高考数学 热点题型和提分秘籍 专题20 平面向量的数量积 文Word文件下载.docx

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＝（0，－1），

所以

＝1。

【提分秘籍】向量数量积的两种计算方法

（1）当已知向量的模和夹角θ时，可利用定义法求解，即a·

b＝|a||b|cosθ。

（2）当已知向量的坐标时，可利用坐标法求解，即若a＝（x1，y1），b＝（x2，y2），则a·

b＝x1x2＋y1y2。

【举一反三】

已知两个单位向量e1，e2的夹角为

，若向量b1＝e1－2e2，b2＝3e1＋4e2，则b1·

b2＝__________。

【答案】－6

【解析】b1·

b2＝（e1－2e2）·

（3e1＋4e2）

＝3e

－2e1·

e2－8e

＝3－2×

1×

cos

－8＝－6。

热点题型二平面向量的垂直与夹角问题

例2、

（1）若|a|＝2，|b|＝4且（a＋b）⊥a，则a与b的夹角是（　　）

B.

C.

D．－

（2）设向量a＝（x－1，1），b＝（－x＋1，3），若a⊥（a－b），则x＝__________。

（3）设两个向量a，b，满足|a|＝2，|b|＝1，a与b的夹角为

，若向量2ta＋7b与a＋tb的夹角为钝角，求实数t的范围。

（1）A

（2）0或2（3）见解析

（1）根据题意，由于|a|＝2，|b|＝4且（a＋b）⊥a，则有（a＋b）·

a＝0⇔a2＋b·

a＝0⇔4＋b·

a＝

【提分秘籍】平面向量数量积的两个应用

（1）求夹角大小：

若a，b为非零向量，则由平面向量的数量积公式得cosθ＝

（夹角公式），所以平面向量的数量积可以用来解决有关角度的问题。

（2）确定夹角的范围：

数量积大于0说明不共线的两向量的夹角为锐角，数量积等于0说明不共线的两向量的夹角为直角，数量积小于0且两向量不共线时两向量的夹角为钝角。

若向量a＝（1，2），b＝（1，－1），则2a＋b与a－b的夹角等于（　　）

A．－

C.

D.

【答案】C

热点题型三平面向量的模

例3．

（1）已知a，b是单位向量，a·

b＝0。

若向量c满足|c－a－b|＝1，则|c|的最大值为（　　）

－1B.

＋1D.

＋2

（2）设e1，e2为单位向量，非零向量b＝xe1＋ye2，x，y∈R。

若e1，e2的夹角为

，则

的最大值等于__________。

（1）C

（2）2

（1）方法一：

条件|c－a－b|＝1可以理解成如图的情况

而|a＋b|＝

，向量c的终点在单位圆上，故|c|的最大值为

＋1。

方法二：

由题意，得|a|＝|b|＝1，a·

b＝0，

所以|a＋b|＝

，

因为|c－a－b|＝1，

所以|c－a－b|2＝c2－2c·

（a＋b）＋（a＋b）2＝1。

设c与a＋b的夹角为θ，

则|c|2－2|c|×

cosθ＋2＝1，

【提分秘籍】求平面向量的模及最值的方法

几何法求最值：

利用向量加减法的平行四边形法则或三角形法则，结合模的几何意义求模的最值或取值范围

代数法求最值：

利用向量的数量积及运算法则转化为不等式或函数求模的最值或取值范围。

若a，b，c均为单位向量，且a·

b＝0，（a－c）·

（b－c）≤0，则|a＋b－c|的最大值为（　　）

－1B．1

D．2

【解析】由向量a，b，c都是单位向量，可得a2＝1，b2＝1，c2＝1，由a·

b＝0及（a－c）·

（b－c）≤0，可以知道（a＋b）·

c≥c2＝1，因为|a＋b－c|2＝a2＋b2＋c2＋2a·

b－2a·

c－2b·

c，所以有|a＋b－c|2＝3－2（a·

c＋b·

c）＝3－2（a＋b）·

c，故|a＋b－c|≤1。

1.【2017课标3，文12】在矩形ABCD中，AB=1，AD=2，动点P在以点C为圆心且与BD相切的圆上.若

=

+

的最大值为

A．3B．2

C．

D．2

【答案】A

点

在圆

上，所以圆心到直线的距离

，即

，解得

，所以

的最大值是3，即

的最大值是3，故选A。

【考点】平面向量的坐标运算；

平面向量基本定理

2.【2017北京，文6】设m,n为非零向量，则“存在负数

，使得

”是“

”的

（A）充分而不必要条件（B）必要而不充分条件

（C）充分必要条件（D）既不充分也不必要条件

【解析】若

，使

，即两向量反向，夹角是

，那么

T，若

，那么两向量的夹角为

，并不一定反向，即不一定存在负数

，所以是充分不必要条件，故选A.

