四川理数高考试题文档版含答案文档格式.docx

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（A）9（B）18（C）20（D）35

7.设p：

实数x，y满足（x–1）2–（y–1）2≤2，q：

实数x，y满足

则p是q的

（A）必要不充分条件（B）充分不必要条件（C）充要条件（D）既不充分也不必要条件

8.设O为坐标原点，P是以F为焦点的抛物线

上任意一点，M是线段PF上的点，且

=2

则直线OM的斜率的最大值为

（A）

（B）

（C）

（D）1

9.设直线l1，l2分别是函数f（x）=

图象上点P1，P2处的切线，l1与l2垂直相交于点P，且l1，l2分别与y轴相交于点A，B，则△PAB的面积的取值范围是

（A）（0,1）（B）（0,2）（C）（0,+∞）（D）（1,+∞）

10.在平面内，定点A，B，C，D满足

=

﹒

=-2，动点P，M满足

=1，

=

，则

的最大值是

（D）

二、填空题：

本大题共5小题，每小题5分，共25分。

11.cos2

–sin2

=.

12.同时抛掷两枚质地均匀的硬币，当至少有一枚硬币正面向上时，就说这次试验成功，则在2次试验中成功次数X的均值是.

13.已知三棱镜的四个面都是腰长为2的等腰三角形，该三棱锥的正视图如图所示，则该三棱锥的体积是。

14.已知函数f（x）是定义在R上的周期为2的奇函数，当0＜x＜1时，f（x）=

，则f（

）+f

（1）=。

15．在平面直角坐标系中，当P（x，y）不是原点时，定义P的“伴随点”为

；

当P是原点时，定义P的“伴随点“为它自身，平面曲线C上所有点的“伴随点”所构成的曲线

定义为曲线C的“伴随曲线”.现有下列命题：

若点A的“伴随点”是点

，则点

的“伴随点”是点A

单位圆的“伴随曲线”是它自身；

若曲线C关于x轴对称，则其“伴随曲线”

关于y轴对称；

一条直线的“伴随曲线”是一条直线.

其中的真命题是_____________（写出所有真命题的序列）.

三、解答题：

本大题共6小题，共75分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

16.（本小题满分12分）

我国是世界上严重缺水的国家，某市政府为了鼓励居民节约用水，计划调整居民生活用水收费方案，拟确定一个合理的月用水量标准

（吨）、一位居民的月用水量不超过

的部分按平价收费，超出

的部分按议价收费.为了了解居民用水情况，通过抽样，获得了某年100位居民每人的月均用水量（单位：

吨），将数据按照[0,0.5），[0.5,1），…，[4,4.5）分成9组，制成了如图所示的频率分布直方图.

（I）求直方图中a的值；

（

）设该市有30万居民，估计全市居民中月均用水量不低于3吨的人数，并说明理由；

）若该市政府希望使85%的居民每月的用水量不超过标准

（吨），估计

的值，并说明理由.

17.（本小题满分12分）

在△ABC中，角A,B,C所对的边分别是a,b,c,且

.

（I）证明：

）若

，求

18.（本小题满分12分）

如图，在四棱锥P-ABCD中，AD∥BC，

ADC=

PAB=90°

，BC=CD=

AD.E为边AD的中点，异面直线PA与CD所成的角为90°

（I）在平面PAB内找一点M，使得直线CM∥平面PBE，并说明理由；

（II）若二面角P-CD-A的大小为45°

，求直线PA与平面PCE所成角的正弦值.

19.（本小题满分12分）

已知数列{

}的首项为1，

为数列{

}的前n项和，

，其中q>

0，

（I）若

成等差数列，求an的通项公式；

（ii）设双曲线

的离心率为

，且

，证明：

20.（本小题满分13分）

已知椭圆E：

的两个焦点与短轴的一个端点是直角三角形的3个顶点，直线l:

y=-x+3与椭圆E有且只有一个公共点T.

（I）求椭圆E的方程及点T的坐标；

（II）设O是坐标原点，直线l’平行于OT,与椭圆E交于不同的两点A、B，且与直线l交于点P.证明：

存在常数λ，使得∣PT∣2=λ∣PA∣·

∣PB∣，并求λ的值.

21.（本小题满分14分）

设函数f（x）=ax2-a-lnx，其中a∈R.

