数学分析中的极限问题应用数学终稿大学论文Word格式文档下载.docx

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2.5利用等价无穷小替换求极限6

2.6利用定积分求极限7

2.7利用泰勒公式求极限8

2.8两边夹法则求极限9

2.9利用单侧极限求极限10

2.10利用中值定理求极限11

小结12

参考文献13

数学分析中的极限问题

学生姓名：

**学号：

*********

数学与计算机科学系数学与应用数学专业

指导教师：

**职称：

**

摘要：

极限是数学分析这门学科的基础，通过极限思想、借助极限工具使数学分析内容更加严谨，贯穿整个数学分析的始末.本文主要是对数学分析中的极限的产生与发展，以及常见极限的若干常规解法进行了讨论和研究.本文的重点在第二章，具体介绍了运用四则运算法则、两个重要极限、两边夹法则、等价无穷小替换等方法求解极限.

关键词：

四则运算法则；

洛比达法则；

泰勒公式；

两边夹法则.

Abstract:

Limitisthebasisofmathematicalanalysisofthesubject,throughtheofthoughwiththetoolsoflimit,makethecontentmorerigorousmathematicalanalysis,throughthemathematicalanalysisofevents.Thisarticleismainlytolimittheemergenceanddevelopmentofmathematicalanalysis,aswellasthecommonlimitofconventionalmethodaredisscussedandstudied.Inthesecondchapther,thefocusofthisarticle,usingthelawsofarthmeticareanalysisedindetail,twoimportantlimits,betweenlawandequivalentinfinitesimalsubstitutionmethodtosolvethelimit.

Keywords:

fourarithmeticoperations;

thederivationrule;

Taylorformula;

bothsidesgriprule.

引言

极限是描述数列和函数在无限过程中的变化趋势的重要概念，是从近似认识精确，从有限认识无限，从量变认识质变的一种数学方法，能够通过旧事物的量的变化规律，去计算新事物的量.因此，极限具有由此达彼的重大创新作用.同时，极限是研究微积分的理论基础和基本手段，它一直贯穿于该学科的始终.极限的思想方法不仅在整个分析学的建立和发展中起着基本作用，而且还广泛应用于其他数学分支和自然科学.同时，考研数学中也少不了有关于极限的题目.

极限的思想方法作为人类发现数学问题并解决数学问题的一种重要手段，随着科学技术的不断发展，社会生产力的不断提高，在数学的发展史上将发挥越来越重要的作用.因此，探讨如何求极限、怎样使求极限变得容易，是一个非常具有现实意义的重要问题.求极限不仅要准确理解极限的概念、性质和极限存在的条件，而且还要清楚认识各种极限的类型，并熟练应用多种求极限的基本方法.众所周之，求极限的方法繁多且变化灵活，不易掌握.本文在总结各种常用的求极限方法的同时，更重要的是，也会提出一些创新的极限求解方法，希望能够开拓思路，起到抛砖引玉的作用.

1.综述

1.1极限的产生与发展

早在两千多年前，我国的惠施就在庄子的《天下篇》中有一句著名的话：

“一尺之棰，日取其半，万世不竭”，惠施提出了无限变小的过程，这是我国古代极限思想的萌芽.

我国三国时期的大数学家刘徽（约225年～295年）的割圆术，通过不断倍增圆内接正多边形的边数来逼近圆周，刘徽计算了圆内接正3072边形的面积和周长，从而推得

.在国外一千多年以后欧洲人安托尼兹才算到同样精确度的小数.

这扇窗口闪烁着我国古代数学家的数学水平和才能的光辉.刘徽的割圆术不仅仅是先导，而且是一面旗帜，为研究复杂的逼近数列打开了先河.

16世纪前后，欧洲资本主义的萌芽和文艺复兴运动促进了生产力和自然科学的发展.17世纪，牛顿和莱布尼兹在总结前人经验的基础上，创立了微积分.随着微积分应用的更加广泛和深入，遇到的数量关系也日益复杂，例如研究天体运行的轨道等问题已超出直观范围.在这种情况下，微积分的薄弱之处也越来越暴露出来，严格的极限定义就显得十分迫切需要.经过近百年的争论，直到19世纪上半叶人们通过对无穷级数的研究和总结，明确的认识了极限的概念.

德国著名数学家维尔斯特拉斯通过静态刻板的定义，描述了无限的过程，刻画了极限，对于数列

如果找到一个实数

，无论预先指定多么小的正数

，都能够在数列中找到一项

，使得这一项后面的所有项与

的差的绝对值都小于

，就把这个实数

叫做数列

的极限.

