河北省衡水中学届高三数学摸底联考试题 理Word文档格式.docx

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个单位

C．向左平移

个单位D．向右平移

个单位

8.若

为不等式组

，表示的平面区域，则当

从

连续变化到

时，动直线

扫过

中的那部分区域的面积为（）

9.焦点在

轴上的椭圆方程为

，短轴的一个端点和两个焦点相连构成一个三角形，该三角形内切圆的半径为

，则椭圆的离心率为（）

10.在四面体

，二面角

的余弦值是

，则该四面体外接球的表面积是（）

11.已知函数

，则关于

的方程

实根个数不可能为

（）

个B．

个C．

个D．

个

12.函数

部分图象如图所示，且

，对不同的

，若

，有

，则（）

在

上是减函数B．

上是增函数C．

上是减函数D．

上增减函数

第Ⅱ卷（共90分）

二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）

13.

的展开式中

项的系数为．

14.已知抛物线

上一点

到其焦点的距离为

，双曲线

的左顶点为

，若双曲线一条渐近线与直线

垂直，则

实数

．

15.如图，为测量出山高

，选择

和另一座山的山顶

为测量观测点，从

点测得

点的仰角

以及

，从

，已知山高

，则山高

．

16.设函数

，对任意

，不等式

恒成立，则正数

的取值范围是．

三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）

17.（本小题满分12分）中国人口已经出现老龄化与少子化并存的结构特征，测算显示中国是世界上人口老龄化速度最快的国家之一，再不实施“放开二胎”新政策，整个社会将会出现一系列的问题，若某地区2015年人口总数为

万，实施“放开二胎”新政策后专家估计人口总数将发生如下变化：

从2016年开始到2025年每年人口比上年增加

万人，从2026年开始到2035年每年人口为上一年的

.

（1）求实施新政策后第

年的人口总数

的表达式（注：

2016年为第一年）;

（2）若新政策实施后的2016

年到2035年人口平均值超过

万，则需调整政策，否则继续实施,问到2035年后是否需要调整政策？

（说明:

）.

18.（本小题满分12分）如图,已知矩形

所在平面垂直于直角梯形

所在平面,平面

平面

且

.

（1）设点

为棱

中点,在面

内是否存在点

使得

？

若存在,请证明,若不存在,说明理由;

（2）求二面角

的余弦值.

19.（本小题满分12分）某产品按行业生产标准分成

个等级，等级系数

依次

，其中

为标准

，

.已知甲厂执行标准

生产该产品，产品的零售价为

元/件;

乙厂执行标准

元/件，假定甲、乙两厂的产品都符合相应的执行标准.

（1）已知甲厂产品的等级系数

的概率分布列如下所示：

且

的数学期望

求

的值;

（2）为分析乙厂产品的等级系数

，从该厂生产的产品中随机抽取

件，相应的等级系数组成一个样本，数据如下:

用这个样本的频率分布估计总体分布，将频率视为概率，求等级系数

的

数学期望；

（3）在

（1）、

（2）的条件下，若以“性价比”为判断标准，则哪个工厂的产品更具可购买性？

说明理由.

注：

①产品的“性价比”

；

②“性价比”大的产品更具可购买性.

20.（本小题满分12分）已知椭圆

短轴的两个顶点与右焦点的连线构成等边三角形，直线

与圆

相切.

（1）求椭圆

的方程;

（2）已知椭圆

的左顶点

的两条直线

分别交椭圆

于

两点,且

求证:

直线

过定点,并求出定点坐标；

（3）在

（2）的条件下求

面积的最大值.

21.（本小题满分12分）已知函数

（常数

（1）证明:

当

时,函数

有且只有一个极值点;

（2）若函数

存在两个极值点

证明:

请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.

22.（本小题满分10分）选修4-1：

几何证明选讲

如图,

四点在同一个圆上，

的延长线交于点

点

的延长线上.

（1）若

（2）若

23.（本小题满分10分）选修4-4：

坐标系与参数方程

已知极坐标系的极点在直角坐标系的原点处，极轴与

轴非负半轴重合，直线

的参数方程为:

为参数）,曲线

的极坐标方程为:

（1）写出曲线

的直角坐标方程和直线

的普通方程;

（2）设直线

与曲线

相交于

两点,求

的值.

24.（本小题满分10分）选修4-5：

不等式选讲

已知函数

（1）解不等式

;

（2）若对任意

都有

成立,求实数

的取值范围.

河北省衡水中学2017届高三摸底联考（全国卷）数学（理）

试题参考答案

一、选择题：

每小题5分，共60分，每小题所给选项只有一项符合题意.

ADCBADCDCBDB

二、填空题：

每题5分，共20分.

13.

14.

15.

16.

三、解答题

17.本题满分12分

解：

（1）当

时，数列

是首项为

，公差为

的等差数列，

因此，新政策实施后第

年的人口

总数

（单位：

万）的表达式为

（2）设

为数列

的前

项和，则从

年到

年共

年，由等差数列及等比数列的求和公式得：

万

新政策实施到

年年人口均值为

故到

年不需要调整政策．

18．本题满分12分

（1）连接

交于点

，连接

，则

证明：

为

中点，

中点

的中位线，

又平面

=

，

又

所以

（2）以A为原点，AE，AB，AD所在直线分别为

轴，

轴建立坐标系，

平面PEA

平面PEA的法向量

另外

设平面DPE的法向量

，令

，得

为锐二面角,

所以二面角

的余弦值为

19．本题满分12分

（1）

，即

又由

的概率分布列得

由

得

（2）由已知得，样本的频率分布表如下：

用这个样本的频率分布估计总体分布，将频率视为概率，可得等级系数X2的概率分布列如下：

所以，

即乙厂产品的等级系数的数学期望等于4.8.（3）乙厂的产品更具可购买性，理由如下：

因为甲厂产品的等级系数的数学期望等于

，价格为

元/件，所以其性价比为

因为乙厂产品的等级系数的期望等于

据此，乙厂的产品更具可购买性。

20．本题满分12分

（1）由题意

即

（2）

设

得

同理

i）

时，

过定点

ii）

时

过点

（3）由

（2）知

令

时取等号

时去等号，

21．本题满分12分

解：

依题意，

令

（1）①当

，所以

无解，则函数

不存在大于零的极值点；

②当

时，由

，故

单调递增.又

，，

有且只有一个零点.3分

又注意到在

的零点左侧，

，在

的零点右侧，

所以函数

有且只有一个极值点.

综上所述，当

时，函数

内有且只有一个极值点.4分

（2）因为函数

（不妨设

），

是

的两个零点，且由

（1）知，必有

单调递增，在

单调递减，6分

又因为

所以必有

，解得

，8分

此时

因为

是

的两个零点，

将代数式

视为以

为自变量的函数

则

当

时，因为

单调递增.

单调递减，

综上知，

且．

．12分

22.本题满分10分

（1）解：

四点共圆；

又

（2）

四点共

圆；

23．本题满分10分

（1）.

由

得

所以曲线

的直角坐标方程为

由

消去

解得：

.所以直线l的普通方程为

（2）把

代入

整理得

设其两根分别为

24、本题满分10分

解析：

（1）由

，解得

．

所以原不等式的解集为

（2）因为对任意

，都有

，使得

成立

有

，当且仅当

时,取等号,

所以

从而

或

.所以实数

的取值范围