（I）讨论f（x）的单调性；

（II）确定a的所有可能取值，使得f（x）＞

-e1-x+在区间（1，+∞）内恒成立（e=2.718…为自然对数的底数）。

数学（理工类）试题参考答案

一、选择题

1．C2．A3．D4．D5．B

6．B7．A8．C9．A10．B

二、填空题

11．

12．

13．

14．–215．②③

三、解答题

16．（本小题满分12分）

（Ⅰ）由频率分布直方图知，月均用水量在[0,0.5）中的频率为0.08×

0.5=0.04，

同理，在[0.5,1），[1.5,2），[2,2.5），[3,3.5），[3.5,4），[4,4.5）中的频率分别为0.08，0.20，0.26，0.06，0.04，0.02．

由0.04+0.08+0.5×

a+0.20+0.26+0.5×

a+0.06+0.04+0.02=1，

解得a=0.30．

（Ⅱ）由（Ⅰ），100位居民每人月均用水量不低于3吨的频率为0.06+0.04+0.02=0.12．

由以上样本的频率分布，可以估计全市30万居民中月均用水量不低于3吨的人数为

300000×

0.12=36000．

（Ⅲ）因为前6组的频率之和为0.04+0.08+0.15+0.20+0.26+0.15=0.88>

0.85，

而前5组的频率之和为0.04+0.08+0.15+0.20+0.26=0.73<

所以2.5≤x<

3．

由0.3×

（x–2.5）=0.85–0.73，

解得x=2.9．

所以，估计月用水量标准为2.9吨时，85%的居民每月的用水量不超过标准．

17．（本小题满分12分）

（Ⅰ）根据正弦定理，可设

=k（k>

0）．

则a=ksinA，b=ksinB，c=ksinC．

代入

+

中，有

，变形可得

sinAsinB=sinAcosB+cosAsinB=sin（A+B）．

在△ABC中，由A+B+C=π，有sin（A+B）=sin（π–C）=sinC，

所以sinAsinB=sinC．

（Ⅱ）由已知，b2+c2–a2=

bc，根据余弦定理，有

cosA=

．

所以sinA=

由（Ⅰ），sinAsinB=sinAcosB+cosAsinB，

所以

sinB=

cosB+

sinB，

故tanB=

=4．

18.（本小题满分12分）

（Ⅰ）在梯形ABCD中，AB与CD不平行.

延长AB，DC，相交于点M（M∈平面PAB），点M即为所求的一个点.理由如下：

由已知，BC∥ED，且BC=ED.

所以四边形BCDE是平行四边形.

从而CM∥EB.

又EB

平面PBE，CM

平面PBE，

所以CM∥平面PBE.

（说明：

延长AP至点N，使得AP=PN，则所找的点可以是直线MN上任意一点）

（Ⅱ）方法一：

由已知，CD⊥PA，CD⊥AD，PA

AD=A，

所以CD⊥平面PAD.

从而CD⊥PD.

PDA是二面角P-CD-A的平面角.

PDA=45°

设BC=1，则在Rt△PAD中，PA=AD=2.

过点A作AH⊥CE，交CE的延长线于点H，连接PH.

易知PA⊥平面ABCD，

从而PA⊥CE.

于是CE⊥平面PAH.

所以平面PCE⊥平面PAH.

过A作AQ⊥PH于Q，则AQ⊥平面PCE.

APH是PA与平面PCE所成的角.

在Rt△AEH中，

AEH=45°

，AE=1，

所以AH=

在Rt△PAH中，PH=

，

所以sin

APH=

方法二：

于是CD⊥PD.

从而

PDA是二面角P-CD-A的平面角.

由PA⊥AB，可得PA⊥平面ABCD.

作Ay⊥AD，以A为原点，以

的方向分别为x轴，z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系A-xyz，则A（0,0,0），P（0,0,2），C（2,1,0），E（1,0,0），

=（1,0,-2），

=（1,1,0），

=（0,0,2）

设平面PCE的法向量为n=（x,y,z），

由

得

设x=2，解得n=（2,-2,1）.

设直线PA与平面PCE所成角为α，则sinα=

.

所以直线PA与平面PCE所成角的正弦值为

（Ⅰ）由已知，

两式相减得到

又由

得到

，故

对所有

都成立.

所以，数列

是首项为1，公比为q的等比数列.

成等比数列，可得

，即

，

由已知,

（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，

所以双曲线

的离心率

解得

因为

，所以

于是

故

）由已知，

，则椭圆E的方程为

有方程组

方程

的判别式为

，由

，得

此方程

的解为

所以椭圆E的方程为

点T坐标为（2,1）.

）由已知可设直线

的方程为

可得

所以P点坐标为（

），

设点A，B的坐标分别为

由方程组

，解得

同理

故存在常数

，使得

（I）

<

在

内单调递减.