现代控制理论课后习题答案Word下载.doc
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有电路原理可知:
既得
写成矢量矩阵形式为:
1-3有机械系统如图1.29所示,M1和M2分别受外力f1和f2的作用.求以M1和M2的运动速度为输出的状态空间表达式.
K1
K2
B2
f1(t)
M1
M2
B1
\y2
c2
y1
c1
f2(t)
解:
以弹簧的伸长度y1,y2质量块M1,M2的速率c1,c2作为状态变量
即x1=y1,x2=y2,x3=c1,x4=c2
根据牛顿定律,对M1有:
M1=f1-k1(y1-y2)-B1(c1-c2)
对M2有:
M2=f2+k1(y1-y2)+B1(c1-c2)-k2y2-B2c2
将x1,x2,x3,x4代入上面两个式子,得M1=f1-k1(x1-x2)-B1(x3-x4)
M2=f2+k1(x1-x2)+B1(x3-x4)-k2x2-B2x4
整理得=x3
=x4
=f1-x1+x2-x3+x4
=f2+x1-x2+x3-x4
输出状态空间表达式为y1=c1=x3
y2=c2=x4
1-4两输入,,两输出,的系统,其模拟结构图如图1-30所示,试求其状态空间表达式和传递函数阵。
系统的状态空间表达式如下所示:
1-5系统的动态特性由下列微分方程描述
列写其相应的状态空间表达式,并画出相应的的模拟结构图。
(1)解:
由微分方程得:
系统的传递函数为W(s)=
则状态空间表达式为:
相应的模拟结构图如下:
x1
X2
U
7
2
5
1
3
y
(2)解:
1-6已知系统传递函数
(1)
(2),试求出系统的约旦标准型的实现,并画出相应的模拟结构图
(1)由可得到系统表达式为
X1
X3
(2)
X1
X4
u
1-7给定下列状态空间表达式
(1)画出其模拟结构图
(2)求系统的传递函数
解:
(2)
1-8求下列矩阵的特征矢量:
(1)A=
A的特征方程:
===0
解之得:
=-2+j,=-2-j;
当=-2+j时,=(-2+j)
解得:
=-j,令=1,得=;
当=-2-j时,=(-2-j)
=-j,令=1,得=
(2)A=
=-2,=-3;
当=-2时,=-2
=-2,令=1,得=;
当=-3时,=-3
=-3,令=1,得=
(3)
A的特征方程
当时,
令得
(或令,得)
当时,
令得
(4)
令得
1-9.试将下列状态空间表达式化成约旦标准型。
(1)=+uy=x
A的特征方程==0
解得=-1或=-3
当=-1时,=-
解之得P11=P21,令P11=1,得P1=
当=-3时=-3
解之得P21=-P22,令P21=1,得P2=
故T=,=,
则=,=,CT=,
故约旦标准型为=Z,y=Z
(2)=+u
=
A的特征方程===0
解得=3,=1
当=3时特征向量:
=3
解之得P12=P21=P31,令P11=1,得P1=
当2=3时的广义特征向量,=3+
解之得P12=P22+1,P22=P32,令P12=1,得P2=
当=1时=
解之得P13=0,P23=2P33,令P33=1,的P3=
故T=,=
AT=B=CT=
故约旦标准型为=X+u
Y=X
1—10.已知两子系统的传递函数阵和分别为:
=
试求两子系统串联连接时系统的传递函数,并讨论所得结果。
两子系统串联联接时,系统的传递函数阵W(s)=,得
W(s)==
两子系统并联联接时,系统的传递函数阵W(s)=+,得
W(s)=+=
串联联接时,由于前一环节的输出为后一环节的输入,串联后等效非线性环节特性与两环节的先后次序有关,故改变向后次序等效特性会发生改变。
并联联接时,系统的传递函数阵为两系统单独作用后的叠加。
1-11已知如图1-22(见教材47页)所示的系统,其中子系统1、2的传递函数阵分别为
求系统的闭环传递函数阵。
1-12已知差分方程为:
试将其用离散状态空间表达式表示,并使驱动函数u的系数b(即控制列阵)为
由差分方程得传递函数
化为并联型:
化为能控标准型:
第二章控制系统状态空间表达式的解
2-1试证明同维方阵A和B,当AB=BA时,=,而当ABBA时,。
证明:
由矩阵指数函数=
可得:
=
=
将以上两个式子相减,得:
-=
显然,只有当时,才有-=0,即=;
否则。
2-2试证本章2.2节中几个特殊矩阵的矩阵指数函数式(2.17),
式(2.18),式(2.19)和式(2.20)成立。
(1)式(2.17)
==
即得证。
(2)式(2.18)
可知,若存在非奇异变换阵,使得,则,且是特征根
可知
==
(3)式(2.19)
若为约旦矩阵,==
=,
则=,=,
,
将以上所求得的、、、代入式,令=,则
第块的状态转移矩阵:
==,
(4)式(2.20)
拉式反变换法证明:
由,得:
则状态转移矩阵为:
=
由欧拉公式得:
2-3已知矩阵A=
试用拉氏反变换法求。
(与例2-3、例2-7的结果验证)
由=
转化成部分分式为:
=
又由拉氏反变换得:
2-4用三种方法计算以下矩阵指数函数。
(1)A=
(1)方法一:
约旦标准型
由A=,令=0,
即,得,解得=,
由可得
①当时,设=
由,得,解得即
②当时,设=
变换矩阵,
则,矩阵指数函数==
方法二定义法
由已知
得
方法三:
凯莱-哈密顿定理
即,得,解得:
特征根=,
则===
则,矩阵指数函数
=+
(2)方法一:
则,矩阵指数函数==
方法二:
拉式反变换法
由=,得:
则,矩阵指数函数=
2-5下列矩阵是否满足状态转移矩阵的条件,如果满足,试求与之对应的A阵。
(1)=
(2)=
(3)=
(1)因为
所以该矩阵不满足状态转移矩阵的条件
(2)因为,所以该矩阵满足状态转移矩阵的条件
则
(3)因为,所以该矩阵满足状态转移矩阵的条件
(4)因为,所以该矩阵满足状态转移矩阵的条件
2-6求下列状态空间表达式的解:
初始状态,输出是单位阶跃函数。
系统矩阵:
特征多项式为:
因为,
所以
2-7试证明本章2.3节,在特定控制作用下,状态方程式(2.25)的解、式(2.30)、式(2.31)和式(2.32)成立。
(1)采用类似标量微分方程求解的方法,则有:
等式两边同乘,得: