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周期函数:
f(x+T)=f(x),x∈(-∞,+∞)
周期:
T——最小的正数
4.函数的有界性:
|f(x)|≤M,x∈(a,b)
㈢基本初等函数
1.常数函数:
y=c,(c为常数)
2.幂函数:
y=xn,(n为实数)
3.指数函数:
y=ax,(a>0、a≠1)
4.对数函数:
y=logax,(a>0、a≠1)
5.三角函数:
y=sinx,y=conx
y=tanx,y=cotx
y=secx,y=cscx
6.反三角函数:
y=arcsinx,y=arcconx
y=arctanx,y=arccotx
㈣复合函数和初等函数
1.复合函数:
y=f(u),u=φ(x)
y=f[φ(x)],x∈X
2.初等函数:
由基本初等函数经过有限次的四则运算(加、减、乘、除)和复合所构成的,并且能用一个数学式子表示的函数
1.2极限
㈠极限的概念
1.数列的极限:
称数列
以常数A为极限;
或称数列
收敛于A.
若
的极限存在
必定有界.
2.函数的极限:
⑴当
时,
的极限:
⑵当
左极限:
右极限:
⑶函数极限存的充要条件:
定理:
㈡无穷大量和无穷小量
1.无穷大量:
称在该变化过程中
为无穷大量。
X再某个变化过程是指:
2.无穷小量:
为无穷小量。
3.无穷大量与无穷小量的关系:
定理:
4.无穷小量的比较:
⑴若
则称β是比α较高阶的无穷小量;
⑵若
(c为常数),则称β与α同阶的无穷小量;
⑶若
,则称β与α是等价的无穷小量,记作:
β~α;
⑷若
则称β是比α较低阶的无穷小量
若:
则:
㈢两面夹定理
1.数列极限存在的判定准则:
设:
(n=1、2、3…)
且:
则:
2.函数极限存在的判定准则:
对于点x0的某个邻域内的一切点
(点x0除外)有:
且:
则:
㈣极限的运算规则
若:
①
②
③
推论:
㈤两个重要极限
1.
或
2.
1.3连续
㈠函数的连续性
1.函数在
处连续:
在
的邻域内有定义,
1o
2o
左连续:
右连续:
2.函数在
处连续的必要条件:
处连续
处极限存在
3.函数在
处连续的充要条件:
4.函数在
上连续:
上每一点都连续。
在端点
和
连续是指:
左端点右连续;
右端点左连续。
a+0b-x
5.函数的间断点:
若
处不连续,则
为
的间断点。
间断点有三种情况:
处无定义;
不存在;
3o
处有定义,且
存在,
但
。
两类间断点的判断:
1o第一类间断点:
特点:
都存在。
可去间断点:
存在,但
,或
处无定义。
2o第二类间断点:
至少有一个为∞,
或
振荡不存在。
无穷间断点:
至少有一个为∞
㈡函数在
处连续的性质
1.连续函数的四则运算:
设
,
1o
2o
3o
2.复合函数的连续性:
3.反函数的连续性:
㈢函数在
上连续的性质
1.最大值与最小值定理:
上连续
上一定存在最大值与最小值。
yy
+MM
f(x)f(x)
0abx
m
-M
2.有界定理:
上一定有界。
3.介值定理:
内至少存在一点
,使得:
,
其中:
yy
M
f(x)
Cf(x)
0aξbx
0aξ1ξ2bx
上连续,且
与
异号
4.初等函数的连续性:
初等函数在其定域区间内都是连续的。
第二章一元函数微分学
§
2.1导数与微分
㈠导数的概念
1.导数:
的某个邻域内有定义,
2.左导数:
右导数:
的左(或右)邻域上连续在
其内可导,且极限存在;
(或:
)
3.函数可导的必要条件:
