中考数学难点分类讲解 第四讲 一元二次方程与二次函数Word文档格式.docx
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在实数范围内,对于
的同一个值,这两个函数所对应的函数值
均成立;
⑶在⑵条件下,若二次函数
的图象经过点
,且在实数范围内,对于
的同一个值,这三个函数所对应的函数值
,均成立,求二次函数
的解析式.
【思路分析】本题是一道典型的从方程转函数的问题,这是比较常见的关于一元二次方程与二次函数的考查方式。
由于并未说明该方程是否是一元二次方程,所以需要讨论M=0和M≠0两种情况,然后利用根的判别式去判断。
第二问的第一小问考关于Y轴对称的二次函数的性质,即一次项系数为0,然后求得解析式。
第二问加入了一个一次函数,证明因变量的大小关系,直接相减即可。
事实上这个一次函数
恰好是抛物线
的一条切线,只有一个公共点(1,0)。
根据这个信息,第三问的函数如果要取不等式等号,也必须过该点。
于是通过代点,将
用只含a的表达式表示出来,再利用
构建两个不等式,最终分析出a为何值时不等式取等号,于是可以得出结果.
【解析】
解:
(1)分两种情况:
当
时,原方程化为
,解得
,(不要遗漏)
∴当
,原方程有实数根.
时,原方程为关于
的一元二次方程,
∵
.
∴原方程有两个实数根.(如果上面的方程不是完全平方式该怎样办?
再来一次根的判定,让判别式小于0就可以了,不过中考如果不是压轴题基本判别式都会是完全平方式,大家注意就是了)
综上所述,
取任何实数时,方程总有实数根.
(2)①∵关于
的二次函数
轴对称,
∴
.(关于Y轴对称的二次函数一次项系数一定为0)
.
∴抛物线的解析式为
②∵
,(判断大小直接做差)
(当且仅当
时,等号成立).
(3)由②知,当
时,
、
的图象都经过
.(很重要,要对那个等号有敏锐的感觉)
∵对于
的同一个值,
,
的图象必经过
又∵
经过
.(巧妙的将表达式化成两点式,避免繁琐计算)
设
均成立,
又根据
的图象可得
.(a>
0时,顶点纵坐标就是函数的最小值)
而
只有
【例2】2010,门头沟,一模
的一元二次方程
(1)当
为何值时,方程有两个不相等的实数根;
(2)点
是抛物线
上的点,求抛物线的解析式;
(3)在
(2)的条件下,若点
与点
关于抛物线的对称轴对称,是否存在与抛物线只交于点
的直线,若存在,请求出直线的解析式;
若不存在,请说明理由.
【思路分析】第一问判别式依然要注意二次项系数不为零这一条件。
第二问给点求解析式,比较简单。
值得关注的是第三问,要注意如果有一次函数和二次函数只有一个交点,则需要设直线y=kx+b以后联立,新得到的一元二次方程的根的判别式是否为零,但是这样还不够,因为y=kx+b的形式并未包括斜率不存在即垂直于x轴的直线,恰恰这种直线也是和抛物线仅有一个交点,所以需要分情况讨论,不要遗漏任何一种可能.
【解析】:
(1)由题意得
解得
且
时,方程有两个不相等的实数根.
(2)由题意得
(舍)(始终牢记二次项系数不为0)
(3)抛物线的对称轴是
由题意得
(关于对称轴对称的点的性质要掌握)
与抛物线有且只有一个交点
(这种情况考试中容易遗漏)
另设过点
的直线
(
)
把
代入
,得
整理得
有且只有一个交点,
综上,与抛物线有且只有一个交点
的直线的解析式有
【例3】
已知P(
)和Q(1,
)是抛物线
上的两点.
(1)求
的值;
(2)判断关于
=0是否有实数根,若有,求出它的实数根;
若没有,请说明理由;
(3)将抛物线
的图象向上平移
是正整数)个单位,使平移后的图象与
轴无交点,求
的最小值.
【思路分析】拿到题目,很多同学不假思索就直接开始代点,然后建立二元方程组,
十分麻烦,计算量大,浪费时间并且可能出错。
但是仔细看题,发现P,Q纵坐标是一样的,说明他们关于抛物线的对称轴对称。
而抛物线只有一个未知系数,所以轻松写出对称轴求出b。
第二问依然是判别式问题,比较简单。
第三问考平移,也是这类问题的一个热点,在其他区县的模拟题中也有类似的考察。
考生一定要把握平移后解析式发生的变化,即左加右减(单独的x),上加下减(表达式整体)然后求出结果。
(1)因为点P、Q在抛物线上且纵坐标相同,所以P、Q关于抛物线对称轴对称并且到对称轴距离相等.
所以,抛物线对称轴
,所以,
(2)由
(1)可知,关于
的一元二次方程为
=0.
因为,
=16-8=8
0.
所以,方程有两个不同的实数根,分别是
(3)由
(1)可知,抛物线
是正整数)个单位后的解析式为
若使抛物线
的图象与
轴无交点,只需
无实数解即可.
