《圆周运动》导学.docx

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《圆周运动》导学

圆周运动的性质

变加速曲线运动

（a的方向一定变）

圆周运动的描述

线速度（v）:

角速度（ω）:

周期（T）:

频率（f）:

转速（n）:

⑴

⑵转速：

每秒转速就是频率

⑶由

得，角速度一定，线速度与半径r成正比

由

得，线速度一定，角速度与半径r成反比

圆周运动力学特征

匀速圆周运动

合力一定只向圆心（因为v大小不变，说明切向加速度为0）

变速圆周运动

⑴合力一般偏离圆心（因为切向加速度和法向加速度均不为0）

⑵切向加速度改变速度大小，法向加速度改变速度方向

⑶在竖直圆周运动中，只有两个特殊位置合力指向圆心

（最高点与最低点）

向心力

向心力是“效果力”，是由物体的合力提供的。

受力分析是不要重复计算。

离心运动

做圆周运动的物体受合外力突然消失或不足以提供圆周运动所需向心力情况下，就做远离圆心的运动，这种运动叫离心运动。

时，物体做匀速圆周运动；

时，物体做离心运动

时，物体做近心运动

物理导学：

《圆周运动》专题复习

类型题一：

各量的关系转化

小经验

同轴传动，角速度相同

皮带或齿轮传动，线速度相同

【例1】做匀速圆周运动的物体，下列物理量中不变的是（　　）

A．速度B．速率C．角速度D．加速度

【例2】关于匀速圆周运动，下列说法正确的是（）

A．匀速圆周运动是匀速运动

B．匀速圆周运动是匀变速曲线运动

C．物体做匀速圆周运动是变加速曲线运动

D．做匀速圆周运动的物体必处于平衡状态

【例3】关于向心力的说法正确的是（）

A．物体由于作圆周运动而产生一个向心力

B．向心力不改变做匀速圆周运动物体的速度大小

C．做匀速圆周运动物体的向心力即为其所受合外力

D．做匀速圆周运动的物体的向心力是个恒力

【例4】小物体A与水平圆盘保持相对静止，跟着圆盘一起作匀速圆周运动，则A的受力情况是（）

A．重力、支持力

B．重力、支持力和指向圆心的摩擦力

C．重力、向心力

D．重力、支持力、向心力、摩擦力

【例5】如图6.7－3所示，是A、B两物体做匀速圆周运动时的向心加速度随半径变化的关系图像，A是以坐标轴为渐近线的双曲线，B是一条过原点的倾斜直线，则从图像可以看出（）

A．A物体运动时线速度的大小保持不变

B．A物体运动时角速度的大小保持不变

C．B物体运动时角速度的大小保持不变

D．B物体运动时线速度的大小保持不变

【例6】：

某电钟上秒针、分针、时针的长度比为d1：

d2：

d3＝1：

2：

3，求

A：

秒针、分针、时针尖端的线速度之比：

B：

秒针、分针、时针转动的角速度之比：

【例7】：

甲、乙、丙三个轮子是由大小两个轮轴组成的，大小轮半径之比为R：

r＝3：

2，用皮带逐一连起来，当甲轮外缘线速度为Vo，角速度为

时，丙轮外缘线速度多大？

角速度多大？

【变式训练】变速箱中有甲、乙、丙三个齿轮，如图6.7－4所示，其半径分别为r1、r2、r3，若甲轮的角速度为ω，则丙轮边缘上某点的向心加速度为

A．

　B．

C．

D．

【例8】曾经流行过一种向自行车车头灯供电的小型交流发电机，图1为其结构示意图。

图中N、S是一对固定的磁极，abcd为固定在转轴上的矩形线框，转轴过bc边中点、与ab边平行，它的一端有一半径r0＝1.0cm的摩擦小轮，小轮与自行车车轮的边缘相接触，如图2所示。

