秋人教必修2862第一课时直线与平面垂直的判定Word文档下载推荐.docx

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画直线与平面垂直时，通常把直线画成与表示平面的平行四边形的一边垂直

图示

性质

过一点垂直于已知平面的直线有且只有一条

垂线段与点面距

过一点作垂直于已知平面的直线，则该点与垂足间的线段，叫做这个点到该平面的垂线段，垂线段的长度叫做这个点到该平面的距离

2.直线与平面垂直的判定定理　定理中的条件“相交直线”很重要，切勿忽视

文字语言

如果一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，那么该直线与此平面垂直

符号语言

l⊥a，l⊥b，a⊂α，b⊂α，a∩b＝P⇒l⊥α

图形语言

3.直线与平面所成的角

对应图形

斜线

一条直线l与一个平面α相交，但不与这个平面垂直，这条直线叫做这个平面的斜线

斜足

斜线和平面的交点A叫做斜足

射影

过斜线上斜足以外的一点P向平面α引垂线PO，过垂足O和斜足A的直线叫做斜线在这个平面上的射影

直线与平面所成的角

定义：

平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的角，叫做这条直线和这个平面所成的角.

规定：

一条直线垂直于平面，我们说它们所成的角是90°

；

一条直线和平面平行，或在平面内，我们说它们所成的角是0°

取值范围

0°

≤θ≤90°

教材拓展补遗

[微判断]

1.若直线l与平面α内的无数条直线垂直，则l⊥α.（×

）

2.若a⊥b，b⊥α，则a∥α.（×

3.若直线l与平面α垂直，则直线l与平面α的所有直线成的角均为90°

.（√）

4.若直线l与平面α所成的角为0°

，则直线l∥平面α.（×

提示　1.直线l垂直于平面α内的无数条平行直线时，则l与α不一定垂直.

2.还有可能a⊂α.

4.l∥α或l⊂α.

[微训练]

1.若三条直线OA，OB，OC两两垂直，则直线OA垂直于（　　）

A.平面OABB.平面OAC

C.平面OBCD.平面ABC

解析　∵OA⊥OB，OA⊥OC，OB∩OC＝O，OB，OC⊂平面OBC，

∴OA⊥平面OBC.

答案　C

2.如果一条直线垂直于一个平面内的下列各种情况，能保证该直线与平面垂直的是________（填序号）.

①三角形的两边；

②梯形的两边；

③圆的两条直径；

④正六边形的两条边.

解析　由线面垂直的判定定理知，直线垂直于①③图形所在的平面，对于②④图形中的两边不一定是相交直线，所以该直线与它们所在的平面不一定垂直.

答案　①③

[微思考]

1.直线与平面垂直定义中的关键词“任意一条直线”是否可以换成“所有直线”或“无数条直线”？

提示　定义中的“任意一条直线”与“所有直线”是等效的，但是不可说成“无数条直线”，因为一条直线与某平面内无数条平行直线垂直，该直线与这个平面不一定垂直.

2.若把定理中“两条相交直线”改为“两条直线”，直线与平面一定垂直吗？

提示　当这两条直线平行时，直线可与平面平行或相交，不一定垂直.

3.如果两条平行线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面吗？

提示　垂直.

题型一　线面垂直概念的理解

【例1】　下列命题中，正确的序号是________.

①若直线l与平面α内的无数条直线垂直，则l⊥α；

②若直线l与平面α内的一条直线垂直，则l⊥α；

③若直线l不垂直于平面α，则α内没有与l垂直的直线；

④若直线l不垂直于平面α，则α内也可以有无数条直线与l垂直；

⑤过一点和已知平面垂直的直线有且只有一条.

解析　当直线l与平面α内的无数条平行直线垂直时，l与α不一定垂直，所以①不正确；

当l与α内的一条直线垂直时，不能保证l与平面α垂直，所以②不正确；

当l与α不垂直时，l可能与α内的无数条平行直线垂直，所以③不正确，④正确；

过一点有且只有一条直线垂直于已知平面，所以⑤正确.故填④⑤.

答案　④⑤

规律方法　1.直线和平面垂直的定义是描述性定义，对直线的任意性要注意理解.实际上，“任何一条”与“所有”表达相同的含义.当直线与平面垂直时，该直线就垂直于这个平面内的任何直线.由此可知，如果一条直线与一个平面内的一条直线不垂直，那么这条直线就一定不与这个平面垂直.

2.由定义可得线面垂直⇒线线垂直，即若a⊥α，b⊂α，则a⊥b.

【训练1】　设l，m是两条不同的直线，α是一个平面，则下列命题正确的是（　　）

A.若l⊥m，m⊂α，则l⊥α

B.若l⊥α，l∥m，则m⊥α

C.若l∥α，m⊂α，则l∥m

D.若l∥α，m∥α，则l∥m

解析　对于A，直线l⊥m，m并不代表平面α内任意一条直线，所以不能判定线面垂直；

对于B，因l⊥α，则l垂直α内任意一条直线，又l∥m，由异面直线所成角的定义知，m与平面α内任意一条直线所成的角都是90°

，即m⊥α，故B正确；

对于C，也有可能是l，m异面；

对于D，l，m还可能相交或异面.

答案　B

题型二　直线与平面所成的角　

【例2】　如图所示，在Rt△BMC中，斜边BM＝5，它在平面ABC上的射影AB长为4，∠MBC＝60°

，求MC与平面CAB所成角的正弦值.

解　由题意知A是M在平面ABC上的射影，

∴MA⊥平面ABC，

∴MC在平面CAB上的射影为AC.

∴∠MCA即为直线MC与平面CAB所成的角.

又∵在Rt△MBC中，BM＝5，∠MBC＝60°

，

∴MC＝BMsin∠MBC＝5sin60°

＝5×

＝

.

