109学测数学试题分析1Word文档格式.docx
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12
三
第一章三角
1
13
D
15
35
第二章直線與圓
C,G
第三章平面向量
3
9
四
第一章空間向量
2
第二章空間中的平面與直線
E
第三章矩陣
4
第四章二次曲線
F
一、題型及試題內容分布
二、試題特色與分析
1.今年試題高一配分為45分，高二配分55分，配分平均，較著重在二、三冊。
2.單選題考7題，第1題超簡易為三角比大小關係；
第2題偏易為簡易向量內積運算；
第3題簡易為向量線性組合終點位置判斷，一般課本習題就有，利用平行四邊形加法即可確定答案；
第4題偏易為矩陣基本加減乘法運算結合反矩陣觀念；
第5題偏易為數線上絕對值的距離幾何意義，利用不等式取交集可得整數點個數；
第6題中偏易為對數性質結合骰子機率問題，討論一下各種情形可得結果；
第7題中偏難為奇偶函數圖形對稱性質結合三角函數負角觀念，需要觀念清楚才好判斷。
3.多選題考6題，第8題超簡易為邏輯集合問題，依條件可輕易判讀；
第9題中偏難為向量內積運算，但須先判斷夾角的可能性，要思考細膩點；
第10題中等試題為多項式問題，直接因式分解判斷或用勘根定理也可以處理；
第11題偏易為對數換指數代入選項判斷即可；
第12題簡易生活素養題，為一般數據資料判讀；
第13題中等試題為空間四面體問題，結合三角面積公式，坊間多有類似題。
今年學測多選題的難易度與去年的試題都是屬於平易近人，相信多數學生應可充裕自信地作答。
4.選填題考7題，難度適中，選填A簡易為生活素養題，國中生也可作答；
選填B簡易為機率乘法性質應用；
選填C中等試題為二元一次不等式同異側問題，常見題型；
選填D中偏難為鳶形問題結合三角餘弦定理與面積公式，一般學生不易作答，為整份試卷最具深度問題；
選填E中等試題為空間直線參數式的應用，利用垂直內積為零求解；
選填F中偏難試題，拋物線利用建立坐標系求方程式，並且學生要知道係數與焦距的關係；
選填G中偏易為一般圓與扇形的圖形面積關係，國小國中均有相似題形。
5.綜觀109年數學學科能力測驗試卷，整份試卷難度偏易，甚至比去年簡單，有些題目國中生也可以處理，多數學生會考得不錯，原始分數應該要93.4以上才能15級分，社會組與自然組的差異會更小，對今年想跨組的自然組學生恐占不到便宜，各檢定標準級分會提高，應有助於提高學習數學的動機。
第壹部分：
選擇題（占65分）
1、單選題（占35分）
說明：
第1題至第7題，每題有5個選項，其中只有一個是正確或最適當的選項，請畫記在答案卡之「選擇（填）題答案區」。
各題答對者，得5分；
答錯、未作答或畫記多於一個選項者，該題以零分計算。
1.已知兩個直角三角形三邊長分別為3,4,5、5,12,13，
分別為它們的一角，如下圖所示。
試選出正確的選項。
（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
【答案】：
（2）
【出處】：
第三冊第1章三 角
【測驗目標】：
三角比的大小關係
【試題解析】：
故選
（2）
2.空間中有相異四點
，已知內積
。
（2）
（3）
與
平行
（5）
四點在同一平面上
（1）
第四冊第1章空間向量
向量內積運算
，
故選
（1）
3.
如圖所示，
為正六邊形之中心。
試問下列哪個向量的終點
落在
內部（不含邊界）？
第三冊第3章平面向量
向量的線性組合意義
（1）
（2）
（3）
（5）
4.
令
，試選出代表
的選項。
（2）
（3）
（5）
（5）
第四冊第3章矩 陣
矩陣的運算與反矩陣
又
故選（5）
5.試問數線上有多少個整數點與點
的距離小於5，但與點
的距離大於3？
（1）1個
（2）4個 （3）6個 （4）8個 （5）10個
（3）
第一冊第1章數與式
數線上的幾何
設整數點為
則
且
或
，共6個
故選（3）
6.