当车轮转动时，因摩擦而带动小轮转动，从而使线框在磁极间转动。

设线框由N＝800匝导线圈组成，每匝线圈的面积S＝20cm2，磁极间的磁场可视作匀强磁场，磁感强度B＝0.010T，自行车车轮的半径R1＝35cm，小齿轮的半径R2＝4.cm，大齿轮的半径R3＝10.0cm（见图2）。

现从静止开始使大齿轮加速转动，问大齿轮的角速度为多大才能使发电机输出电压的有效值U＝3.2V？

（假定摩擦小轮与自行车轮之间无相对滑动）

解：

类型题二转盘问题

【例1】如图所示，在绕竖直轴匀速转动的水平圆盘盘面上，离轴心r=20cm处放置一小物块A，其质量为m＝2kg，A与盘面间相互作用的静摩擦力的最大值为其重力的k倍（k＝0.5），试求

⑴当圆盘转动的角速度ω＝2rad/s时，物块与圆盘间的摩擦力大小多大？

方向如何？

⑵欲使A与盘面间不发生相对滑动，则圆盘转动的最大角速度多大？

（取g=10m/s2）

【例2】如图所示，A、B、C三个物体放在旋转的水平圆台上，它们与圆台间的动摩擦因数均相机，已知A的质量为2m，B、C的质量都为m，A、B离轴距离为R，C离轴距离为2R，当圆台转动时，三物体均没有打滑（设最大静摩擦力等于滑动摩擦力），则（）

A）这时C的向心加速度最大

B）这时B物体受摩擦力最小

C）若逐步增大圆台的转速，C比B先滑动

D）若逐步增大圆台的转速，B比A先滑动

类型题三转筒问题

【例】如图所示，在匀速转动的圆筒内壁上，有一物体随圆筒一起转动而未滑动。

当圆筒的角速度增大以后，下列说法正确的是（）

A、物体所受弹力增大，摩擦力也增大了

B、物体所受弹力增大，摩擦力减小了

C、物体所受弹力和摩擦力都减小了

D、物体所受弹力增大，摩擦力不变

类型题四漏斗问题

【例1】如图6.8－11所示，沿半球形碗的光滑内表面，一质量为m的小球正以角速度ω在水平面内做匀速圆周运动．若碗的半径为R，则该球做匀速圆周运动的水平面离碗底的距离是多少？

【例2】如图为表演杂技“飞车走壁”的示意图.演员骑摩托车在一个圆桶形结构的内壁上飞驰,做匀速圆周运动.图中a、b两个虚线圆表示同一位演员骑同一辆摩托,在离地面不同高度处进行表演的运动轨迹.不考虑车轮受到的侧向摩擦,下列说法中正确的是（）

A．在a轨道上运动时角速度较大

B．在a轨道上运动时线速度较大

C．在a轨道上运动时摩托车对侧壁的压力较大

D．在a轨道上运动时摩托车和运动员所受的向心力较大

类型题五绳连体问题

【例1】如图所示，用细绳一端系着的质量为M=0.6kg的物体A静止在水平转盘上，细绳另一端通过转盘中心的光滑小孔O吊着质量为m=0.3kg的小球B，A的重心到O点的距离为0.2m．若A与转盘间的最大静摩擦力为f=2N，为使小球B保持静止，求转盘绕中心O旋转的角速度ω的取值范围．（取g=10m/s2）

解：

【例2】如图所示，质量相等的小球A、B分别固定在轻杆OB的中点及端点，当杆在光滑水平面上绕O点匀速转动时，求杆的OA段及AB段对球的拉力之比？

解析：

【例3】如图所示，水平转台上放有质量均为m的两小物块A、B，A离转轴距离为L，A、B间用长为L的细线相连，开始时A、B与轴心在同一直线上，线被拉直，A、B与水平转台间最大静摩擦力均为重力的μ倍，当转台的角速度达到多大时线上出现张力？