在Rt△MAB中，MA＝

＝3.

在Rt△MAC中，sin∠MCA＝

即MC与平面CAB所成角的正弦值为

规律方法　求斜线与平面所成角的步骤

（1）作图：

作（或找）出斜线在平面内的射影，作射影要过斜线上一点作平面的垂线，再过垂足和斜足作直线，注意斜线上点的选取以及垂足的位置要与问题中已知量有关，才能便于计算.

（2）证明：

证明某平面角就是斜线与平面所成的角.

（3）计算：

通常在垂线段、斜线和射影所组成的直角三角形中计算.

【训练2】　在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是AA1，A1D1的中点，求：

（1）D1B与平面ABCD所成角的余弦值；

（2）EF与平面A1B1C1D1所成的角.

解　

（1）如图所示，连接DB，

∵D1D⊥平面ABCD，

∴DB是D1B在平面ABCD内的射影，

则∠D1BD即为D1B与平面ABCD所成的角.

∵DB＝

AB，D1B＝

AB，

∴cos∠D1BD＝

即D1B与平面ABCD所成角的余弦值为

（2）∵E是A1A的中点，A1A⊥平面A1B1C1D1，

∴∠EFA1是EF与平面A1B1C1D1所成的角.

在Rt△EA1F中，

∵F是A1D1的中点，∴∠EFA1＝45°

即EF与平面A1B1C1D1所成的角为45°

题型三　直线与平面垂直的判定定理的应用　

探究1　直线与平面垂直的证明

【例3－1】　如图所示，Rt△ABC所在平面外有一点S，且SA＝SB＝SC，点D为斜边AC的中点.

（1）求证：

SD⊥平面ABC；

（2）若AB＝BC，求证：

BD⊥平面SAC.

证明　

（1）∵SA＝SC，D为AC的中点，∴SD⊥AC.

在Rt△ABC中，AD＝DC＝BD，又SA＝SB，

∴△ADS≌△BDS.∴SD⊥BD.

又AC∩BD＝D，AC，BD⊂平面ABC，∴SD⊥平面ABC.

（2）∵BA＝BC，D为AC的中点，∴BD⊥AC.

又由

（1）知SD⊥BD，

于是BD垂直于平面SAC内的两条相交直线.

∴BD⊥平面SAC.

探究2　线面垂直的应用

【例3－2】　在矩形ABCD中，AB＝1，BC＝a，PA⊥平面ABCD，且PA＝1，边BC上是否存在点Q，使得PQ⊥QD？

为什么？

解　∵PA⊥平面ABCD，QD⊂平面ABCD，∴PA⊥QD.

若边BC上存在一点Q，使得QD⊥AQ，又PA∩AQ＝A，

则有QD⊥平面PAQ，又PQ⊂平面PAQ，从而QD⊥PQ.

在矩形ABCD中，当AD＝a<

2时，直线BC与以AD为直径的圆相离，故不存在点Q，使AQ⊥DQ.

∴当a≥2时，才存在点Q，使得PQ⊥QD.

规律方法　1.线线垂直和线面垂直的相互转化

2.证明线面垂直的方法

（1）线面垂直的定义.

（2）线面垂直的判定定理.

（3）如果两条平行直线中的一条直线垂直于一个平面，那么另一条直线也垂直于这个平面.

（4）如果一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，那么它也垂直于另一个平面.

【训练3】　如图，菱形ABCD的对角线AC与BD交于点O，AB＝5，AC＝6，点E，F分别在AD，CD上，AE＝CF＝

，EF交BD于点H.将△DEF沿EF折到△D′EF的位置，OD′＝

.证明：

D′H⊥平面ABCD.

证明　由已知得：

AC⊥BD，AD＝CD，

又由AE＝CF，得

，故AC∥EF.

因此EF⊥HD，从而EF⊥D′H.

由AB＝5，AC＝6得DO＝BO＝

＝4.

由EF∥AC得

，所以OH＝1，D′H＝DH＝3，

于是D′H2＋OH2＝32＋12＝10＝D′O2，故D′H⊥OH.

又D′H⊥EF，而OH∩EF＝H，OH，EF⊂平面ABCD，

所以D′H⊥平面ABCD.

一、素养落地

1.通过学习线面角、线面垂直的判定定理及应用，重点培养学生的数学抽象素养，以及提升逻辑推理素养和直观想象素养.

2.直线和平面垂直的判定方法：

（1）利用线面垂直的定义；

（2）利用线面垂直的判定定理；

（3）利用下面两个结论：

①若a∥b，a⊥α，则b⊥α；

②若α∥β，a⊥α，则a⊥β.

3.求线面角的常用方法：

（1）直接法（一作（或找）二证三计算）；

（2）转移法（找过点与面平行的线或面）.

二、素养训练

1.空间中直线l和三角形的两边AC，BC同时垂直，则这条直线和三角形的第三边AB的位置关系是（　　）

A.平行B.垂直C.相交D.不确定

解析　由于直线l和三角形的两边AC，BC同时垂直，而这两边相交于点C，所以直线l和三角形所在的平面垂直，又因三角形的第三边AB在这个平面内，所以l⊥AB.

2.直线l⊥平面α，直线m⊂α，则l与m不可能（　　）

A.平行B.相交C.异面D.垂直

解析　若l∥m，又l⊄α，m⊂α，∴l∥α，

这与已知l⊥α矛盾.

所以直线l与m不可能平行.

答案　A

3.矩形ABCD中，AB＝1，BC＝

，PA⊥平面ABCD，PA＝1，则PC与平面ABCD所成的角是________.

解析　由题意知∠PCA为PC与平面ABCD所成的角.

在Rt△PAC中，ta