高中数学 模块综合素质检测题课后强化训练含详解 新人教a版必修Word格式.docx
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[解析] 由f(x)=|sinx+cosx|=
,而y=
sin(x+
)的周期为2π,所以函数f(x)的周期为π,故选C.
[点评] 本题容易错选D,其原因在于没有注意到加了绝对值会对其周期产生影响.
4.|a|=1,|b|=2,c=a+b,且c⊥a,则向量a与b的夹角为( )
A.30°
B.60°
C.120°
D.150°
[解析] ∵c⊥a,∴a·
c=0,∴a·
(a+b)=0,
即a·
b=-|a|2,设a与b的夹角为θ,
∴cosθ=
=
=-
∴θ=120°
.
5.函数y=tan
的单调增区间是( )
,k∈Z
B.
D.
[答案] A
[解析] ∵kπ-
<
2x-
kπ+
,k∈Z,
∴kπ-
2x<
,k∈Z.
∴
-
x<
+
6.点P在平面上作匀速直线运动,速度向量v=(4,-3)(即点P的运动方向与v相同,且每秒移动的距离为|v|个单位).设开始时点P的坐标为(-10,10),则5秒后点P的坐标为( )
A.(-2,4)
B.(-30,25)
C.(10,-5)
D.(5,-10)
[解析] 设(-10,10)为A,5秒后P点的坐标为A1(x,y),则
=(x+10,y-10),由题意有
=5v.
所以(x+10,y-10)=(20,-15)
⇒
所以选C.
7.函数y=sin
+cos
的最小正周期和最大值分别为( )
A.π,1
B.π,
C.2π,1
D.2π,
[解析] y=sin2xcos
+cos2x·
sin
+cos2xcos
-sin2xsin
sin2x+
cos2x+
cos2x-
sin2x
=cos2x,
∴函数的最小正周期为π,最大值为1.
8.设向量a=(1,-3),b=(-2,4),c=(-1,-2),表示向量4a、4b-2c、2(a-c)、d的有向线段首尾相接能构成四边形,则向量d为( )
A.(2,6)
B.(-2,6)
C.(2,-6)
D.(-2,-6)
[解析] 设d=(x,y),由题意4a=(4,-12),4b-2c=(-6,20),2(a-c)=(4,-2).又表示向量4a、4b-2c、2(a-c)、d的有向线段首尾相接能构成四边形,
∴4a+(4b-2c)+2(a-c)+d=0,即(4,-12)+(-6,20)+(4,-2)+(x,y)=(0,0),求得向量d=(-2,-6).
9.若sinα+cosα=tanα
,则角α所在区间是( )
[解析] tanα=sinα+cosα=
sin(α+
),
∵0<
,∴
α+
)≤1.
∴1<
tanα≤
,即α∈(
).故选C.
10.若向量i,j为互相垂直的单位向量,a=i-2j,b=i+mj,且a与b的夹角为锐角,则实数m的取值范围是( )
A.
B.(-∞,-2)∪
∪
[答案] B
[解析] 由条件知a=(1,-2),b=(1,m),
∵a与b的夹角为锐角,
∴a·
b=1-2m>
0,∴m<
又a与b夹角为0°
时,m=-2,∴m≠-2.
[点评] 两个向量夹角为锐角则数量积为正值,夹角为钝角则数量积为负值,是常用的结论.
11.已知函数F(x)=sinx+f(x)在
上单调递增,则f(x)可以是( )
A.1
B.cosx
C.sinx
D.-cosx
[解析] 当f(x)=1时,F(x)=sinx+1;
当f(x)=sinx时,F(x)=2sinx.此两种情形下F(x)的一个增区间是
,在
上不单调;
对B选项,当f(x)=cosx时,F(x)=sinx+cosx=
的一个增区间是
D选项是正确的.
12.在△ABC中,已知2sinAcosB=sinC,那么△ABC一定是( )
A.直角三角形
B.等腰三角形
C.等腰直角三角形
D.正三角形
[解析] ∵C=π-(A+B),∴sinC=sin(A+B),∴2sinAcosB=sin(A+B).∴sinAcosB-cosAsinB=0.∴sin(A-B)=0.∴A-B=kπ(k∈Z).又A、B为三角形的内角,∴A-B=0.∴A=B.则三角形为等腰三角形.
[点评] 解三角形的题目注意应用诱导公式及三角形内角和为π的条件.
第Ⅱ卷(非选择题 共90分)
二、填空题(本大题共4个小题,每小题4分,共16分,把正确答案填在题中横线上)
13.函数y=cos2x+sinxcosx的最小正周期T=________.
[答案] π
[解析] y=cos2x+sinxcosx=cos2x+
sin(2x+φ),
∴函数f(x)的周期T=
=π.