由
=
<
0,得
又
是正整数,所以
得最小值为2.
【例4】2010,昌平,一模
已知抛物线
,其中
是常数.
(1)求抛物线的顶点坐标;
(2)若
,且抛物线与
轴交于整数点(坐标为整数的点),求此抛物线的解析式.
【思路分析】本题第一问较为简单,用直接求顶点的公式也可以算,但是如果巧妙的将a提出来,里面就是一个关于X的完全平方式,从而得到抛物线的顶点式,节省了时间.第二问则需要把握抛物线与X轴交于整数点的判别式性质.这和一元二次方程有整数根是一样的.尤其注意利用题中所给
合理变换以后代入判别式,求得整点的可能取值.
(1)依题意,得
∴
∴抛物线的顶点坐标为
(2)∵抛物线与
轴交于整数点,
的根是整数.
是整数.
∵
是整数.
是整数的完全平方数.
,
.(很多考生想不到这种变化而导致后面无从下手)
取1,4,
;
当
.
的值为2或
或
【例5】2010,平谷,一模
为实数)
(1)若方程有两个不相等的实数根,求
的取值范围;
(2)在
(1)的条件下,求证:
无论
取何值,抛物线
总过
轴上的一个固定点;
(3)若
是整数,且关于
有两个不相等的整数根,把抛物线
向右平移
个单位长度,求平移后的解析式.
【思路分析】本题第一问比较简单,直接判别式≥0就可以了,依然不能遗漏的是m-1≠0。
第二问则是比较常见的题型.一般来说求固定点既是求一个和未知系数无关的X,Y的取值.对于本题来说,直接将抛物线中的m提出,对其进行因式分解得到y=(mx-x-1)(x+1)就可以看出当x=-1时,Y=0,而这一点恰是抛物线横过的X轴上固定点.如果想不到因式分解,由于本题固定点的特殊性(在X轴上),也可以直接用求根公式求出两个根,标准答案既是如此,但是有些麻烦,不如直接因式分解来得快.至于第三问,又是整数根问题+平移问题,因为第二问中已求出另一根,所以直接令其为整数即可,比较简单.
(1)
∵方程有两个不相等的实数根,
的取值范围是
(2)证明:
令
得
(这样做是因为已经知道判别式是
计算量比较小,如果根号内不是完全平方就需要注意了)
∴抛物线与
轴的交点坐标为
∴无论
总过定点
(3)∵
是整数∴只需
是整数.
是整数,且
时,抛物线为
把它的图象向右平移
个单位长度,得到的抛物线解析式为
【总结】中考中一元二次方程与二次函数几乎也是必考内容,但是考点无非也就是因式分解,判别式,对称轴,两根范围,平移以及直线与抛物线的交点问题。
总体来说这类题目不难,但是需要计算认真,尤其是求根公式的应用一定要注意计算的准确性。
这种题目大多包涵多个小问。
第一问往往是考验判别式大于0,不要忘记二次项系数为0或者不为0的情况。
第2,3问基于函数或者方程对其他知识点进行考察,考生需要熟记对称轴,顶点坐标等多个公式的直接应用。
至于根与系数的关系(韦达定理)近年来中考已经尽量避免提及,虽不提倡但是应用了也不会扣分,考生还是尽量掌握为好,在实际应用中能节省大量的时间。
第二部分发散思考
【思考1】.2010,北京中考
已知关于
有实数根,
为正整数.
(2)当此方程有两个非零的整数根时,将关于
的图象向下平移8个单位,求平移后的图象的解析式;
(3)在
(2)的条件下,将平移后的二次函数的图象在
轴下方的部分沿
轴翻折,图象的其余部分保持不变,得到一个新的图象.请你结合这个新的图象回答:
当直线
与此图象有两个公共点时,
的取值范围.
【思路分析】去年中考原题,相信有些同学已经做过了.第一问自不必说,判别式大于0加上k为正整数的条件求k很简单.第二问要分情况讨论当k取何值时方程有整数根,一个个代进去看就是了,平移倒是不难,向下平移就是整个表达式减去8.但是注意第三问,函数关于对称轴的翻折,旋转问题也是比较容易在中考中出现的问题,一定要熟练掌握关于对称轴翻折之后函数哪些地方发生了变化,哪些地方没有变.然后利用画图解决问题.
【思考2】2009,东城,一模
(1)若
求证:
方程有两个不相等的实数根;
(2)若12<m<40的整数,且方程有两个整数根,求
的值.
【思路分析】本题也是整根问题,但是不像上题,就三个值一个个试就可以试出来结果。
本题给定一个比较大的区间,所以就需要直接用求根公式来计算.利用已知区间去求根的判别式的区间,也对解不等式做出了考察.
【思考3】2009,海淀,一模
已知:
关于x的一元一次方程kx=x+2①的根为正实数,二次函数y=ax2-bx+kc
(c≠0)的图象与x轴一个交点的横坐标为1.
(1)若方程①的根为正整数,求整数k的值;
(2)求代数式
(3)求证:
关于x的一元二