【考点】1.向量；

2.充分必要条件.

3.【2017课标II，文12】已知

函数的最值

4.【2017课标1，文13】已知向量a，b的夹角为60°

，|a|=2，|b|=1，则|a+2b|=.

【解析】利用如下图形，可以判断出

的模长是以2为边长的菱形对角线的长度，

.

【考点】平面向量的运算.

5.【2017天津，文13】在

中，

.若

，且

的值为___________.

【答案】

则

【考点】向量的数量积

6.【2017山东，文12】已知

是互相垂直的单位向量，若

与

的夹角为

，则实数

的值是.

【考点】1.平面向量的数量积.2.平行向量的夹角.3.单位向量.

7．【2017浙江，15】已知向量a，b满足

则

的最小值是________，最大值是_______．

【答案】4，

【解析】设向量

，由余弦定理有：

，则：

令

据此可得：

即

的最小值是4，最大值是

．

【考点】平面向量模长运算

8.【2017浙江，10】如图，已知平面四边形ABCD，AB⊥BC，AB＝BC＝AD＝2，CD＝3，AC与BD交于点O，记

A．

B．

C．

D．

【解析】因为

，

，故选C。

【考点】平面向量数量积运算

9.【2017江苏，12】如图,在同一个平面内，向量

的模分别为1,1,

且tan

=7,

的夹角为45°

则

▲.

【答案】3

【解析】由

可得

，根据向量的分解，

易得

，即得

【考点】向量表示

10.【2017江苏，16】已知向量

（1）若a∥b,求x的值；

（2）记

求

的最大值和最小值以及对应的

的值.

（1）

（2）

时，

取得最大值，为3；

取得最小值，为

解：

（1）因为

，a∥b，

所以

若

，与

矛盾，故

于是

.

又

因为

从而

于是，当

时，

取到最大值3；

当

取到最小值

【考点】向量共线，数量积

1.【2016高考江苏卷】如图，在

是

的中点，

上的两个三等分点，

，则

的值是▲.

【2015高考山东，文4】已知菱形

的边长为

，

则

（）

（A）

（B）

（C）

（D）

【答案】D

故选D.

【2015高考陕西，文7】对任意向量

，下列关系式中不恒成立的是（）

B．

C．

D．

，所以选项A正确；

方向相反时，

不成立，所以选项B错误；

向量的平方等于向量的模的平方，所以选项C正确；

，所以选项D正确．故选B．

【2015高考四川，文7】设四边形ABCD为平行四边形，

.若点M，N满足

（A）20（B）15（C）9（D）6

，选C.

【2015高考安徽，文8】

是边长为

的等边三角形，已知向量

满足

，则下列结论正确的是（）

（C）

（D）

【解析】如图，

【2015高考福建，文9】已知

，若

点是

所在平面内一点，且

的最大值等于（）

A．13B．15C．19D．21

【解析】以

为坐标原点，建立平面直角坐标系，如图所示，则

，因此

，因为

的最大值等于

，当

时取等号．

【2015高考天津，文14】在等腰梯形

中,已知

动点

和

分别在线段

上,且,

则

的最小值为.

1．（2014·

北京卷）已知向量a，b满足|a|＝1，b＝（2，1），且λa＋b＝0（λ∈R），则|λ|＝________．

【解析】∵λa＋b＝0，∴λa＝－b，

∴|λ|＝

＝

2．（2014·

湖北卷）设向量a＝（3，3），b＝（1，－1）．若（a＋λb）⊥（a－λb），则实数λ＝________．

【答案】±

3　

【解析】因为a＋λb＝（3＋λ，3－λ），a－λb＝（3－λ，3＋λ），又（a＋λb）⊥（a－λb），所以（a＋λb）·

（a－λb）＝（3＋λ）（3－λ）＋（3－λ）（3＋λ）＝0，解得λ＝±

3.

3．（2014·

江西卷）已知单位向量e1与e2的夹角为α，且cosα＝

，向量a＝3e1－2e2与b＝3e1－e2的夹角为β，则cosβ＝________．

4．（2014·

全国卷）若向量a，b满足：

＝1，（a＋b）⊥a，（＋b）⊥b，则|＝（　　）

A．2B.

C．1D.

【答