届二轮复习 不等式与合情推理学案全国通用Word下载.docx

届二轮复习 不等式与合情推理学案全国通用Word下载.docx

《届二轮复习 不等式与合情推理学案全国通用Word下载.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《届二轮复习 不等式与合情推理学案全国通用Word下载.docx（30页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。

T15

2016

线性规划的实际应用·

T16

不等式的性质及解法

一元二次不等式的解法

先化为一般形式ax2＋bx＋c>

0（a≠0），再求相应一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的根，最后根据相应二次函数图象与x轴的位置关系，确定一元二次不等式的解集．

简单分式不等式的解法

（1）

>

0（<

0）⇔f（x）g（x）>

0）．

（2）

≥0（≤0）⇔f（x）g（x）≥0（≤0）且g（x）≠0.

不等式恒成立问题的解题方法

（1）f（x）＞a对一切x∈I恒成立⇔f（x）min＞a；

f（x）＜a对一切x∈I恒成立⇔f（x）max＜a.

（2）f（x）＞g（x）对一切x∈I恒成立⇔f（x）的图象在g（x）的图象的上方．

（3）解决恒成立问题还可以利用分离参数法，一定要搞清谁是自变量，谁是参数．一般地，知道谁的范围，谁就是变量，求谁的范围，谁就是参数．利用分离参数法时，常用到函数单调性、基本不等式等．

[考法全练]

1．（2018·

武汉调研）已知x，y∈R，且x＞y＞0，若a＞b＞1，则一定有（　　）

A.

＞

　　　　　　　　　　B．sinax＞sinby

C．logax＞logbyD．ax＞by

解析：

选D.对于A选项，不妨令x＝8，y＝3，a＝5，b＝4，显然

＝

＜

，A选项错误；

对于B选项，不妨令x＝π，y＝

，a＝2，b＝

，此时sinax＝sin2π＝0，sinby＝sin

，显然sinax＜sinby，B选项错误；

对于C选项，不妨令x＝5，y＝4，a＝3，b＝2，此时logax＝log35，logby＝log24＝2，显然logax＜logby，C选项错误；

对于D选项，因为a＞b＞1，所以当x＞0时，ax＞bx，又x＞y＞0，所以当b＞1时，bx＞by，所以ax＞by，D选项正确．综上，选D.

2．设[x]表示不超过x的最大整数（例如：

[5.5]＝5，[－5.5]＝－6），则不等式[x]2－5[x]＋6≤0的解集为（　　）

A．（2，3）B．[2，4）

C．[2，3]D．（2，3]

选B.不等式[x]2－5[x]＋6≤0可化为（[x]－2）·

（[x]－3）≤0，解得2≤[x]≤3，即不等式[x]2－5[x]＋6≤0的解集为2≤[x]≤3.根据[x]表示不超过x的最大整数，得不等式的解集为2≤x＜4.故选B.

3．（2018·

长春质量检测

（一））已知角α，β满足－

＜α－β＜

，0＜α＋β＜π，则3α－β的取值范围是________．

设3α－β＝m（α－β）＋n（α＋β）＝（m＋n）α＋（n－m）β，则

解得

因为－

，0＜α＋β＜π，所以－π＜2（α－β）＜π，故－π＜3α－β＜2π.

答案：

（－π，2π）

4．（2018·

郑州第一次质量预测）已知函数f（x）＝

若不等式f（x）≤5－mx恒成立，则实数m的取值范围是________．

作出函数f（x）的大致图象如图所示，令g（x）＝5－mx，则g（x）恒过点（0，5），由f（x）≤g（x）恒成立，由数形结合得－

≤－m≤0，解得0≤m≤

.

基本不等式及其应用

利用不等式求最值的4个解题技巧

（1）凑项：

通过调整项的符号，配凑项的系数，使其积或和为定值．

（2）凑系数：

若无法直接运用基本不等式求解，可以通过凑系数后得到和或积为定值，从而可利用基本不等式求最值．

（3）换元：

分式函数求最值，通常直接将分子配凑后将式子分开或将分母换元后将式子分开再利用基本不等式求最值．即化为y＝m＋

＋Bg（x）（A>

0，B>

0），g（x）恒正或恒负的形式，然后运用基本不等式来求最值．

（4）“1”的代换：

先把已知条件中的等式变形为“1”的表达式，再把“1”的表达式与所求最值的表达式相乘求积，通过变形构造和或积为定值的代数式求其最值．

1．若log4（3a＋4b）＝log2

，则a＋b的最小值是（　　）

A．6＋2

　　　　　　　B．7＋2

C．6＋4

D．7＋4

选D.因为log4（3a＋4b）＝log2

，所以log22（3a＋4b）＝log2

，所以

log2（3a＋4b）＝log2

，所以log2（3a＋4b）＝2log2

，所以log2（3a＋4b）＝log2ab，所以3a＋4b＝ab，即

＋

＝1，故a＋b＝

（a＋b）＝7＋

≥7＋4

.故选D.

2．已知向量a＝（x－1，3），b＝（1，y），其中x，y都为正实数．若a⊥b，则

的最小值为（　　）

A．2B．2

C．4D．2

选C.因为a⊥b，所以a·

b＝x－1＋3y＝0，即x＋3y＝1.又x，y为正实数，所以

＝（x＋3y）·

＝2＋

≥2＋2

＝4，当且仅当x＝3y＝

时取等号．所以

的最小值为4.故选C.