1.2极限问题的类型

数列极限定义设

为实数数列，

为定数，任意

，总存在正整数

使得当

时，有

，则称数列

收敛于

，定数

称为数列

不等式

刻画了

与

的无限接近程度，

愈小，表示接近得愈好；

而正数

可以任意地小，说明

可以接近到任何程度.然而，尽管

有其任意性，但一经给出正整数

就暂时地被确定下来，以便依靠它来求出

，又

既是任意小的正数，那么

的平方等等同样也是任意小的正数，因此定义中不定式

中的

可用

的平方等来代替.同时，正由于

是任意小正数，我们可限定

小于一个确定的正数.

函数极限定义设函数

在点

的某一去心邻域有定义，如果存在常数

，对于任意给定的正数

，当x满足不等式

时，对应的函数值

都满足不等式

，那么常数A就叫做函数

当

时的极限，记作

.

2.常见的极限求解方法

数列极限的求法可谓是多种多样，通过归纳和总结，本章将介绍几种常见的极限求解方法，这些方法均有各自的特点，因为这些常见的方法是研究极限求解的基础，需要我们去深刻的理解并扎实的掌握.我们罗列出一些常用的求法.

2.1简单求极限的方法

我们知道，在同一趋近过程中，无穷大量的倒数是无穷小量；

有界量乘以无穷小量等于无穷小量；

有限个（相同类型）无穷小量之和、差、积仍为无穷小量，以及利用函数的连续性可以求出某些函数的极限.

例1求极限

解当

时，分母的极限为0，而分子的极限不为0，可以先求出所给函数的倒数的极限

利用无穷小量的倒数是无穷大量，故

例2求极限

解运用极限运算的四则运算法则，有

，

因为

时，

为无穷小量，

为有界量，所以

故

2.2利用两个重要极限公式求极限

我们所熟悉的两个重要极限是

（i）

则

（ii）

其中，第一个重要极限是“

”型；

第二个重要极限是“

”型.

利用重要极限求函数极限时，关键在于把要求的函数极限化成重要极限的标准型或者它们的变形，这就要抓住重要极限公式的特征，并且能够根据它们的特征，辨认它们的变形，有时会利用到归结原则.

例3求极限

解

例4求极限

，当

而由归结原则（取

）有

于是，由数列极限的迫敛性得

2.3利用洛必达法则求极限

定理1若函数

满足

（i）

（ii）在点

的某空心邻域

内两者都可导，且

；

（iii）

（

可为实数，也可为

或

）,则

例5求极限

解利用

得

应用洛必达法则计算待定型极限需要注意的问题

（1）审查计算的极限是不是待定型，如果不是待定型就不能运用洛必达法则，因为它不满足洛必达法则的条件.

（2）除计算“

”或者“

”两种待定型外，计算其它五种待定型

都要用对数或代数运算将它们化为待定型“

”,然后再应用洛比达法则.

（3）在求极限的过程中，有可约的因子或者极限不是零的因子，可以先约去或从极限符号内取出.

（4）要特别注意，一般来说，应用洛必达法则计算待定型极限都比较简单.但是对少数的待定型极限应用洛比达法则，并不简单.

2.4利用极限的四则运算法则求极限

定理2（极限的四则运算法则）若

，

，则

（i）

（ii）

（iii）若

综上所述，函数的和、差、积、商的极限等于函数极限的和、差、积、商.

例6求极限

=

2.5利用等价无穷小替换求极限

以下是当

时常用的等价无穷小关系

等价无穷小代换法设

都是同一极限过程中的无穷小量，且有

存在，则

也存在，且有

例7求极限

解因为

，故

例8求极限

解有等价无穷小关系

2.6利用定积分求极限

由于定积分是积分和的极限，因此，某些和式问题可以化为定积分的计算，使运算得以完成.

例9求极限

可取函数

上述和式恰好是

在

上

等分的积分和，所以

2.7利用泰勒公式求极限

常用泰勒公式展开

例10求极限

解利用泰勒公式，当

时,

，于是

例11求极限

解应用泰勒公式，将函数

展开到

项，有

将它们代入上式，整理，得

2.8两边夹法则求极限

当极限不易求出时，可考虑将所求极限变量，做适当的放大或缩小，是放大或缩小的新变量，易于求极限，且二者的极限值相等，则原极限存在，切等于此公共值.

是对

取整，则

故

例12设

求极限

解当分子

因此，当

所以

2.9利用单侧极限求极限

可以用单侧极限求解的问题类型如下

（1）求含

的函数

趋向无穷的极限，或求含

趋于0的极限;

（2）求含取整函数的函数极限;

（3）分段函数在分段点处的极限;

（4）含偶次方根的函数以及

的函数，

趋向无穷的极限.

这种方法还能使用于求分段函数在分段点处的极限，首先必须考虑分段点的左、右极限，如果左、右极限都存在且相等，则函数在分界点处的极限存在，否则极限不存在.

例13设函数

求

在

解由于

从而

2.10利用中值定理求极限

拉格朗日（Lagrange）中值定理若函数

满足如下条