第十三章三角形外心的性质及应用1Word文档格式.docx
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O3
O2
d2
d3
d1
O
B
O1
图13-1
C
设△ABC的外接圆半径为R，内切圆半径为r．由于O为外心，则O1，O2，O3分别为三边中点，于
是，上式变为R×
1a=1c×
d
+1b×
d，即Ra=cd+bd．
2
3
2 3
2 2
同理，有Rb=ad3+cd1，Rc=bd1+ad2．
三式相加，得R（a+b+c）=d1（b+c）+d2（c+a）+d3（a+b）．
①
另一方面，由S△ABC=S△OBC+S△OCA+S△OAB，
有r（a+b+c）=ad1+bd2+cd3．
②
②+①式，即得R+r=d1+d2+d3．
如图13
2，对于钝角△ABC，字母所设同图13
1，则OO3=-d3（d3为负值）．在四边形O3O2AO中应
用托勒密定理，有AO3×
OO2=OO3×
AO2+AO×
O3O2，即
图13-2
cd2=-bd2+Ra，即Ra=cd2+bd3．
以下均同锐角的情况（略）．故d1+d2+d3=R+r．
1×
2×
2R×
sinÐ
A×
B×
2S△
a+b+c
=4R×
C，则有
注若由r=
=
2R（sinÐ
A+sinÐ
B+sinÐ
C）
d+d+d=Ræ
cosÐ
BOC+cosÐ
AOC+cosÐ
AOBö
=R（cosÐ
A+cosÐ
B+cosÐ
C）=Ræ
1+4sinÐ
Cö
ç
÷
1 2 3
è
ø
rö
=R+r，即证．
=Ræ
1+
R÷
ø
性质 过△ABC的外心O任作一直线与边AB，AC（或其延长线）分别相交于P，Q两点，则
7
AB×
sin2Ð
B+AC×
C=sin2Ð
A+sin2Ð
B+sin2Ð
C，
AP
AQ
或BP×
B+CQ×
证明如图13
3，延长AO交BC于M，交外接圆于K，延长CO交AB于F，则
FP
Q
M
K
图13-3
AM×
C×
sin（90°
-Ð
AKB）=sin2Ð
C．
BMMC
S
=△ABM
AKC） sin2Ð
S△ACM
同理，AF
=sin2Ð
B．
FB sin2Ð
对△ABM及截线FOC应用梅勒劳斯定理，得AF×
BC×
MO=1
FBCM OA
BC=BM+MC=sin2Ð
而
MC
sin2Ð
于是MO=MC×
BF
OA BC FA sin2Ð
AO
从而
AM AO+OM sin2Ð
又S△APO
S△ABM
，S△ABM
S△ABC
AP×
AOAB×
AM
=BM
，
BC sin2Ð
S△AQO
，S△ACM
AQ×
AOAC×
=MC
．
由
AQ=S△APQ
S△AQOS
+×
△ACM
S△APO×
S△ABM
AO×
+
AC
S△ABC S△ABM S△ABC S△ACM S△ABC
AMsin2Ð
C AC×
AMsin2Ð
，即证得结论．
【典型例题与基本方法】
例1如图13
4，在△ABC中，O是△ABC的外心，I是其内心，若Ð
BOC=Ð
BIC，求Ð
I
图13-4
解因I为其内心，则
Ð
IBC+Ð
ICB=1
1
2（
B+Ð
C）= °
-2Ð
90
A，
故Ð
BIC 90
= °
+2Ð
又O是其外心，有Ð
BCO=2Ð
A，从而
A，即Ð
A=60°
为所求．
°
=
A 2
注若O，I为△ABC的外心，内心，且Ð
，则有Ð
BIC，且B，C，I，O共圆，这亦可以视为三角形外心（或内心）的一条特殊性质．
例2如图13
5，在等腰△ABC中，AB=BC，CD是它的角平分线，O是它的外心，过O作CD的垂
线交BC于E，再过E作CD的平行线交AB于F．证明：
BE=FD．（第22届俄罗斯奥林匹克决赛题）
FG
E
N
D
图13-5
证明延长CD交O于N，作直线EN交O
MNC=Ð
ECN=Ð
NC，A即有MN∥AC．
于M，交AB于G
．由OE垂直平分弦CN，知
又Ð
OEC=Ð
OEN
，即知弦BC和MN关于直线OE对称，从而有BE=ME．
又直线OB为△ABC和直线MN的公共对称轴，知BE=BG，ME=GN，从而BE=GN．
欲证BF=DF，须证BG=DF，即BF
=DG．由EF∥CN，且EF平分Ð
BEG，故
BF
BE=GN
=DG，于是BF
=DG，由此即证得结论．
FG EG EG FG
注此例利用内心性质，可另证如下：
6，作BO^AC于H，则BO与CD交于内心I．又令OE^CD于G，则G，O，H，C四点
共圆，于是Ð
GOH
=Ð
DCH
BCD．从而O，I，E，C四点共圆，故Ð
OBC=Ð
OCB=Ð
BIE，即
IE=BE．又Ð
IEC=2Ð
ABC
，有IE∥BD．
F
G
H
图13-6
又EF∥ID，即四边形IDFE为平行四边形，故
DF=IE=BE．
例3如图13
7，设AD是△ABC的Ð
BAC的平分线，O是△ABC外接圆的圆心，O1是△ABD的外接
圆的圆心，O2是△ADC的外接圆圆心．求证：
OO1=OO2．
A
'
O2F
EO
图13-7
（1990年全国高中联赛题）
证明设OO1，OO2（或其延长线）分别交AB，AC于E，F，则易证A，E，O，F四点共
圆．
连O1O2，O1A，O1D，O2A，O2D，则O1O2垂直平分AD，故有
AO1O2=Ð
ABC，Ð
AO2O1=Ð
ACB．
于是△AO1O2∽△ABC．
连O1B，O2C，必有△AO1B∽△AO2C，故Ð
ABO1=Ð
ACO2．从而延长BO1，CO2必交O于一点A¢
，
显然Ð
BA¢
C=Ð
BAC
，注意到Ð
BAC+Ð
O1OO2=180°
，知A¢
，O1，O，O2，四点共圆．
又AD平分Ð
BAC，即Ð
BAD
DAC
，从而Ð
BO1D=Ð
DO2C，故Ð
O1BD=Ð
O2CD，即△A¢
BC为等
腰三角形，连A¢
O并延长交BC于M，易证A¢
M垂直平分BC，Ð
O1A¢
O=Ð
O2A¢
O，故O1O=OO2．
注注意到连心线与公共弦垂直，则有如下简捷证法：
设O1O2^AD于K，由A，K，O2，F四点共圆，
有Ð
OOO=Ð
KAF
=2Ð
A；
由A，K，E，O四点共圆，有Ð
EAK=2Ð
A，故△OOO为
12
21
1 2
等腰三角形，从而有OO1=OO2．
例4如图13
8，设△ABC的外心为O，若O关于BC，CA，AB的对称点分别为A¢
，B¢
，C¢
，求证：
（1）从AA¢
，BB¢
，CC¢
交于一点；
（2）若BC，CA，AB的中点分别为A1，B1，C1，则P为△A1B1C1的外心．
C'
B
A1
图13-8
证明
（1）由四边形OBA¢
C的对角线互相平分，知
A¢
C∥BO
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