連續投擲一公正骰子兩次，設出現的點數依序為
試問發生
的機率為多少？
（2）
（3）
（4）
（5）
（4）
第一冊第3章指數與對數函數 第二冊第3章機 率
對數的運算與古典機率
時，
（不合）
有4種
有5種
有
種
，故選（4）
7.坐標平面上，函數圖形
上有兩點
到原點距離皆為1。
已知點
坐標為
，試問點
坐標為何？
第一冊第2章多項式函數 第三冊第1章三 角
奇函數圖形的特性
為奇函數
，且圖形對稱於原點
原點
為
之中點
故選（4）
2、多選題（占30分）
第8題至第13題，每題有5個選項，其中至少有一個是正確的選項，請將正確選項畫記在答案卡之「選擇（填）題答案區」。
各題之選項獨立判定，所有選項均答對者，得5分；
答錯1個選項者，得3分；
答錯2個選項者，得1分；
答錯多於2個選項或所有選項均未作答者，該題以零分計算。
8.有一個遊戲的規則如下：
丟三顆公正骰子，若所得的點數恰滿足下列（
）或（
）兩個條件之一，可得到獎金100元；
若兩個條件都滿足，則共得200元獎金；
若兩個條件都不滿足，則無獎金。
（
）三個點數皆為奇數或者皆為偶數
）三個點數由小排到大為等差數列
若已知有兩顆骰子的點數分別為1,3，且所得獎金為100元，則未知的骰子點數可能為何？
（1）2
（2）3 （3）4 （4）5 （5）6
（1）
（2）
第二冊第2章排列與組合
邏輯與集合的概念
（1）：
只符合條件（
）
（2）：
（3）：
兩個條件都不滿足
（4）：
兩個條件都滿足
（5）：
故選
（1）
（2）
9.在坐標平面上，有一通過原點
的直線
，以及一半徑為2、圓心為原點
的圓
上相異2點，且
分別與
所夾的銳角皆為
，試選出內積
之值可能發生的選項。
（3）0 （4）
（4）（5）
第三冊第2章直線與圓 第三冊第3章平面向量
向量內積的運算
如圖，
的夾角可能為
故選（4）（5）
10.考慮多項式
，試選出正確的選項。
的圖形和
軸交點的
坐標小於0
有4個實根
至少有一個有理根
有一根介於0與1之間
有一根介於1與2之間
（1）（4）
第一冊第2章多項式函數
多項式的圖形與勘根定理的應用
（1）：
，即交
軸於
（2）：
，有2個實根，2個共軛虛根
2個無理根
（4）：
同（4）
故選
（1）（4）
11.設
為實數且滿足
、
（5）
成等比數列
（3）（5）
第一冊第3章指數與對數函數 第二冊第1章數列與級數
對數的定義與數列的判斷
（1）：
成等比數列，非等差數列
（3）：
（5）：
同
（1）
故選（3）（5）
12.下表是2011年至2018年某國總就業人口與農業就業人口的部分相關數據，各年度的人口以人數計，有些是以千人計，有些以萬人計，例如2011年總就業人口為1,070.9萬人，65歲以上男性農業就業人口為69.1千人。
試根據表格資料選出正確的選項。
（1）從2013年至2018年，65歲以上的男性農業就業人口逐年遞增
（2）從2013年至2018年，50歲至64歲之男性農業就業人口逐年遞增
（3）上表中，每一年的男性農業就業人口占總就業人口的比率都小於百分之五
（4）上表中，每一年50歲至64歲之男性農業就業人口都少於49歲以下之男性農
業就業人口
（5）就65歲以上之男性農業就業人口而言，2018年比2011年增加了不到一萬人
（1）（3）
第二冊第4章數據分析
資料的判斷
明顯遞增
2015年至2016年減少
每年的總就業人口數皆大於1000萬人，而男性農業就業人口皆小
於500千人，即小於50萬人，故所占比率
應多於才是正確
增加10.3（千人），即1.03（萬人）
故選
（1）（3）
13.
如示意圖，四面體
中，
和
均為正三角形，
是等腰三角形
的面積大於
的面積
（5）平面
和平面
的夾角（以銳角計）小於
（2）（4）
第三冊第1章三 角 第四冊第1章空間向量
四面體的性質
為等腰三角形，又
（小角對小邊）
面積
面積小於
全等（SSS）
的中點，則平面
的夾角為
，比較
共邊且
《另解》
設
，則
故選
（2）（4）
第貳部分：
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