42 同角三角函数的基本关系与诱导公式Word下载.docx
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D.
解析：
选A 因为sin
＝cosα＝
，α为第四象限的角，所以sinα＝－
，则tanα＝－
.
2．已知sin（2π－α）＝
，α∈
，则
等于（ ）
A.
B．－
C．－7D．7
选A ∵sin（2π－α）＝
，∴－sinα＝
，
即sinα＝－
，又∵α∈
∴cosα＝
∴
3．cos
－sin
的值是（ ）
C．0D.
选A ∵cos
＝cos
sin
＝－sin
＝－
∴cos
＋
4．如果sinα＝
，且α为第二象限角，则sin
＝________.
∵sinα＝
，且α为第二象限角，
∴cosα＝－
∴sin
＝－cosα＝
答案：
5．化简：
原式＝
＝－1.
－1
二、教学目标明确考纲要求
三、自学与探究
（一）自学提示整合教材知识，落实基本能力
1．同角三角函数的基本关系
（1）平方关系：
sin2α＋cos2α＝1.
（2）商数关系：
tanα＝
2．三角函数的诱导公式
组数
一
二
三
四
五
六
角
2kπ＋α（k∈Z）
π＋α
－α
π－α
＋α
正弦
sin_α
－sin_α
cos_α
余弦
－cos_α
正切
tan_α
－tan_α
3．特殊角的三角函数值
角α
0°
30°
45°
60°
90°
120°
150°
180°
角α的弧度数
π
sinα
1
cosα
－
tanα
（二）探究提升精研高考题点，提升备考智能
考点一三角函数的诱导公式
[典例]
（1）若sinα是方程5x2－7x－6＝0的根，则
＝（ ）
B.
C.
（2）求值：
sin（－1200°
）cos1290°
＋cos（－1020°
）·
sin（－1050°
）＝________.
[解析]
（1）方程5x2－7x－6＝0的两根为x1＝－
，x2＝2，则sinα＝－
（2）原式＝－sin1200°
cos1290°
－cos1020°
sin1050°
＝－sin（3×
360°
＋120°
）cos（3×
＋210°
）－cos（2×
＋300°
）sin（2×
＋330°
）
＝－sin120°
cos210°
－cos300°
sin330°
＝－sin（180°
－60°
）cos（180°
＋30°
）－cos（360°
sin（360°
－30°
＝sin60°
cos30°
＋cos60°
sin30°
×
＝1.
[答案]
（1）B
（2）1
[方法指导]
（1）已知角求值问题，关键是利用诱导公式把任意角的三角函数值转化为锐角的三角函数值求解．转化过程中注意口诀“奇变偶不变，符号看象限”的应用．
（2）对给定的式子进行化简或求值时，要注意给定的角之间存在的特定关系，充分利用给定的关系结合诱导公式将角进行转化．特别要注意每一个角所在的象限，防止符号及三角函数名出错．
[变式训练]
1．已知A＝
（k∈Z），则A的值构成的集合是（ ）
A．{1，－1,2，－2} B．{－1,1}
C．{2，－2}D．{1，－1,0,2，－2}
选C 当k为偶数时，A＝
＝2；
k为奇数时，A＝
＝－2.
2．已知tan
，则tan
tan
＝tan
＝－tan
考点二同角三角函数的基本关系
题点一：
利用同角三角函数关系式化简三角函数式
1．（2016·
南京模拟）已知α为第二象限角，则cosα·
＋sinα
原式＝cosα
＝cosα·
＋sinα·
因为α是第二象限角，所以sinα＞0,cosα＜0，
所以cosα·
＋sinα·
＝－1＋1＝0，即原式等于0.
题点二：
已知三角函数的值求三角函数式的值
2．若tanα＝2，则
（1）
＝________；
（2）4sin2α－3sinαcosα－5cos2α＝________.
