南京市高三上学期迎一模模拟考试数学试题Word文档格式.docx

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，向量

的终点

在

的内部（不含边界），则

的取值范围是．

10．已知正数

依次成等比数列，且公比

．将此数列删去一个数后得到的数列（按原来的顺序）是等差数列，则公比

的取值集合是．

；

11．已知棱长为1的正方体

是棱

是线段

上的动点，则△

与△

的面积和的最小值是．

;

12．已知函数

的值域为

，若关于

的不等式

的解集为

，则实数

的值为．

13.若对任意的x∈D，均有f1（x）≤f（x）≤f2（x）成立，则称函数f（x）为函数f1（x）到函数f2（x）在区间D上的“折中函数”．已知函数f（x）＝（k－1）x－1，g（x）＝0，h（x）＝（x＋1）lnx，且f（x）是g（x）到h（x）在区间[1,2e]上的“折中函数”，则实数k的取值集合为________．

【答案】{2}

14．若实数x,y满足x－4

＝2

，则x的取值范围是．

【答案】{0}[4，20].

二、解答题：

本大题共6小题，共90分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15．（本小题满分14分）

如图，在

平面上，点

，点

在单位圆上，

（

）

（1）若点

，求

的值；

（2）若

.

15.

（1）由于

，所以

，

所以

，所以

；

（2）由于

.

，

所以

16．（本小题满分14分）

如图，六面体ABCDE中，面DBC⊥面ABC，AE⊥面ABC．

（1）求证：

AE//面DBC；

（2）若AB⊥BC，BD⊥CD，求证：

AD⊥DC．

16．

（1）过点D作DO⊥BC，O为垂足．

因为面DBC⊥面ABC，又面DBC∩面ABC＝BC，DO⊂面DBC，

所以DO⊥面ABC．又AE⊥面ABC，则AE//DO．

又AE

面DBC，DO⊂面DBC，故AE//面DBC．

（2）由

（1）知DO⊥面ABC，AB⊂面ABC，所以DO⊥AB．

又AB⊥BC，且DO∩BC＝O，DO，BC⊂平面DBC，则AB⊥面DBC．

因为DC⊂面DBC，所以AB⊥DC．

又BD⊥CD，AB∩DB＝B，AB，DB⊂面ABD，则DC⊥面ABD．

又AD⊂面ABD，故可得AD⊥DC．

17．（本小题满分14分）

如图，某城市有一条公路从正西方

通过市中心

后转向东偏北

角方向的

．位于该市的某大学

与市中心

的距离

，且

．现要修筑一条铁路L，L在OA上设一站

，在OB上设一站B，铁路在

部分为直线段，且经过大学

．其中

．

（1）求大学

与站

（2）求铁路

段的长

17.

（1）在

中，

且

由余弦定理得，

，即大学

为

（2）

为锐角，

中，由正弦定理得，

即

又

在

，由正弦定理得，

即

，即铁路

．

18．（本小题满分16分）

设椭圆

的离心率为

，直线

与以原点为圆心、椭圆

的短半轴长为半径的圆

相切．

（1）求椭圆

的方程；

（2）设直线

与椭圆

交于不同的两点

，以线段

为直径作圆

．若圆

与

轴相交于不同的两点

的面积；

（3）如图，

、

是椭圆

的顶点，

上除顶点外的任意点，直线

交

轴于点

于点

．设

的斜率为

，求证：

为定值．

18.

（1）圆

的方程为

直线

与圆O相切，

，即

，又

椭圆

（2）由题意，可得

圆

的半径

的面积为

（3）由题意可知

由

，得

其中

则直线

令

，即

，解得

的斜率

，

（定值）．

19．（本小题满分16分）

已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足Sn＋n＝2an（n∈N*）．

（1）证明：

数列{an＋1}为等比数列，并求数列{an}的通项公式；

（2）若bn＝（2n＋1）an＋2n＋1，数列{bn}的前n项和为Tn.

求满足不等式

>

2010的n的最小值．

19．

（1）因为Sn＋n＝2an，所以Sn－1＝2an－1－（n－1）（n≥2，n∈N*）．

两式相减，得an＝2an－1＋1.

