竞赛第二讲一般物体的平衡答案Word文件下载.docx
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选择未知量多，又不需求解结果的力线交点为轴，这些力的力矩为零，式子简化得多；
2复杂的物体系平衡问题有时巧选对象：
选整体分析，常常转化为力矩平衡问题求解；
3无规则形状的物体重心位置计算常用方法是通过割补思想，结合平行力合成与分解的原则处理,
或者助物体重心公式计算。
三、巩固练习
1.如右图所示，匀质球质量为M半径为R;
匀质棒B质量为m长度为I。
求它的重心。
【解】第一种方法是：
将它分隔成球和棒两部分，然后用同向平行力合成的方
法找出重心CoC在AB连线上，且AC-M=BC-m
第二种方法是：
将棒锤看成一个对称的合成，用反向平行力合成的方法找出重心=A'
C•M。
不难看出两种方法的结果都是
M〔R+L〕
BC=dZ。
“哑铃”和一个质量为-M的球A的
C,C在AB连线上，且BC-（2M+m
Mg
AR+l/2
M+m
2.将重为30N的均匀球放在斜面上，球用绳子拉住,如图所示.绳AC与水平面平行，C点为球的最高点斜面倾角为370.求：
（1）绳子的张力.
（2）斜面对球的摩擦力和弹力.
［答案：
（1）10N;
（2）10N,30N］
解：
（1）取球与斜面的接触点为转轴：
得T=10N;
（2）取球心为转轴得，f=T=10N;
取C点为转轴：
f（R+RCOS370）—NRsin370
3.—个半径为r的均匀球体靠在竖直墙边，一个竖直向下的力F,如图所示.问；
力
\C
B/
}I
2F,
C
A•
（2M+m）g
mgRsin37°
—t（R+RCOs372）=0，
mg
（M+m）g
=0，得N=30N.
球跟墙面和水平地面间的静摩擦因数都为卩,如果在球上加
F离球心的水平的距离s为多大，才能使球做逆时针转动？
［解］当球开始转动时，f1,f2达到最大静摩擦
分别以球心和球与水平地接触点为轴列力矩平衡方程
.Fs=hr+f2r
t=PN1
因f1,f2为最大静摩擦：
«
11
[f2=卩N2
将以上方程联立可得：
S=（F+g），（12+4）r
F（1+42）
4.如图所示，均匀杆的A端用铰链与墙连接，杆可绕A点自由转动，杆的另一端放在长方形木块上，不计木块与地之间的摩擦力，木块不受其它力作用时，木块对AB杆的弹
力为10N，将木块向左拉出时，木块对杆的弹力为9N，那么将木块向右拉出时，木块对杆的弹力是多少？
（答案：
11.25N）
木块静止时弹力为10N,可得杆重G=20N
向左拉时：
NLcosot+MNLsinot=G—cosot，或NAsin
2
向右拉时：
ZLcosgMNLsina+G—cosa，或NbPsin
1
o=_Gsosot-Ncosot
o=N2cosa-_GDOsa
戸h
两式相比得2=10-9，得N2=11.25N
N2N2-10
5.有一轻质木板AB长为L，A端用铰链固定在竖直墙壁上，另一端用水平轻绳BC拉住.板上依次放着1、2、3三上圆柱体，半径均为r，重均为G木板与墙的夹角为4如图所示）.一切摩擦均不计，求BC绳的张力.[答案：
丁=空（1J+Zsin9]
L1—cos0cos6
解:
此题的解法很多，同学们可体会到取不同的研究对象，问题的难易程度不同.
解法1：
对圆柱体一个一个分析，分别计算出圆柱体的弹力，再对木板分析，有力矩平衡求出BC绳的张力.比较麻烦.
再对板有力矩平衡求出BC绳的张力.但弹力
解法2：
把三个球作为整体，可求出板对三个球的弹力的力臂比较难求.
下处于平衡，所以用隔离法可以比较容易地处理此类问题。
设每个圆柱的重力均为G首先隔离C球，受力分析如图1一7所示，由刀Fcy=0可得
Ni+;
fi）=G
受力分析如图1一8所示,
由刀FAy=O得
2芒
再隔留A球，
+-f-N2+G=0
由刀Fax=0得
Ni--Ni=0
f卡由刀Ea=0得
=3G
fi<
ANi
fiR=f2R由以上四式可得N^^G,n2
2而f2<
卩0"
2,
>
7,4工2-^3
7.（第六届预赛）有6个完全相同的刚性长条薄片ABi（i=i,2…），其
B5
A
A4
B6
Bi
B2
A3
两端下方各有一个小突起，薄片及突起的质量均不计，现将此6个薄片架
在一只水平的碗口上，使每个薄片一端的小突起B恰在碗口上，另一端小
突起A位于其下方薄片的正中，由正上方俯视如图所示，若将质量为m的
质点放在薄片A6B6上一点，这一点与此薄片中点的距离等于它与小突起A6
的距离，则薄片中点所受的（由另一薄片的小突起Ai所施的）压力。
答案：
mg/42
AiB、A2B2、
解析：
本题共有六个物体，通过观察会发现，AiB、A&
、…、A5B5的
受力情况完全相同，因此将AB、A2B2、…A5B5作为一类，对其中一个进行
受力分析，找出规律，求出通式即可求解.