合肥调研）已知a＞b＞0，则a＋

B．4

C．2

D．3

选D.因为a＞b＞0，所以a＋

≥

＝2

＝3

，当且仅当a＝

，b＝

时等号成立．

高考天津卷）已知a，b∈R，且a－3b＋6＝0，则2a＋

的最小值为________．

由a－3b＋6＝0，得a＝3b－6，所以2a＋

＝23b－6＋

≥2

＝2×

2－3＝

，当且仅当23b－6＝

，即b＝1时等号成立．

5．某公司一年购买某种货物600吨，每次购买x吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为4x万元．要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x的值是________．

由题意知一年购买

次，则总运费与总存储费用之和为

×

6＋4x＝4

≥8

＝240，当且仅当x＝30时取等号，故总运费与总存储费用之和最小时，x的值是30.

30

线性规划问题

常见的3种目标函数

（1）截距型：

形如z＝ax＋by，求这类目标函数的最值常将函数z＝ax＋by转化为y＝－

x＋

，通过求直线的截距

的最值间接求出z的最值．

（2）距离型：

形如z＝（x－a）2＋（y－b）2，设动点P（x，y），定点M（a，b），则z＝|PM|2.

（3）斜率型：

形如z＝

，设动点P（x，y），定点M（a，b），则z＝kPM.

南昌调研）设变量x，y满足约束条件

则z＝3x－2y的最大值为（　　）

A．－2　　　　　　　　　　B．2

C．3D．4

选C.作出不等式组表示的可行域如图中阴影部分所示，作出直线y＝

x，平移该直线，当直线经过C（1，0）时，在y轴上的截距最小，z最大，此时z＝3×

1－0＝3，故选C.

2．（2018·

南昌模拟）设不等式组

表示的平面区域为M，若直线y＝kx经过区域M内的点，则实数k的取值范围为（　　）

B.

C.

D.

选C.不等式组

表示的平面区域如图中阴影部分所示，即三角形ABC（含边界），由

得点A（2，1），由

得点C（1，2），又直线OA的斜率为kOA＝

，直线OC的斜率为kOC＝2，而直线y＝kx表示过原点O的直线，因此根据题意可得kOA≤k≤kOC，即

≤k≤2，故选C.

广州模拟）若x，y满足约束条件

则z＝x2＋2x＋y2的最小值为（　　）

C．－

D．－

选D.画出约束条件对应的平面区域，如图中阴影部分所示，目标函数z＝x2＋2x＋y2＝（x＋1）2＋y2－1的几何意义是平面区域内的点到定点（－1，0）的距离的平方再减去1，观察图形可得，平面区域内的点到定点（－1，0）的距离的最小值为

，故z＝x2＋2x＋y2的最小值为zmin＝

－1＝－

，故选D.

辽宁五校联合体模拟）已知实数x，y满足

若目标函数z＝ax＋y的最大值为3a＋9，最小值为3a－3，则实数a的取值范围是（　　）

A．{a|－1≤a≤1}B．{a|a≤－1}

C．{a|a≤－1或a≥1}D．{a|a≥1}

选A.不等式组

表示的平面区域如图中阴影部分所示，因为目标函数z＝ax＋y的最大值为3a＋9，最小值为3a－3，所以目标函数z＝ax＋y的图象经过点A（3，9）时，z取得最大值，经过点B（3，－3）时，z取得最小值，由图象得，－1≤－a≤1，所以－1≤a≤1，故选A.

5．（2018·

武汉调研）某公司生产甲、乙两种桶装产品，已知生产甲产品1桶需耗A原料2千克，B原料3千克；

生产乙产品1桶需耗A原料2千克，B原料1千克，每桶甲产品的利润是300元，每桶乙产品的利润是400元，公司在每天消耗A，B原料都不超过12千克的条件下，生产这两种产品可获得的最大利润为（　　）

A．1800元B．2100元

C．2400元D．2700元

选C.设生产甲产品x桶，生产乙产品y桶，每天的利润为z元．根据题意，有

z＝300x＋400y.作出

所表示的可行域，为图中阴影部分中的整点，作出直线3x＋4y＝0并平移，当直线经过点A（0，6）时，z有最大值，zmax＝400×

6＝2400，故选C.

合情推理

破解归纳推理题的思维3步骤

（1）发现共性：

通过观察特例发现某些相似性（特例的共性或一般规律）．

（2）归纳推理：

把这种相似性推广为一个明确表述的一般命题（猜想）．

（3）检验，得结论：

对所得的一般性命题（猜想）进行检验，一般地，“求同存异”“逐步细化”“先粗后精”是求解由特殊结论推广到一般结论型创新题的基本技巧．

破解类比推理题的3个关键

（1）会定类，即找出两类对象之间可以确切表述的相似特征．

（2）会推测，即用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一个明确的猜想．

（3）会检验，即检验猜想的正确性．要将类比推理运用于简单推理之中，在不断的推理中提高自己的观察、归纳、类比能力．

南昌模拟）已知13＋23＝

，13＋23＋33＝

，13＋23＋33＋43＝

，…，若13＋23＋33＋43＋…＋n3＝3025，则n＝（　　）

A．8　　　　　　　　　　B．9

C．10D．11

选C.13＋23＝

，

13＋23＋33＝

13＋23＋33＋43＝

…