北师版数学高考一轮复习 第2章第2节函数的单调性与最值Word下载.docx

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前提

函数y＝f（x）的定义域为D，如果存在实数M满足

条件

（1）对于任意的x∈D，都有f（x）≤M；

（2）存在x0∈D，使得f（x0）＝M

（3）对于任意的x∈D，都有f（x）≥M；

（4）存在x0∈D，使得f（x0）＝M

结论

M为函数y＝f（x）的最大值，记作ymax＝f（x0）

M为函数y＝f（x）的最小值，记作ymin＝f（x0）

[知识拓展]　函数单调性的常用结论

（1）对任意x1，x2∈D（x1≠x2），

＞0⇔f（x）在D上是增函数，

＜0⇔f（x）在D上是减函数，即Δx与Δy同号增，异号减．

（2）在区间D上，两个增函数的和仍是增函数，两个减函数的和仍是减函数．

（3）函数f（g（x））的单调性与函数y＝f（u）和u＝g（x）的单调性的关系是“同增异减”．

（4）函数f（g（x））的单调性与函数y＝f（u）和u＝g（x）的单调性的关系是“同增异减”．

（5）f（x）＝x＋

（a＞0）的单调性，如图221可知，（0，

]减，[

，＋∞）增，[－

，0）减，（－∞，－

]增．

图221

[基本能力自测]

1．（思考辨析）判断下列结论的正误．（正确的打“√”，错误的打“×

”）

（1）对于函数f（x），x∈D，若对任意x1，x2∈D，x1≠x2且（x1－x2）·

[f（x1）－f（x2）]>

0，则函数f（x）在区间D上是增函数．（　　）

（2）函数y＝

的单调递减区间是（－∞，0）∪（0，＋∞）．（　　）

（3）若定义在R上的函数f（x）有f（－1）＜f（3），则函数f（x）在R上为增函数．（　　）

（4）函数y＝f（x）在[1，＋∞）上是增函数，则函数的单调递增区间是[1，＋∞）．（　　）

（5）如果一个函数在定义域内的某几个子区间上都是增函数，则这个函数在定义域上是增函数．（　　）

（6）所有的单调函数都有最值．（　　）

[答案]　

（1）√　

（2）×

　（3）×

　（4）×

　（5）×

　（6）×

2．下列函数中，在区间（0,1）上是增函数的是（　　）

A．y＝|x|　　　　　B．y＝3－x

C．y＝

D．y＝－x2＋4

A　[y＝3－x在R上递减，y＝

在（0，＋∞）上递减，y＝－x2＋4在（0，＋∞）上递减，故选A.]

3．设定义在[－1,7]上的函数y＝f（x）的图像如图222所示，则函数y＝f（x）的增区间为________．

图222

[答案]　[－1,1]，[5,7]

4．函数y＝（2k＋1）x＋b在R上是减函数，则k的取值范围是________．

　[由题意知2k＋1＜0，得k＜－

.]

5．（教材改编）已知f（x）＝

，x∈[2,6]，则f（x）的最大值为________，最小值为________．

2　

　[易知函数f（x）＝

在x∈[2,6]上为减函数，故f（x）max＝f

（2）＝2，f（x）min＝f（6）＝

（对应学生用书第11页）

确定函数的单调性（区间）

（1）（2017·

全国卷Ⅱ）函数f（x）＝ln（x2－2x－8）的单调递增区间是（　　）

A．（－∞，－2）　　　　　B．（－∞，1）

C．（1，＋∞）D．（4，＋∞）

（2）试讨论函数f（x）＝x＋

（k＞0）的单调性．

（1）D　[由x2－2x－8>

0，得x>

4或x<

－2.

设t＝x2－2x－8，则y＝lnt为增函数．

要求函数f（x）的单调递增区间，即求函数t＝x2－2x－8的单调递增区间．

∵函数t＝x2－2x－8的单调递增区间为（4，＋∞），

∴函数f（x）的单调递增区间为（4，＋∞）．

故选D.]

（2）法一：

（导数法）f′（x）＝1－

.

令f′（x）＞0得x2＞k，即x∈（－∞，－

）或x∈（

，＋∞），故函数的单调增区间为（－∞，－

）和（

，＋∞）．

令f′（x）＜0得x2＜k，即x∈（－

，0）或x∈（0，

），故函数的单调减区间为（－

，0）和（0，

）．

故函数f（x）在（－∞，－

，＋∞）上单调递增，在（－

）上单调递减．

法二：

（定义法）由解析式可知，函数的定义域是（－∞，0）∪（0，＋∞）．在（0，＋∞）内任取x1，x2，令0＜x1＜x2，那么f（x2）－f（x1）＝

－

＝（x2－x1）＋k

＝（x2－x1）·

因为0＜x1＜x2，所以x2－x1＞0，x1x2＞0.

故当x1，x2∈（

，＋∞）时，f（x1）＜f（x2），

即函数在（

，＋∞）上单调递增．

当x1，x2∈（0，

）时，f（x1）＞f（x2），

即函数在（0，

考虑到函数f（x）＝x＋

（k＞0）是奇函数，在关于原点对称的区间上具有相同的单调性，故在（－∞，－

）上单调递增，在（－

，0）上单调递减．

综上，函数f（x）在（－∞，－

[规律方法]　1.对于选择题，填空题可用下面四种方法判断函数单调性

（1）定义法：

取值、作差、变形（因式分解、配方、有理化、通分）、定号、下结论.

（2）复合法：

同增异减，即内外函数的单调性相同时为增函数，不同时为减函数.

（3）图像法：

如果f（x）是以图像形式给出的，或者f（x）的图像易作出，可由图像的直观性判断函数单调性.

