8.由垂心开始想Word下载.docx

8.由垂心开始想Word下载.docx

《8.由垂心开始想Word下载.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《8.由垂心开始想Word下载.docx（9页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。

E

H

D

2．垂足三角形

定义：

ΔDEF称为ΔABC的垂足三角形。

性质1 如图，设H是ΔABC的垂心，则DA平分∠FDE。

证明一：

因为AD⊥BC，BE⊥CA，CF⊥AB，所以，H、

D、C、E；

E、F、B、C；

H、F、B、D分别四点共圆。

于是 B C

∠HDE=∠ECF=∠EBF=∠HDF，

即DA平分∠FDE。

推论 三角形的垂心是其垂足三角形的内心。

9

B D C

B D C

J A G

证明二：

因为AD、BE、CF共点，故根据塞瓦定理知

BD×

CE×

AF

=1。

DC EA FB

过A作BC的平行线分别交DE、DF于G、J，那么由ΔJAF∽ΔDBF，ΔGAE∽ΔDCE知

JA=

BD

AF,AG=AE。

FB CD EC

所以 JA=BD×

AFFB

=CD×

AE

CE

=AG。

又因为JG//BC，AD⊥BC，所以JG⊥AD。

所以ΔDGJ是等腰三角形。

从而

DA平分∠FDE。

推广 设AD是ΔABC的高，P是AD上的任一点，连BP、CP分别交AC、AB于E、

F，则AD平分∠EDF。

（1994年，加拿大奥林匹克数学试题）

G A H

P



G

推广设P是ΔABC所在平面上任一点（不在ΔABC的任一边上），连AP、BP、CP，分别交BC、CA、AB于D、E、F，连DE、DF分别交过A的且平行于BC的直线于G、H，则HA=AG。