14.已知α,β均为锐角,且cos(α+β)=sin(α-β),则tanα=________.
[答案] 1
[解析] ∵cos(α+β)=sin(α-β),
∴cosαcosβ-sinαsinβ=sinαcosβ-cosαsinβ,
∵α、β为锐角,∴cosα≠0,cosβ≠0,
上式两边同除以cosαcosβ得
1-tanαtanβ=tanα-tanβ,
即tanα-tanβ+tanαtanβ-1=0,
∴(1+tanβ)(tanα-1)=0,
∵β为锐角,∴tanβ>0,
∴1+tanβ≠0,∴tanα-1=0即tanα=1.
15.△ABC的外接圆的圆心为O,两条边上的高的交点为H,
=m(
),则实数m=________.
[解析] 由于本题是填空题,所以可以令三角形ABC为等腰三角形,其中角C=90°
,则两直角边的高的交点为C,即C与H重合.而O为斜边AB的中点,所以
与
为相反向量,所以有
=0,于是
=m
,而C与H重合,所以m=1.
16.函数f(x)=3sin
的图象为C,如下结论中正确的是________(写出所有正确结论的编号).
①图象C关于直线x=
对称;
②图象C关于点
③函数f(x)在区间
内是增函数;
④由y=3sin2x的图象向右平移
个单位长度可以得到图象C.
[答案] ①②③
[解析] f
=3sin
=-3,①正确;
f
=3sinπ=0,②正确;
由2kπ-
≤2x-
≤2kπ+
,k∈Z得,
kπ-
≤x≤kπ+
∴f(x)的增区间为
(k∈Z),
令k=0得增区间为
,③正确;
由y=3sin2x的图象向右平移
个单位长度可以得到图象C,④错误.
三、解答题(本大题共6个小题,共74分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)
17.(本题满分12分)设函数f(x)=a·
b,其中向量a=(m,cos2x),b=(1+sin2x,1),x∈R,且函数y=f(x)的图象经过点
(1)求实数m的值;
(2)求函数f(x)的最小值及此时x值的集合.
[解析]
(1)f(x)=a·
b=m(1+sin2x)+cos2x,
由已知f
=2,得m=1.
(2)由
(1)得f(x)=1+sin2x+cos2x
=1+
∴当sin
=-1时,f(x)取得最小值1-
由sin
=-1得,2x+
=2kπ-
即x=kπ-
(k∈Z)
所以f(x)取得最小值时,x值的集合为
x|x=kπ-
18.(本题满分12分)已知函数f(x)=
(1)求f(x)的定义域;
(2)设α是第四象限的角,且tanα=-
,求f(α)的值.
[解析]
(1)由cosx≠0得x≠kπ+
故f(x)的定义域为
(2)因为tanα=-
,且α是第四象限的角,
所以sinα=-
,cosα=
故f(α)=
=2(cosα-sinα)=
19.(本题满分12分)(08·
陕西文)已知函数f(x)=2sin
cos
(1)求函数f(x)的最小正周期及最值;
(2)令g(x)=f
,判断函数g(x)的奇偶性,并说明理由.
[解析]
(1)∵f(x)=sin
=2sin
∴f(x)的最小正周期T=
=4π.
当sin
=-1时,f(x)取得最小值-2;
=1时,f(x)取得最大值2.
(2)由
(1)知f(x)=2sin
又g(x)=f
∴g(x)=2sin
=2cos
∵g(-x)=2cos
=g(x),且定义域为R,∴函数g(x)是偶函数.
20.(本题满分12分)已知sin(45°
+α)sin(45°
-α)=-
,0°
90°
(1)求α的值;
(2)求sin(α+10°
)[1-
tan(α-10°
)]的值.
[解析]
(1)∵sin(45°
-α)=sin(45°
+α)cos(45°
+α)
sin(90°
+2α)=
cos2α,
cos2α=-
.即cos2α=-
∵0°
,∴0°
2α<
180°
∴2α=120°
,α=60°
(2)sin(α+10°
)]
=sin70°
(1-
tan50°
)=sin70°
·
=-1.
21.(本题满分12分)(2010·
江西文,19)已知函数f(x)=(1+
)sin2x-2sin(x+
)sin(x-
).
(1)若tanα=2,求f(α);
(2)若x∈[
],求f(x)的取值范围.
[解析]
(1)f(x)=
sin2x-2(
sinx+
cosx)(
sinx-
cosx)
=sin2x+cosxsinx-sin2x+cos2x=sinxcosx+cos2x
∴f(α)=
(2)由
(1)知,f(x)=cos2x+sinxcosx
sin(2x