高考数学多面体内切球棱柱棱锥内切球方法总结题型专练Word文档格式.docx
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①先画出内切球的截面图如左图，、分别为两个三角形的外心．
②、求,，为侧面的高．
③由相似于，建立等式：
解出
小结：
①正四面体是一下中心对称图形，所以其外接球与内切球圆心是同一个
正四面体（棱长为）的外接球半径与内切球半径之比为．
外接球半径：
，内切球半径：
正三棱柱的外接圆与内切圆：
外接圆与内切圆圆心在同一条高上，但不重合．
图1图2图3
题型二、正四棱锥求内切球半径（如图2所示）
①先画出内切球的截面图如左图，，，三点共线．
②求,，为侧面的高．
解出．
题型三、求任意三棱锥的内切球半径：
等体积法（如图3所示）
①先求出四个表面的面积和整个锥体的体积．
②设内切球半径为，建立等式：
．
③解出．
例1已知正四面体，为底面的中心，为外接球的球心，设棱长为，外接球半径为，内切球半径为，求．
例2.已知三棱锥中，底面，，，，，则该三棱锥的内切球的体积为 ．
例3一个四面体的所有棱长都为，四个顶点在同一球面上，则此球的表面积为（）
例4正三棱锥，底面边长为，侧棱长为，则其外接球和内切球的半径是多少?
例5．一个几何体的三视图如图所示，三视图都为腰长为2的等腰直角三角形，则该几何体的外接球半径与内切球半径之比为
A． B． C． D．
课后练习
1．如图是棱长为2的正八面体（八个面都是全等的等边三角形），球是该正八面体的内切球，则球的表面积为（）
A． B． C． D．
2．若某正四面体内切球的体积为，则正四面体外接球的表面积为（）
A． B． C． D．
3．底面边长为的正三棱锥的内切球半径为，则其外接球的表面积为（）
4．如图，正方形的边长为，点，分别在边，上，且．将此正方形沿，，切割得到四个三角形，现用这四个三角形作为一个三棱锥的四个面，则该三棱锥的内切球的体积为 ．
第1题图第4题图第8题图
5．若三棱锥中，，其余各棱长均为5，则三棱锥内切球的表面积为 ．
6．在边长为2的菱形中，，将菱形沿对角线对折，使，则所得三棱锥的内切球的半径为 ．
7．在《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑（biēnà
o）．已知在鳖臑中，平面，，则该鳖臑的外接球与内切球的表面积之和为 ．
8．如图，已知正四面体的高为，则它的内切球的体积为 ．
9．已知三棱锥的底面是等腰三角形，，底面，，则这个三棱锥内切球的半径为 ．
10．在边长为的菱形中，，将菱形沿对角线对折，使二面角的余弦值为，则所得三棱锥的内切球的表面积为 ．
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