第七章 71711 条件概率 教案Word文档下载推荐.docx

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（2）如果B和C是两个互斥事件，则P（B∪C|A）＝P（B|A）＋P（C|A）．

（3）设

和B互为对立事件，则P（

|A）＝1－P（B|A）．

1．在“A已发生”的条件下，B发生的概率可记作P（A|B）．（×

）

2．对事件A，B，有P（B|A）＝P（A|B）．（×

3．若P（B|A）＝P（B），则事件A，B相互独立．（√）

4．P（B|A）相当于事件A发生的条件下，事件AB发生的概率．（√）

一、条件概率的定义及计算

命题角度1　利用定义求条件概率

例1现有6个节目准备参加比赛，其中4个舞蹈节目，2个语言类节目，如果不放回地依次抽取2个节目，求

（1）第1次抽到舞蹈节目的概率；

（2）第1次和第2次都抽到舞蹈节目的概率；

（3）在第1次抽到舞蹈节目的条件下，第2次抽到舞蹈节目的概率．

解　设第1次抽到舞蹈节目为事件A，第2次抽到舞蹈节目为事件B，则第1次和第2次都抽到舞蹈节目为事件AB.

（1）从6个节目中不放回地依次抽取2个，总的事件数n（Ω）＝A

＝30.

根据分步乘法计数原理，有n（A）＝A

A

＝20，

所以P（A）＝

＝

.

（2）因为n（AB）＝A

＝12，所以P（AB）＝

（3）方法一　由

（1）

（2），得在第1次抽到舞蹈节目的条件下，第2次抽到舞蹈节目的概率P（B|A）＝

方法二　因为n（AB）＝12，n（A）＝20，

所以P（B|A）＝

反思感悟　利用定义计算条件概率的步骤

（1）分别计算概率P（AB）和P（A）．

（2）将它们相除得到条件概率P（B|A）＝

，这个公式适用于一般情形，其中AB表示A，B同时发生．

跟踪训练1从混有5张假钞的20张百元钞票中任意抽取两张，将其中一张放到验钞机上检验发现是假钞，求两张都是假钞的概率．

解　设A＝“抽到的两张都是假钞”，B＝“抽到的两张中至少有一张是假钞”，则所求概率为P（A|B）．

∵P（AB）＝P（A）＝

，P（B）＝

，

∴P（A|B）＝

命题角度2　缩小样本空间求条件概率

例2集合A＝{1,2,3,4,5,6}，甲、乙两人各从A中任取一个数，若甲先取（不放回），乙后取，在甲抽到奇数的条件下，求乙抽到的数比甲抽到的数大的概率．

解　将甲抽到数字a，乙抽到数字b，记作（a，b），甲抽到奇数的情形有（1,2），（1,3），（1,4），（1,5），（1,6），（3,1），（3,2），（3,4），（3,5），（3,6），（5,1），（5,2），（5,3），（5,4），（5,6），共15个．在这15个情形中，乙抽到的数比甲抽到的数大的有（1,2），（1,3），（1,4），（1,5），（1,6），（3,4），（3,5），（3,6），（5,6），共9个，所以所求概率P＝

延伸探究

1．在本例条件下，求乙抽到偶数的概率．

解　在甲抽到奇数的情形中，乙抽到偶数的情形有（1,2），（1,4），（1,6），（3,2），（3,4），（3,6），（5,2），（5,4），（5,6），共9个，所以所求概率P＝

2．若甲先取（放回），乙后取，若事件A：

“甲抽到的数大于4”；

事件B：

“甲、乙抽到的两数之和等于7”，求P（B|A）．

解　甲抽到的数大于4的情形有：

（5,1），（5,2），（5,3），（5,4），（5,5），（5,6），（6,1），（6,2），（6,3），（6,4），（6,5），（6,6），共12个，其中甲、乙抽到的两数之和等于7的情形有：

（5,2），（6,1），共2个．所以P（B|A）＝

反思感悟　利用缩小样本空间法求条件概率的方法

（1）缩：

将原来的基本事件全体Ω缩小为事件A，原来的事件B缩小为AB.

（2）数：

数出A中事件AB所包含的基本事件．

（3）算：

利用P（B|A）＝

求得结果．

跟踪训练2抛掷红、蓝两颗骰子，记事件A为“蓝色骰子的点数为4或6”，事件B为“两颗骰子的点数之和大于8”，求：

（1）事件A发生的条件下事件B发生的概率；

（2）事件B发生的条件下事件A发生的概率．

解　n（A）＝6×

2＝12.

由3＋6＝6＋3＝4＋5＝5＋4>

8,4＋6＝6＋4＝5＋5>

8,5＋6＝6＋5>

8,6＋6>

8知n（B）＝10，

其中n（AB）＝6.

所以

（1）P（B|A）＝

（2）P（A|B）＝

二、概率的乘法公式

例3　一个盒子中有6只白球、4只黑球，从中不放回地每次任取1只，连取2次．求：

（1）第一次取得白球的概率；

（2）第一、第二次都取得白球的概率；

（3）第一次取得黑球而第二次取得白球的概率．

解　设A＝“第一次取得白球”，B＝“第二次取得白球”，则

＝“第一次取得黑球”，由题意得：

（1）P（A）＝

＝0.6.