所以an＋1＝2（an－1＋1）（n≥2，n∈N*），所以数列{an＋1}为等比数列．

因为Sn＋n＝2an，令n＝1得a1＝1.

a1＋1＝2，所以an＋1＝2n，所以an＝2n－1.

（2）因为bn＝（2n＋1）an＋2n＋1，所以bn＝（2n＋1）·

2n.

所以Tn＝3×

2＋5×

22＋7×

23＋…＋（2n－1）·

2n－1＋（2n＋1）·

2n，①

2Tn＝3×

22＋5×

2n＋（2n＋1）·

2n＋1，②

①－②，得－Tn＝3×

2＋2（22＋23＋…＋2n）－（2n＋1）·

2n＋1

＝6＋2×

－（2n＋1）·

＝－2＋2n＋2－（2n＋1）·

2n＋1＝－2－（2n－1）·

2n＋1.

所以Tn＝2＋（2n－1）·

若

2010，则

2010，即2n＋1>

2010.

由于210＝1024,211＝2048，所以n＋1≥11，即n≥10.

所以满足不等式

2010的n的最小值是10.

20.（本小题满分16分）

已知函数

，设

（1）若

处取得极值，且

，求函数h（x）的单调区间；

时函数h（x）有两个不同的零点x1,x2.

①求b的取值范围；

②求证：

20.

（1）因为

可得a=b-3.

又因为

处取得极值，

所以a=-2,b=1.

，其定义域为（0，+

得

，

当

（0,1）时，

，当

（1,+

所以函数h（x）在区间（0,1）上单调增；

在区间（1,+

）上单调减.

（2）当

时，

）.

①由

，记

单调减，在

单调增，

所以当

时

取得最小值

，而

所以b的取值范围是（

，0）.

②由题意得

，不妨设x1<

x2,

要证

只需要证

即证

则

所以函数

在（1，+

）上单调增，而

.

第Ⅱ卷（附加题，共40分）

21．[选做题]

B．（选修４－２：

矩阵与变换）已知点P（a，b），先对它作矩阵M

对应的变换，再作N

对应的变换，得到的点的坐标为（8，

），求实数a，b的值．

B．依题意，NM

由逆矩阵公式得，（NM）

，即有

C．（选修４－４：

坐标系与参数方程）已知极坐标系的极点与直角坐标系的原点重合,极轴与

轴的正半轴重合.若直线

的极坐标方程为

（1）把直线

的极坐标方程化为直角坐标系方程;

（2）已知

为椭圆

上一点,求

到直线

的距离的最小值.

C.

（1）直线l的极坐标方程

则

所以直线l的直角坐标方程为

（2）P为椭圆

上一点,设

其中

则P到直线l的距离

时,

的最小值为

【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分.

22．（本小题满分10分）抛掷甲，乙两枚质地均匀且四面上分别标有1，2，3，4的正四面体，其底面落于桌面，记所得数字分别为x，y．设

为随机变量，若

为整数，则

为小于1的分数，则

为大于1的分数，则

（1）求概率

（2）求

的分布列，并求其数学期望

22．

（1）依题意，数对（x，y）共有16种，其中使

为整数的有以下8种：

（1，1），（2，2），（3，3），（4，4），（2，1），（3，1），（4，1），（4，2），所以

（2）随机变量

的所有取值为

有以下6种：

（1，2），（1，3），（1，4），（2，3），（2，4），（3，4），

故

有以下2种：

（3，2），（4，3），故

1

的分布列为：

答：

的数学期望为

23．（本小题满分10分）

已知

⑴求

及

⑵试比较

的大小，并说明理由．

23．⑴令

，令

⑵要比较

的大小

，只要比

较

的大小．

或

，当n=4或5时，

猜想：

．下面用数学归纳法证明：

①由上述过程可知，当

时，结论成立．

②假设当

时结论成立，即

两边同乘以

而

时结论也成立．

由①②可知，当

成立．

综上所述，当