以第i个薄片AB为研究对象，受力情况如图甲所示，第i个薄片受到前一个薄片向上的支持力
N、碗边向上的支持力和后一个薄片向下的压力N+1.选碗边B点为轴，根据力矩平衡有
LN*1111.
Ni<
=Ni+得Nj所以N1=-N2=-x-N3=A=^）5N6①
222222
再以A6B6为研究对象，受力情况如图乙所示，A6B6受到薄片A5B5向上的支持力N6、碗向上的支持力
和后一个薄片AiBi向下的压力N、质点向下的压力mg.选B6点为轴，根据力矩平衡有
L3
Nj——+mgL=N6
24
20块质量均匀分布的相同的光滑积木块，在光滑水平面一块叠一块地搭成单孔桥，已知每一积木块的长度为L,横截面为h=L的正方形，
4
由①、②联立，解得Ni=mg42所以，AiB薄片对A6B6的压力为mg42.
8.
求此桥具有的最大跨度（即桥孔底宽）
3号木块的左端为转轴力矩平衡
（第十届全国决赛）用
［解］设1号右端面到2号右端面的距离为X1，
Xi
L
J
以第2号木
试画出该桥的示意图，并计算跨度与桥孔高度的比值。
2号右端面到3号右端面到的距离为X2
块的左端为转轴力矩平衡：
GL+G丄=2G（L-X2）,可以得
出X2=L,
同理：
第3号右与第4号右端的距离为X3,以第
所以_!
=丄E1。
将n=10代入可得.
Hn-1Kik
9.
卩=0.3，杆的上端固定在
有一质量为m=50kg的直杆，竖立在水平地面上，杆与地面间静摩擦因数地面上的绳索拉住，绳与杆的夹角9=30°
如图所示。
（1）若以水平力F作用在杆上，作用点到地面的距离0=2L/5（L为杆长），要使杆不滑倒，力F最大不能越过多少？
（2）若将作用点移到h2=4L/5处时，情况又如何？
解析：
杆不滑倒应从两方面考虑，杆与地面间的静摩擦力达到极限的前提下，力的大小还与h有关，讨论力与h的关系是关键。
杆的受力如图5—7—甲所示，由平衡条件得另由上式可知，F增大时，f相应也增大，故当f增大到最大静摩擦力时，杆刚要滑倒，此时满足：
f=AN
mgLtan0
k2•问要在前后两爬犁都与雪地
解得：
Fmasd,,
（L-h）tan9/P—h由上式又可知，当（L-h）tan8/4-hTK，即当h0=0.66L时对F就没有限制了。
（1）当rn=—Lch。
，将有关数据代入Fmax的表达式得
5
（2）当h2=—L>
h0,无论F为何值，都不可能使杆滑倒，这种现象即称为自锁。
10.用两个爬犁（雪橇）在水平雪地上运送一根质量为m长为I的均匀横粱，
横梁保持水平，简化示意示图，如图1-41所示.每个爬犁的上端A与被运送
的横梁端头固连，下端B与雪地接触，假设接触而积很小.一水平牵引力F作用于前爬犁.作用点到雪地的距离用h表示.已知前爬犁与雪地间的动摩擦
因数为k1.后爬犁与雪地间的动摩擦因数为接触的条件下，使横梁沿雪地匀速向前移动.
F应多大？
设爬犁的质量可忽略不计.
Fmax=385N
h应满足什么条件？
水平牵引力
iZF=0
［分析］正确地物体进行受力分析，应用物体平衡的条件«
是求解平衡问题的基本出发点，准
EM=0
确地领会题中隐含信息，则是求解的关键所在,本题体现了这一解题思路.
［解］整个装置的受力如解图1-24所示，其中N与Na分别为雪地对爬犁的支持力，f1和f2分别为摩擦力，
根据平衡条件有
F=fj+f2mg=N1+N2
Fh+N2I=—mgl
根据摩擦力与正压力的关系有：
f1=k1N1
2=0的情况.将2=0
h越大以爬犁与地的前接触点为轴，F的力矩越大.故2越小.h最大时对应
代入以上各式，可以解得：
故:
h应满足的条件是：
h<
—^
2k1
11.半径为r，质量为m的三个刚性球放在光滑的水平面上，两两接触.用一个圆
柱形刚性圆筒（上、下均无盖）将此三球套在筒内.圆筒的半径取适当值，使得各球间以及球与筒壁之间保持接触，但互相无作用力.现取一个质量亦为m半径为R的第四个球，放在三个球的上方正中.四个球和圆筒之间的静摩擦系数均为M=3/J15（约等于0.775）.问R取何值时，用手轻轻竖直向上提起圆筒即能将四个球一起提起来？
[答案：
（—33_1）rcR^（^迹-1）r.]
333
当上面一个小球放上去后，下面三个小球有向外挤的趋势，互相之间既
无弹力也无摩擦力.因此可以通过下面某一个球的球心和上面球的球心的竖直面来进行受力分析，受力图如图所示.
对上面小球，根据竖直方向受力平衡有325^日-3f2SOC6=mg---
（或下面的小球，对球与筒接触点为转轴，
力矩平衡Nksin由mg=f2r（1+COS日））
再对四个小球为整体，在竖直方向3f1=4m（-
cos呻,
有上述四式得：
128SOC2比24coseL77=0,解得:
2_1132叮^3
因cos8=—V3r/（r+R）=—，所以R=
（1）r。
31633
但上面的小球不能太小，否则上球要从下面三个小球之间掉下去，必须使R'
（三
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