（4）导数法：

利用导函数的正负判断函数单调性.

2.证明函数的单调性有定义法、导数法.但在高考中，见到有解析式，尽量用导数法.

易错警示：

（1）求函数的单调区间，应先求定义域，在定义域内求单调区间.

（2）如有多个单调增（减）区间应分别写，不能用“∪”联结.

[跟踪训练]　

（1）下列函数中，在区间（－1,1）上为减函数的是（　　）

A．y＝

B．y＝cosx

C．y＝ln（x＋1）

D．y＝2－x

（2）y＝－x2＋2|x|＋3的单调递增区间为________.

【导学号：

79140025】

（1）D　

（2）（－∞，－1]，[0,1]　[

（1）选项A中，y＝

在（－∞，1）和（1，＋∞）上为增函数，故y＝

在（－1,1）上为增函数；

选项B中，y＝cosx在（－1,1）上先增后减；

选项C中，y＝ln（x＋1）在（－1，＋∞）上为增函数，故y＝ln（x＋1）在（－1,1）上为增函数；

选项D中，y＝2－x＝

在R上为减函数，故y＝2－x在（－1,1）上是减函数．

（2）由题意知，当x≥0时，y＝－x2＋2x＋3＝－（x－1）2＋4；

当x＜0时，y＝－x2－2x＋3＝－（x＋1）2＋4，二次函数的图像如图．

由图像可知，函数y＝－x2＋2|x|＋3在（－∞，－1]，[0,1]上是增函数．]

求函数的最值

（1）函数y＝x＋

的最小值为________；

（2）函数f（x）＝

（x≥2）的最大值为________．

（1）1　

（2）2　[

（1）令

＝t，则t≥0，x＝t2＋1，

∴y＝t2＋t＋1＝

＋

，

由二次函数的性质可知，当t≥0时，函数为增函数，∴当t＝0时，ymin＝1.

∵f′（x）＝－

∴x≥2时，f′（x）＜0恒成立，

∴f（x）在[2，＋∞）上单调递减，

∴f（x）在[2，＋∞）上的最大值为f

（2）＝2.

∵f（x）＝

＝

＝1＋

∴f（x）的图像是将y＝

的图像向右平移1个单位，再向上平移1个单位得到的．∵y＝

在[1，＋∞）上单调递减，∴f（x）在[2，＋∞）上单调递减，故f（x）在[2，＋∞）上的最大值为f

（2）＝2.

法三：

由题意可得f（x）＝1＋

∵x≥2，∴x－1≥1，∴0＜

≤1，

∴1＜1＋

≤2，即1＜

≤2.

故f（x）在[2，＋∞）上的最大值为2.]

[规律方法]　求函数最值的常用方法

（1）单调性法：

先确定函数的单调性，再由单调性求最值.

（2）图像法：

先作出函数的图像，再观察其最高点、最低点，求出最值.

（3）换元法：

对比较复杂的函数可通过换元转化为熟悉的函数，再用相应的方法求最值.

[跟踪训练]　

（1）函数f（x）＝

的最大值是________.

79140026】

（2）（2017·

浙江高考）若函数f（x）＝x2＋ax＋b在区间[0,1]上的最大值是M，最小值是m，则M－m（　　）

A．与a有关，且与b有关

B．与a有关，但与b无关

C．与a无关，且与b无关

D．与a无关，但与b有关

（1）2　

（2）B　[

（1）当x≥1时，函数f（x）＝

为减函数，所以f（x）在x＝1处取得最大值，为f

（1）＝1；

当x＜1时，易知函数f（x）＝－x2＋2在x＝0处取得最大值，为f（0）＝2.故函数f（x）的最大值为2.

设x1，x2分别是函数f（x）在[0,1]上的最小值点与最大值点，则m＝x

＋ax1＋b，M＝x

＋ax2＋b.

∴M－m＝x

－x

＋a（x2－x1），显然此值与a有关，与b无关．

故选B.

由题意可知，函数f（x）的二次项系数为固定值，则二次函数图像的形状一定．随着b的变动，相当于图像上下移动，若b增大k个单位，则最大值与最小值分别变为M＋k，m＋k，而（M＋k）－（m＋k）＝M－m，故与b无关．随着a的变动，相当于图像左右移动，故函数f（x）在区间[0,1]的最大值M和最小值m变化，则M－m的值在变化，故与a有关．

故选B.]

函数单调性的应用

◎角度1　比较大小

　已知函数f（x）的图像向左平移1个单位后关于y轴对称，当x2＞x1＞1时，[f（x2）－f（x1）]（x2－x1）＜0恒成立，设a＝f

，b＝f

（2），c＝f（3），则a，b，c的大小关系为（　　）

A．c＞a＞bB．c＞b＞a

C．a＞c＞bD．b＞a＞c

D　[根据已知可得函数f（x）的图像关于直线x＝1对称，且在（1，＋∞）上是减函数．所以a＝f

＝f

，f

（2）＞f（2.5）＞f（3），所以b＞a＞c.]

◎角度2　解抽象不等式

　f（x）是定义在（0，＋∞）上的单调增函数，满足f（xy）＝f（x）＋f（y），f（3）＝1，则不等式f（x）＋f（x－8）≤2的解集为________．

（8,9]　[因为2＝1＋1＝f（3）＋f（3）＝f（9），由f（x）＋f（x－8）≤2可得f[x（x－8）]≤f（9），f（x）是定义在（0，＋∞）上的增函数，所以有

解得8<

x≤9.]

◎角度3　求参数的取值范围

　已知函数f（x）＝

若f（x）在（－∞，＋∞）上单调递增，则实数a的取值范围为________．

（2,3]　[要使函数f（x）在R上单调递