（2）P（AB）＝P（A）P（B|A）＝

×

（3）P（

B）＝P（

）P（B|

）＝

反思感悟　概率的乘法公式

（1）公式P（AB）＝P（A）P（B|A）反映了知二求一的方程思想．

（2）该概率公式可以推广P（A1A2A3）＝P（A1）P（A2|A1）·

P（A3|A1A2），其中P（A1）>

0，P（A1A2）>

跟踪训练3　已知某品牌的手机从1m高的地方掉落时，屏幕第一次未碎掉的概率为，当第一次未碎掉时第二次也未碎掉的概率为，试求这样的手机从1m高的地方掉落两次后屏幕仍未碎掉的概率．

解　设Ai＝“第i次掉落手机屏幕没有碎掉”，i＝1,2，则由已知可得P（A1）＝，P（A2|A1）＝，

因此由乘法公式可得P（A2A1）＝P（A1）P（A2|A1）＝×

＝0.15.

即这样的手机从1m高的地方掉落两次后屏幕仍未碎掉的概率为0.15.

三、条件概率的性质及应用

例4在某次考试中，要从20道题中随机抽出6道题，若考生至少能答对其中4道题即可通过，至少能答对其中5道题就获得优秀．已知某考生能答对其中10道题，并且知道他在这次考试中已经通过，求他获得优秀成绩的概率．

解　记事件A为“该考生6道题全答对”，事件B为“该考生答对了其中5道题，另一道答错”，事件C为“该考生答对了其中4道题，另2道题答错”，事件D为“该考生在这次考试中通过”，事件E为“该考生在这次考试中获得优秀”，则A，B，C两两互斥，且D＝A∪B∪C，E＝A∪B，可知P（D）＝P（A∪B∪C）＝P（A）＋P（B）＋P（C）

＋

，P（AD）＝P（A），P（BD）＝P（B），

P（E|D）＝P（A|D）＋P（B|D）

故获得优秀成绩的概率为

反思感悟　条件概率的性质及应用

（1）利用公式P（B∪C|A）＝P（B|A）＋P（C|A）可使条件概率的计算较为简单，但应注意这个性质的使用前提是“B与C互斥”．

（2）为了求复杂事件的概率，往往需要把该事件分为两个或多个互斥事件，求出简单事件的概率后，相加即可得到复杂事件的概率．

跟踪训练4有五瓶墨水，其中红色一瓶，蓝色、黑色各两瓶，某同学从中随机任取两瓶，若取得的两瓶中有一瓶是蓝色，则另一瓶是红色或黑色的概率为________．

答案　

解析　设事件A为“其中一瓶是蓝色”，事件B为“另一瓶是红色”，事件C为“另一瓶是黑色”，事件D为“另一瓶是红色或黑色”，

则D＝B∪C且B与C互斥．

又P（A）＝

，P（AB）＝

P（AC）＝

故P（D|A）＝P（B∪C|A）

＝P（B|A）＋P（C|A）

1．设A，B为两个事件，且P（A）>

0，若P（AB）＝

，P（A）＝

，则P（B|A）等于（）

A.

B.

C.

D.

答案　A

解析　P（B|A）＝

2．市场上供应的灯泡中，甲厂产品占70%，乙厂产品占30%，甲厂产品的合格率是95%，乙厂产品的合格率是80%，则从市场上买到的一个甲厂的合格灯泡的概率是（）

A．0.665B．0.564C．0.245D．

解析　记事件A为“甲厂产品”，事件B为“合格产品”，则P（A）＝，P（B|A）＝，

∴P（AB）＝P（A）·

P（B|A）＝×

＝0.665.

3．某地区空气质量监测资料表明，一天的空气质量为优良的概率是，连续两天的空气质量为优良的概率是，已知某天的空气质量为优良，则随后一天的空气质量为优良的概率是（）

A．0.8B．0.75C．0.6D．

解析　根据条件概率公式P（B|A）＝

，得所求概率为＝0.8.

4．投掷两颗均匀的骰子，已知点数不同，设两颗骰子点数之和小于等于6的概率为________．

解析　设A＝“投掷两颗骰子，其点数不同”，B＝“两颗骰子点数之和小于等于6”，

则P（A）＝

∴P（B|A）＝

5．某气象台统计，该地区下雨的概率为

，既刮四级以上的风又下雨的概率为

.设事件A为该地区下雨，事件B为该地区刮四级以上的风，则P（B|A）＝________.

解析　由题意知P（A）＝

故P（B|A）＝

1．知识清单：

（1）条件概率：

P（B|A）＝

（2）概率乘法公式：

P（AB）＝P（A）P（B|A）＝P（B）·

P（A|B）．

（3）条件概率的性质．

2．方法归纳：

转化化归、对立统一．

3．常见误区：

分不清“在谁的条件下”，求“谁的概率”．

1．已知P（B|A）＝

，则P（AB）等于（）

答案C

解析　P（AB）＝P（B|A）·

P（A）＝

，故选C.

2．（多选）设P（A|B）＝P（B|A）＝

，则（）

A．P（AB）＝

B．P（AB）＝

C．P（B）＝

D．P（B）＝

答案AC

解析　P（AB）＝P（A）P（B|A）＝

由P（A|B）＝

，得P（B）＝

2＝

3．某人忘记了一个电话号码的最后一个数字，只好去试拨，他第一次失败、第二次成功的概率是（）

答案A

解析　记事件A为第一次失败，事件B为第二次成功，则P（A）＝

，P（B|A）＝

所以P（AB）＝P（A）P（B|A）＝

4．某班学生考试成绩中，数学不及格的占15%，语文不及格的占5%，两门都不及格的占3%.已知一学生数学不及格，则他语文也不及格的概率是（）

A．0.2B．0.33C．0.5D．

解析　记“数学不及格”为事件A，“语文不及格”为事件B，P（B|A）＝

＝＝，

所以数学不及格时，该生语文也不及格的概率为0.2.

5．将两枚质地均匀的骰子各掷一次，设事件A＝“两个点数互不相同”，B＝“出现一个5点”，则P（B