模糊控制理论基础知识Word文档格式.docx
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为
=0.5/(5,1)+0.7/(7,1)+0.8/(9,1)+1/(20,1)+0.1/(7,5)+0.3/(9,5)+0.95/(20,5)+0.1/(9,7)+0.9/(20,7)+0.85/(20,9)
综上所述,只要给出直积空间A×
B中的模糊集
的隶属函数
,集合A到集合B的模糊关系
也就确定了。
由于模糊关系,
实际上是一个模糊子集,因此它们的运算完全服从第一章所述的Fuzzy子集的运算规则,这里不一一赘述了。
一个模糊关系
,若对
x∈X,必有
=1,即每个元素X与自身隶属于模糊关系
的隶属度为1。
称这样的
为具有自返性的模糊关系。
一个模糊
x,y∈X,均有
=
即(x,y)隶属于Fuzzy关系
和(y,x)隶属于Fuzzy关系
的隶属度相同,则称
为具有对称性的Fuzzy关系。
x,y,z∈X,均
>
min[
]
则称
为具有传递性的Fuzzy关系。
论域A×
B为有限集时,模糊关系
可以用模糊矩阵
表示。
二、模糊矩阵
例如有一组学生组成集合x
x={王二,张三,李四}
规定他们可以选学英、日、德、法四种外语中的任意几门,设这四门外语课组成的集合为y
y={英,日,德,法}
且他们三个的期终考试成绩如表2-1所示:
姓名
语种
成绩
王二
张三
李四
英
法
德
日
80
85
95
65
78
如果把他们的考试成绩除以100,则可以认为他们和考试成绩之间构成的X×
Y上的一个Fuzzy关系
如表2-2所示:
0.8
0.78
0.65
0.95
0.85
把上述
写矩阵形式,即得:
称此矩阵为“模糊矩阵”。
其中每一个元素是在[0,1]闭区间取值。
这是普通关系矩阵的扩展。
设A={a1,a2,……an},B={b1,b2,……bn},则模糊矩阵可写成
=(rij)=
式中0<
rij<
1;
i=1,2,…,n;
j=1,2…,m。
rij表示集合A中第i个元素和集合B中第j个元素组成的序偶隶属于Fuzzy关系
的程度。
2.2模糊矩阵
一、模糊关系矩阵的运算
定义1:
设Fuzzy矩阵
=[aij]和
=[bij],若有
Cij=∨[aij,bij]=aij∨bij,则
=[Cij]
为Fuzzy矩阵的并
和
,记作
∪
定义2:
Cij=∧[aij,bij]=aij∧bij,则称Cij=[cij]为Fuzzy矩阵
的交,记作
∩
例1:
已知:
,
求
及
解:
定义3:
=[aij],则[1-aij]称为
的补矩阵,记作
例2:
已知
,求
=
定义4:
若有Fuzzy矩阵
,且
=[aij],
=[bij],
令
·
且
中的元素为
Cij=
为Fuzzy矩阵
的积。
例3:
,
解
工理
可见,一般地说,
≠
二、模糊关系的应用
某家中子女与父母的长像相似的关系
父母
子
女
0.80.2
0.10.6
用模糊矩阵表示为
该家中父母与祖父母的长像相似的关系
用Fuzzy矩阵表示为
而Fuzzy矩阵的积
把
Fuzzy矩阵改写Fuzzy关系为
祖父祖母
0.50.7
0.10.1
这一例子说明,Fuzzy矩阵相乘时先取小后取大有实际中的现实意义。
2.3模糊逻辑
在本世纪三十年代末期,数理逻辑已开始用于开关电路设计。
四十年代末,数理逻辑和布尔代数已成为电子计算机科学的基础理论之一,这是因为电子计算机具有二值逻辑的特点。
在二值逻辑中,一个可以判断真假的句子称为命题,如果命题为真,其真值为“1”;
否则,若命题为假,其真值为“0”。
然而,在现实生活中存在着大量的模糊判断,如“甲个子很高”,“乙很年轻”等。
随着科学技术的进步,人们在研究复杂大系统时,由于其结构复杂,且要涉及大量的参数与变量,这些都具有模糊性特点,所以二值逻辑在这些系统中就不够用了。
为此人们开始研究多值逻辑和连续值逻辑。
模糊逻辑是多值逻辑的发展,又是模糊推理的基础。
一、二值逻辑
在二值逻辑中,一个命题只能是“真”或“假”,两者必居其一。
例如“北京在中国”是真;
“二加三等于六”是假。
如果把两个或两个以上的单命题联合起来,就构成一个复命题,设P,Q为两个单命题,则复命题的构成方式有下列几种。
(1)并:
表示为P∨Q,用以表示“或”的关系。
(2)交:
表示为P∧Q,用以表示“与”、“及”、“且”的关系。
P、Q两命题结合后得到的真值表如表2-3所示:
表2-3
命题
P
Q
P∨Q
P∧Q
真值
1
(3)否定:
命题P的否定记作
(
)。
(4)蕴涵:
蕴涵是用来表示“若…,则…”。
即命题P的成立,即可推出命题Q也成立,以P→Q表示。
(5)等价:
它表示两个命题的真假相同,以←→表示。
二、连续值逻辑和模糊逻辑
在多值逻辑中,如N值逻辑,逻辑值可以取0,1,2,…,N-1个。
我们规定,Fuzzy命题P的逻辑值V(P)=X是在[0,1]连续闭区间内任意取值。
因此,将研究Fuzzy命题的逻辑称为连续性逻辑。
由于它主要用来研究Fuzzy集的隶属函数,所以也称为Fuzzy逻辑。
连续逻辑运算规则如下:
逻辑并:
X∨Y=max(X,Y)
逻辑交:
X∧Y=min(X,Y)
否定:
=1-X
限界差:
X
Y=0∨(X-Y)
界限和:
Y=1∧(X+Y)
界限积:
X⊙Y=0∨(X+Y-1)
蕴涵:
X→Y=1∧(1-X+Y)
等价:
X←Y=(1-X+Y)∧(1-Y+X)
通常,一个模糊逻辑公式常称为Fuzzy函数,由于Fuzzy函数是在[0,1]区间任意取值,所以在处理Fuzzy函数中,以解析法为处理手段,与二值逻辑处理方法相比较,难度较大。
最恰当的办法是在[0,1]闭区间上把Fuzzy函数变量x分成有限个等级,采用多值逻辑的方法来处理Fuzzy的逻辑问题。
例如,将[0,1]闭区间分为n个等级如下:
第一级a1<
x<
第二级a2<
a1
……
第n级0<
an-1
其中0<
an-1<
…<
a2<
a1<
在讨论现实问题时,我们常把闭区间分成十个相等等分,让隶属函数
在集合
μ=(0,0.1,0.2,0.3,0.4,0.5,0.6,0.7,0.8,0.9,1)
上取值。
这样,Fuzzy变量的逻辑值也对应有11种,我们可以用处理多值逻辑的办法来处理Fuzzy集X和Y的隶属函数的逻辑运算。
例如x∧y,
∧y,x∨y的逻辑运算,其真值表如表2-4、2-5、表2-6所示
表2-4
y
x∧y
x
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.9
表2-5
∧y