处可导
4.函数可导的充要条件:
存在
且存在。
5.导函数:
内处处可导。
y
6.导数的几何性质:
是曲线
上点
处切线的斜率。
ox0x
㈡求导法则
1.基本求导公式:
2.导数的四则运算:
3.复合函数的导数:
,或
☆注意
的区别:
表示复合函数对自变量
求导;
表示复合函数对中间变量
求导。
4.高阶导数:
函数的n阶导数等于其n-1导数的导数。
㈢微分的概念
1.微分:
其中:
无关,
是比
较高
阶的无穷小量,即:
则称
处可微,记作:
2.导数与微分的等价关系:
在
处可微
处可导,
3.微分形式不变性:
不论u是自变量,还是中间变量,函数的
微分
都具有相同的形式。
2.2中值定理及导数的应用
㈠中值定理
1.罗尔定理:
满足条件:
aoξbxaoξbx
2.拉格朗日定理:
㈡罗必塔法则:
(
型未定式)
满足条件:
1o
;
2o在点a的某个邻域内可导,且
☆注意:
1o法则的意义:
把函数之比的极限化成了它们导数之比的极限。
2o若不满足法则的条件,不能使用法则。
即不是
型或
型时,不可求导。
3o应用法则时,要分别对分子、分母
求导,而不是对整个分式求导。
4o若
还满足法则的条件,
可以继续使用法则,即:
5o若函数是
型可采用代数变
形,化成
或
型;
若是
型可
采用对数或指数变形,化成
型。
㈢导数的应用
1.切线方程和法线方程:
设:
切线方程:
法线方程:
2.曲线的单调性:
⑴
⑵
3.函数的极值:
⑴极值的定义:
设
内有定义,
是
内的一点;
若对于
的某个邻域内的任意点
,都有:
则称
的一个极大值(或极小值),
称
的极大值点(或极小值点)。
⑵极值存在的必要条件:
称为
的驻点
⑶极值存在的充分条件:
定理一:
当
渐增通过
由(+)变(-);
则
为极大值;
当
由(-)变(+);
为极小值。
定理二:
,则
驻点不一定是极值点,极值点也不一定是驻点。
4.曲线的凹向及拐点:
⑴若
内是上凹的(或凹的),(∪);
⑵若
内是下凹的(或凸的),(∩);
⑶
5。
曲线的渐近线:
⑴水平渐近线:
⑵铅直渐近线:
第三章一元函数积分学
3.1不定积分
㈠重要的概念及性质:
1.原函数:
的一个原函数,
并称
的所有原函数,
其中C是任意常数。
2.不定积分:
函数
的所有原函数的全体,
称为函数
的不定积分;
记作:
称为被积函数;
称为被积表达式;
称为积分变量。
3.不定积分的性质:
⑴
或:
⑵
⑶
—分项积分法
⑷
(k为非零常数)
4.基本积分公式:
㈡换元积分法:
⒈第一换元法:
(又称“凑微元”法)
常用的凑微元函数有:
4o
5o
6o
2.第二换元法:
第二换元法主要是针对含有根式的被积函数,
其作用是将根式有理化。
一般有以下几种代换:
(当被积函数中有
时)
㈢分部积分法:
1.分部积分公式:
2.分部积分法主要针对的类型:
⑴
⑵
⑶
⑷
⑸
(多项式)
3.选u规律:
⑴在三角函数乘多项式中,令
其余记作dv;
简称“三多选多”。
⑵在指数函数乘多项式中,令
简称“指多选多”。
⑶在多项式乘对数函数中,令
简称“多对选对”。
⑷在多项式乘反三角函数中,选反三角函数
为u,其余记作dv;
简称“多反选反”。
⑸在指数函数乘三角函数中,可任选一函数
简称“指三任选”。
㈣简单有理函数积分:
1.有理函数:
其中
是多项式。
2.简单有理函数:
3.2定积分f(x)
一.主要内容
(一).重要概念与性质
1.定积分的定义:
Oax1x2xi-1ξixixn-1bx
定积分含四步