，求出相应的能量，再利用式求出所代表的状态的能量平均值：

02原子的结构和性质

【2.1】氢原子光谱可见波段相邻4条谱线的波长分别为656.47、486.27、434.17和410.29nm，试通过数学处理将谱线的波数归纳成为下式表示，并求出常数R及整数n1、n2的数值。

将各波长换算成波数：

由于这些谱线相邻，可令，……。

列出下列4式：

（1）÷

（2）得：

用尝试法得m=2（任意两式计算，结果皆同）。

将m=2带入上列4式中任意一式，得：

因而，氢原子可见光谱（Balmer线系）各谱线的波数可归纳为下式：

式中，。

【2.2】按Bohr模型计算氢原子处于基态时电子绕核运动的半径（分别用原子的折合质量和电子的质量计算并精确到5位有效数字）和线速度。

根据Bohr提出的氢原子结构模型，当电子稳定地绕核做圆周运动时，其向心力与核和电子间的库仑引力大小相等，即：

n=1，2，3，……

式中，和分别是电子的质量，绕核运动的半径，半径为时的线速度，电子的电荷和真空电容率。

同时，根据量子化条件，电子轨道运动的角动量为：

将两式联立，推得：

；

当原子处于基态即n=1时，电子绕核运动的半径为：

若用原子的折合质量代替电子的质量，则：

基态时电子绕核运动的线速度为：

【2.3】对于氢原子：

（a）分别计算从第一