（2）4sin2α－3sinαcosα－5cos2α
（1）－1
（2）1
题点三：
已知三角函数式的值求三角函数的值
3．已知
，x∈（0，π），则tanx等于（ ）
C．2D．－2
选A 依题知
＝cosx＋sinx＝
又sin2x＋cos2x＝1，x∈（0，π），
解得sinx＝
，cosx＝－
所以tanx＝－
.故选A.
题点四：
sinα±
cosα与sinα·
cosα关系的应用
4．已知x∈（－π，0），sinx＋cosx＝
（1）求sinx－cosx的值；
（2）求
的值．
解：
（1）由sinx＋cosx＝
平方得sin2x＋2sinxcosx＋cos2x＝
整理得2sinxcosx＝－
∴（sinx－cosx）2＝1－2sinxcosx＝
由x∈（－π，0），知sinx<
0，
又sinx＋cosx>
0，∴cosx>
0，sinx－cosx<
故sinx－cosx＝－
（2）
同角三角函数关系式中注意的3个问题
（1）同角并不拘泥于角的形式，如sin2
＋cos2
＝1，
＝tan3x都成立，但是sin2α＋cos2β＝1就不一定成立．
（2）对于含有sinα，cosα的齐次式，可根据同角三角函数商的关系，通过除以某一齐次项，转化为只含有正切的式子，即化弦为切，整体代入．
（3）对于sinα＋cosα，sinα－cosα，sinαcosα这三个式子，知一可求二，转化公式为（sinα±
cosα）2＝1±
2sinαcosα，体现了方程思想的应用．
四、当堂检测
1．（2015·
福建高考）若sinα＝－
，且α为第四象限角，则tanα的值等于（ ）
B．－
D．－
选D 法一：
因为α为第四象限角，
故cosα＝
所以tanα＝
法二：
因为α是第四象限角，且sinα＝－
，所以可在α的终边上取一点P（12，－5），则tanα＝
2．（2013·
广东高考）已知sin
，那么cosα＝（ ）
选C sin
＝sin
3．（2013·
全国大纲卷）已知α是第二象限角，sinα＝
，则cosα＝（ ）
选A 因为α是第二象限角，所以cosα＝－
4．（2014·
大纲全国卷）设a＝sin33°
，b＝cos55°
，c＝tan35°
，则（ ）
A．a>
b>
cB．b>
c>
a
C．c>
aD．c>
a>
b
选C ∵b＝sin35°
，∴b>
a.
∵b－c＝cos55°
<
∴b<
c，∴c>
a，故选C.
5．（2013·
浙江高考）已知α∈R，sinα＋2cosα＝
，则tan2α＝（ ）
B.
选C 法一：
（直接法）两边平方，再同时除以cos2α，得3tan2α－8tanα－3＝0，tanα＝3或tanα＝－
，代入tan2α＝
，得到tan2α＝－
（猜想法）由给出的数据及选项的唯一性，记sinα＝
，cosα＝
，这时sinα＋2cosα＝
符合要求，此时tanα＝3，代入二倍角公式得到答案C.
6．（2012·
辽宁高考）已知sinα－cosα＝
，α∈（0，π），则sin2α＝（ ）
A．－1B．－
D．1
选A 法一：
由sinα－cosα＝
可得
（sinα－cosα）2＝2，即sin2α－2sinαcosα＋cos2α＝2，
则2sinαcosα＝－1，所以sin2α＝－1.
因为sinα－cosα＝
，不妨取α＝
，则sin2α＝sin
7．（2015·
四川高考）已知sinα＋2cosα＝0，则2sinαcosα－cos2α的值是________．
由sinα＋2cosα＝0，得tanα＝－2.
所以2sinαcosα－cos2α＝
五、归纳小结
六、日日清：
A组、专练经典模拟
杭州检测）已知α为第二象限角，且sinα＝
，则tan（π＋α）的值是（ ）
B.
选D 因为α为第二象限角，所以cosα＝－
，所以tan（π＋α）＝tanα＝
2．（2016·
广安模拟）已知sin
，则cos
的值等于（ ）
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