现代控制理论课后习题答案Word下载.doc
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有电路原理可知：
既得
写成矢量矩阵形式为：
1-3有机械系统如图1.29所示,M1和M2分别受外力f1和f2的作用.求以M1和M2的运动速度为输出的状态空间表达式.
K1
K2
B2
f1（t）
M1
M2
B1
\y2
c2
y1
c1
f2（t）
解:
以弹簧的伸长度y1，y2质量块M1，M2的速率c1，c2作为状态变量
即x1=y1，x2=y2，x3=c1，x4=c2
根据牛顿定律，对M1有：
M1=f1-k1（y1-y2）-B1（c1-c2）
对M2有：
M2=f2+k1（y1-y2）+B1（c1-c2）-k2y2-B2c2
将x1,x2,x3,x4代入上面两个式子，得M1=f1-k1（x1-x2）-B1（x3-x4）
M2=f2+k1（x1-x2）+B1（x3-x4）-k2x2-B2x4
整理得=x3
=x4
=f1-x1+x2-x3+x4
=f2+x1-x2+x3-x4
输出状态空间表达式为y1=c1=x3
y2=c2=x4
1-4两输入，，两输出，的系统，其模拟结构图如图1-30所示，试求其状态空间表达式和传递函数阵。
系统的状态空间表达式如下所示：
1-5系统的动态特性由下列微分方程描述
列写其相应的状态空间表达式，并画出相应的的模拟结构图。
（1）解:
由微分方程得：
系统的传递函数为W（s）=
则状态空间表达式为：
相应的模拟结构图如下：
x1
X2
U
7
2
5
1
3
y
（2）解：
1-6已知系统传递函数
（1）
（2）,试求出系统的约旦标准型的实现，并画出相应的模拟结构图
（1）由可得到系统表达式为
X1
X3
（2）
X1
X4
u
1-7给定下列状态空间表达式
（1）画出其模拟结构图
（2）求系统的传递函数
解：
（2）
1-8求下列矩阵的特征矢量：
（1）A=
A的特征方程：
===0
解之得：
=-2+j，=-2-j;
当=-2+j时，=（-2+j）
解得：
=-j,令=1，得=；
当=-2-j时，=（-2-j）
=-j,令=1，得=
（2）A=
=-2，=-3;
当=-2时，=-2
=-2,令=1，得=；
当=-3时，=-3
=-3,令=1，得=
（3）
A的特征方程
当时，
令得
（或令，得）
当时，
令得
（4）
令得
1-9.试将下列状态空间表达式化成约旦标准型。
（1）=+uy=x
A的特征方程==0
解得=-1或=-3
当=-1时，=-
解之得P11=P21,令P11=1，得P1=
当=-3时=-3
解之得P21=-P22，令P21=1，得P2=
故T=,=,
则=,=,CT=,
故约旦标准型为=Z，y=Z
（2）=+u
=
A的特征方程===0
解得=3，=1
当=3时特征向量：
=3
解之得P12=P21=P31，令P11=1，得P1=
当2=3时的广义特征向量，=3+
解之得P12=P22+1，P22=P32，令P12=1，得P2=
当=1时=
解之得P13=0，P23=2P33，令P33=1，的P3=
故T=，=
AT=B=CT=
故约旦标准型为=X+u
Y=X
1—10.已知两子系统的传递函数阵和分别为：
=
试求两子系统串联连接时系统的传递函数，并讨论所得结果。
两子系统串联联接时，系统的传递函数阵W（s）=,得
W（s）==
两子系统并联联接时，系统的传递函数阵W（s）=+,得
W（s）=+=
串联联接时，由于前一环节的输出为后一环节的输入，串联后等效非线性环节特性与两环节的先后次序有关，故改变向后次序等效特性会发生改变。
并联联接时，系统的传递函数阵为两系统单独作用后的叠加。
1-11已知如图1-22（见教材47页）所示的系统，其中子系统1、2的传递函数阵分别为
求系统的闭环传递函数阵。
1-12已知差分方程为：
试将其用离散状态空间表达式表示，并使驱动函数u的系数b（即控制列阵）为
由差分方程得传递函数
化为并联型：
化为能控标准型：
第二章控制系统状态空间表达式的解
2-1试证明同维方阵A和B，当AB=BA时，=，而当ABBA时，。
证明：
由矩阵指数函数=
可得：
=
=
将以上两个式子相减，得：
-=
显然，只有当时，才有-=0，即=；
否则。
2-2试证本章2.2节中几个特殊矩阵的矩阵指数函数式（2.17），
式（2.18），式（2.19）和式（2.20）成立。
（1）式（2.17）
==
即得证。
（2）式（2.18）
可知，若存在非奇异变换阵，使得，则，且是特征根
可知
==
（3）式（2.19）
若为约旦矩阵，==
=，
则=，=，
，
将以上所求得的、、、代入式，令=，则
第块的状态转移矩阵：
==，
（4）式（2.20）
拉式反变换法证明：
由，得：
则状态转移矩阵为：
=
由欧拉公式得：
2-3已知矩阵A=
试用拉氏反变换法求。
（与例2-3、例2-7的结果验证）
由=
转化成部分分式为：
=
又由拉氏反变换得：
2-4用三种方法计算以下矩阵指数函数。
（1）A=
（1）方法一：
约旦标准型
由A=，令=0，
即，得，解得=，
由可得
①当时，设=
由，得，解得即
②当时，设=
变换矩阵,
则，矩阵指数函数==
方法二定义法
由已知
得
方法三：
凯莱-哈密顿定理
即，得，解得：
特征根=，
则===
则，矩阵指数函数
=+
（2）方法一：
则，矩阵指数函数==
方法二：
拉式反变换法
由=，得：
则，矩阵指数函数=
2-5下列矩阵是否满足状态转移矩阵的条件，如果满足，试求与之对应的A阵。
（1）=
（2）=
（3）=
（1）因为
所以该矩阵不满足状态转移矩阵的条件
（2）因为，所以该矩阵满足状态转移矩阵的条件
则
（3）因为，所以该矩阵满足状态转移矩阵的条件
（4）因为，所以该矩阵满足状态转移矩阵的条件
2-6求下列状态空间表达式的解：
初始状态，输出是单位阶跃函数。
系统矩阵:
特征多项式为:
因为，
所以
2-7试证明本章2.3节，在特定控制作用下，状态方程式（2.25）的解、式（2.30）、式（2.31）和式（2.32）成立。
（1）采用类似标量微分方程求解的方法，则有：
等式两边同乘，得：
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