2017四川省中考突破复习题专项(三)一元二次方程根的判别式.doc

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题型专项（三）　一元二次方程根的判别式及根与系数的关系

1．（2016·成都）已知关于x的方程3x2＋2x－m＝0没有实数根，求实数m的取值范围．

解：

∵关于x方程3x2＋2x－m＝0没有实数根，

∴Δ＝22－4×3×（－m）<0.

解得m<－.

2．（2016·自贡富顺县六校联考）已知关于x的方程x2－（k＋1）x－6＝0.

（1）求证：

无论k取何实数，该方程总有两个不相等的实数根；

（2）若方程的一根为2，试求出k的值和另一根．

解：

（1）证明：

∵b2－4ac＝[－（k＋1）]2－4×1×（－6）＝（k＋1）2＋24≥24，

∴无论k取何实数，该方程总有两个不相等的实数根．

（2）解法一：

将x＝2代入方程x2－（k＋1）x－6＝0中，

22－2（k＋1）－6＝0，即k＋2＝0，解得k＝－2.

∴x2－（k＋1）x－6＝x2＋x－6＝（x－2）（x＋3）＝0.解得x1＝2，x2＝－3.

故k的值为－2，方程的另一根为－3.

解法二：

由题意得

∵x1＝2，∴x2＝－3.

∴k＋1＝2＋（－3），即k＝－2.

3．（2016·绵阳三台县一诊）已知关于x的一元二次方程x2－4x＋m＝0.

（1）若方程有实数根，求实数m的取值范围；

（2）若方程两实数根为x1，x2，且满足5x1＋2x2＝2，求实数m的值．

解：

（1）∵方程有实数根，

∴Δ＝（－4）2－4m＝16－4m≥0.

∴m≤4.

（2）∵x1＋x2＝4，

∴5x1＋2x2＝2（x1＋x2）＋3x1＝2×4＋3x1＝2.

∴x1＝－2.∴x2＝6.

∴m＝x1x2＝－2×6＝－12.

4．（2016·南充二诊）已知关于x的方程x2－（2k－3）x＋k2＋1＝0有两个不相等的实数根x1，x2.

（1）求k的取值范围；

（2）若x1，x2满足|x1|＋|x2|＝2|x1x2|－3，求k的值．

解：

（1）∵原方程有两个不相等的实数根，

∴Δ＝[－（2k－3）]2－4（k2＋1）

＝4k2－12k＋9－4k2－4

＝－12k＋5＞0.

解得k＜.

（2）∵k＜，

∴x1＋x2＝2k－3＜0.

又∵x1x2＝k2＋1＞0，

∴x1＜0，x2＜0.

∴|x1|＋|x2|＝－x1－x2＝－（x1＋x2）＝－2k＋3.

∵|x1|＋|x2|＝2|x1x2|－3，

∴－2k＋3＝2k2＋2－3，即k2＋k－2＝0.

∴k1＝1，k2＝－2.

又∵k＜，

∴k＝－2.

5．（2016·鄂州）关于x的方程（k－1）x2＋2kx＋2＝0.

（1）求证：

无论k为何值，方程总有实数根；

（2）设x1，x2是方程（k－1）x2＋2kx＋2＝0的两个根，记S＝＋＋x1＋x2，S的值能为2吗？

若能，求出此时k的值．若不能，请说明理由．

解：

（1）证明：

①当k－1＝0，即k＝1时，方程为一元一次方程2x＋2＝0，

解得x＝－1.方程有一个解；

②当k－1≠0，即k≠1时，方程为一元二次方程，

Δ＝（2k）2－4×2（k－1）

＝4k2－8k＋8

＝4（k－1）2＋4＞0，

∴方程有两个不相等的实数根．

综上，无论k为何值，方程总有实数根．

（2）∵x1＋x2＝－，x1x2＝，

∴S＝＋＋x1＋x2

＝＋（x1＋x2）

＝＋（x1＋x2）

＝

＝

＝2（k－1）．

若S＝2，则2（k－1）＝2.

∴k＝2.

∴当k＝2时，S的值为2.

6．（2016·荆州）已知在关于x的分式方程＝2①和一元二次方程（2－k）x2＋3mx＋（3－k）n＝0②中，k，m，n均为实数，方程①的根为非负数．

（1）求k的取值范围；

（2）当方程②有两个整数根x1，x2，k为整数，且k＝m＋2，n＝1时，求方程②的整数根；

（3）当方程②有两个实数根x1，x2，满足x1（x1－k）＋x2（x2－k）＝（x1－k）（x2－k），且k为负整数时，试判断|m|≤2是否成立？

请说明理由．

解：

（1）∵关于x的分式方程＝2的根为非负数，∴x≥0且x≠1.

∴x＝≥0，且≠1.∴解得k≥－1且k≠1.

又∵一元二次方程（2－k）x2＋3mx＋（3－k）n＝0中，2－k≠0，∴k≠2.

综上可得，k≥－1且k≠1且k≠2.

（2）∵一元二次方程（2－k）x2＋3mx＋（3－k）n＝0有两个整数根x1，x2，

把k＝m＋2，n＝1代入原方程得－mx2＋3mx＋（1－m）＝0，即mx2－3mx＋m－1＝0.[

∴x1＋x2＝3，x1x2＝＝1－，

∵x1，x2是整数，k，m是整数，

∴1－为整数．∴m＝1或m＝－1.

∴把m＝1代入方程mx2－3mx＋m－1＝0得x2－3x＝0.解得x1＝0，x2＝3.

把m＝－1代入方程mx2－3mx＋m－1＝0得－x2＋3x－2＝0，解得x1＝1，x2＝2.

（3）|m|≤2不成立，理由：

由

（1）知：

k≥－1且k≠1，k≠2.

∵k是负整数，∴k＝－1.

∵（2－k）x2＋3mx＋（3－k）n＝0有两个实数根x1，x2，且n＝1，

∴x1＋x2＝－＝＝－m，x1x2＝＝.

∵x1（x1－k）＋x2（x2－k）＝（x1－k）（x2－k），

即（x1＋x2）2－3x1x2＝1，

∴（－m）2－3×＝1.解得m＝±.

∴|m|≤2不成立．