证明三：

因为AD、BE、CF共点，故根据塞瓦定理知

因为AJ//BD,AG//CD，所以ΔJAF∽ΔDBF，ΔGAE∽ΔDCE，故

AF,FB

AG=AECD EC

=AG。

①

由 ∠JAD+∠BDA=1800=∠GAD+∠CDA，

∠ADB=∠ADC（=900）

知 ∠JAD=∠GAD。

② A

J

FE

C

K

从而由①、②及AD共用即知ΔJAD≌ΔGAD，

所以∠JDA=∠GDA，即DA平分∠FDE。

推广 在四边形ABCD中，对角线AC平分∠BAD。

D

在CD上取一点E，BE与AC相交于F，延长DF交 B

BC于G。

求证：

∠GAC=∠EAC。

（1999年，全国高中数学联赛）

L

3．垂足三角形相关量的计算

记垂足三角形的半周长为p′,内切圆半径为r′,外接圆半径为R′，如图，有

（1）由ΔABC∽ΔAEF知

EF=

a

AF=cosA，b

故 EF=acosA=2RsinAcosA=Rsin2A。

同理，DE=Rsin2C,DF=Rsin2B。

所以垂足三角形的周长为 2p′=R（sin2A+sin2B+sin2C）。

（2）外接圆半径、内切圆半径

R¢

=

EF Rsin2A R

= = 。

2sin2（900-A） 2sin2A 2 A

r¢

=DHsin（900-A）=DHcosA

=b×

cosC×

tan（900-B）×

cosA

cotB×

=2RcosA×

cosB×

cosC

（3）垂足三角形的面积

。

SDDEF

=1DE×

DF×

sin2（900-A）2

=1R2sin2A×

sin2B×

sin2C2

根据SDDEF

=r¢

p¢

r¢

=2RcosA×

cosB×

cosC知

p′=2RsinA•sinB•sinC。

（4）垂足三角形的周长不大于三角形的半周长。

2p¢

=R（sin2A+sin2B+sin2C）

=2（1R2sin2A+1R2sin2B+1R2sin2C）

R2 2 2

=2SR

DABC

=2rp。

R

因为2r£

R，所以2p′£

p，即垂足三角形的周长不大于三角形的半周长。

（5）许瓦兹定理 设D、E、F是锐角ΔABC的边BC、CA、AB上的点，在这样的

ΔDEF中，以垂足三角形的周长为最小。

2

B

R3

A D3

E1 C1 D4

F3 R4

S

T R2 C2E2

3

F F1 E

E B1 F

D 2

R C R1 1 A1

证明：

设ΔDEF是ΔABC的垂足三角形，ΔRST是任一内接三角形，经五个对称后

得到上图，易知DD4是垂足三角形的周长的二倍，折线RST1R2S2T3R4是ΔRST的周长的二倍，且DD4R4R是平行四边形。

因为具有相同端点的曲线段中，直线段的长度最小，所以垂足三角形的周长比内接三角形的周长小，即ΔABC的内接三角形中以垂足三角形的周长最小。

许瓦兹定理的证明巧妙地应用了对称变换的方法，使问题得到简捷的证明。

在几何中应用的初等几何变换还有平移变换、旋转变换、相似变换、投影等等。

试举几例如下。

在河的两岸有村庄A、B，现要在河上架一座桥，使得从A到B的距离最短。

问如何选择桥址？

设ΔABC是一个锐角三角形，P是其内部一点，试求使得AP+BP+CP最小的点P。

如图，在离铁路30公里的地方有一个矿区A，铁路沿线有一个储藏区B，A0B为100公里。

现要从A到铁路开一条公路，将矿物先用汽车再用火车运到B。

已知汽车的每公里运费是火车的二倍，问火车站C应选在何处？

B'

A0

A C'

D Q'

Q

B C

一般点关于三角形的垂足三角形过平面上的任一点P作ΔABC的三边的垂线，得三个垂足D、E、F，则ΔDEF称为P点关于ΔABC的垂足三角形。

点关于三角形的垂足三角形是三角形的内接三角形中的一个重要研究对象。

4．垂心组与九点圆

（1）垂心组

易知当H是ΔABC的垂心时，A、B、C分别是ΔBCH、ΔCAH、ΔCAH的垂心。

定义 若平面上四点中的任何一点都是其余三点构成的三角形的垂心，则称此四点组为

一个垂心组。

垂心组有许多重要性质，如：

三角形的内心和旁心构成的垂心组的九点圆就是三角形的外接圆；

垂心组的九点圆圆心是这个垂心组的重心；

一个垂心组的任三点构成的三角形的外接圆相等（称此圆为垂心组的外接圆）；

一个垂心组中任三点构成的三角形的外心构成另一个垂心组；

垂心组的两条不相邻的连线的平方和等于外接圆直径的平方；

两个正交的圆的互相垂直的直径的端点构成一个垂心组，等等。

（2）九点圆

设ΔABC的外接圆半径为R，圆心为O，ΔDEF的外接圆半径为r，那么

2r=

EF

sin2A=

AEsinAsinC =

2sinAcosA

AE

2sinCcosA=

AB

2sinC

=R，

这与ΔABC的三边上的中点构成的三角形的外接圆的半径相等，那么这两个圆有什么联系？

定理 三角形的中点三角形和垂足三角形内接于同一个圆。

A

Z

N

Y

M

O

如图，设ΔABC的外心为O，由

BL=1BC×

ABcosB,

2 ，

BN×

BF=1AB×

BCcosB

B LXD C

知BD•BL=BN•BF，故L、D、F、N共圆，

同理，L、D、M、E共圆，M、E、F、N共圆。

作LD、ME、FN的中垂线，易知它们交于OH的中点K，

那么由KL=KD=KM=KE=KF=KN知，L、D、M、E、F、N六点共圆。

考察上述证明过程可想到：

（1）三角形顶点与垂心的连线段是外心到该顶点的对边距离的二倍。

（2）在ΔABC的每边上各取二点，若每两边上的四点共圆，则所取六点共圆。

（3）三角形的垂足三角形的外接圆过三角形顶点与垂心连线段的中点。

这是因为B是ΔAHC的垂心，而ΔAHC的垂足三角形是ΔDEF，那么根据上述结论知

ΔDEF的外接圆过AH、HC、CA的中点。

同理，ΔDEF的外接圆过BH的中点。

定理 

ΔABC的边上的中点，顶点在对边上的射影，顶点与垂心的连线段的中点，九点共圆。

这个圆称为ΔABC的九点圆。

定理 三角形的外心、垂心、九点圆心、重心，四心共线，且构成一个调和点列。

定理 三角形的垂心、重心分别是外接圆和九点圆的外、内位似中心。

由此知三角形的垂心与外接圆上的点的连线段被九点圆平分。

定理 由一个垂心组中的任三点所构成的四个三角形有一个共同的九点圆。

二、密克点与西姆松线

1．密克点

如图，易知A、B、D、E共圆；

A、C、D、F共圆；

C、E、H、D共圆；

B、D、H、F共圆。

换句话说，ΔABE、ΔACF、ΔCEH、ΔBFH