当转台的角速度达到多大时A物块开始滑动？

类型题六圆锥摆问题

【例1】长为L的细线，拴一质量为m的小球，一端固定于O点，让其在水平面内做匀速圆周运动（这种运动通常称为圆锥摆运动），如图所示，当摆线L与竖直方向的夹角是α时，求：

⑴线的拉力F；

⑵小球运动的线速度的大小；

⑶小球运动的角速度及周期。

【例2】如图所示，质量为m=0.1kg的小球和A、B两根细绳相连，两绳固定在细杆的A、B两点，其中A绳长LA=2m，当两绳都拉直时，A、B两绳和细杆的夹角θ1=30°，θ2=45°，g=10m/s2．求：

⑴当细杆转动的角速度ω在什么范围内，A、B两绳始终张紧？

⑵当ω=3rad/s时，A、B两绳的拉力分别为多大？

解析：

（1）

【例3】如图所示，在光滑的圆锥顶端，用长为L=2m的细绳悬一质量为m=1kg的小球，圆锥顶角为2θ=74°。

求：

（1）当小球ω=1rad/s的角速度随圆锥体做匀速圆周运动时，细绳上的拉力。

（2）当小球以ω=5rad/s的角速度随圆锥体做匀速圆周运动时，细绳上的拉力。

类型题七緾绕问题

【例】如图6.8－5所示，在光滑的水平桌面上钉有两枚铁钉A、B，两者相距l0＝0.1m，长l＝1m的轻质柔软细线一端拴在A上，另一端拴住一个质量为500g的小球，小球的初始位置在AB连线上钉子A的一侧，把细线拉直，再给小球垂直细线方向的2m/s的水平速度，使它做匀速圆周运动，由于钉子B的存在，使细线逐步缠在钉子A、B上，若细线能承受的最大拉力为Fm＝7N，则从开始运动到细线断裂历时多长时间？

解析：

类型题八圆周运动多解问题

【例1】如图所示，某圆筒绕中心轴线沿顺时针方向做匀速圆周运动，筒壁上有两个位于同一圆平面内的小孔A、B，A、B与轴的垂直连线之间的夹角为θ，一质点（质量不计）在某时刻沿A孔所在直径方向匀速射入圆筒，恰从B孔穿出，若质点匀速运动的速度为v，圆筒半径为R．则，圆筒转动的角速度为____________。

解析：

【例2】如图为测定子弹速度的装置，两个薄圆盘分别装在一个迅速转动的轴上，两盘平行．若圆盘以转速3600r／min旋转，子弹以垂直圆盘方向射来，先打穿第一个圆盘，再打穿第二个圆盘，测得两盘相距1m，两盘上被子弹穿过的半径夹角15°，则子弹的速度的大小为_____________。

【例3】如图所示，半径为R的圆板做匀速运动，当半径OB转到某一方向时，在圆板中心正上方h处以平行于OB方向水平抛出一球，小球抛出时的速度及圆盘转动的角速度为多少时，小球与圆盘只碰撞一次，且落点为B。

解析：

类型题九汽车转弯问题

【例1】B在一段半径为R的圆弧形水平弯道上，已知地面对汽车轮胎的最大摩擦力等于车重的μ倍（μ<1）则汽车拐弯时的安全速度是（）

A.

B.

C.

D.

【例2】在高速公路的拐弯处，路面造得外高内低，路面与水平面间的夹角为

，设拐弯处路段的半径为R的圆弧，要使车速为v时车轮与路面之间的横向摩擦力为0，则

应等于多少？

『分析』

【变式】某高速公路转弯处，弯道半径R=1OOm，汽车轮胎与路面问的动摩擦因数为μ=0.23，路面要向圆心处倾斜，汽车若以v=15m／s的设计速度行驶时．在弯道上没有左右滑动趋势，则路面的设计倾角θ应为多大?

（g=10m／s2）

答案：

【例3】铁路在弯道处的内轨道高低是不同的，已知内外轨道对水平面倾角为θ（如图—16），弯道处的圆弧半径为R，若质量为m的火车转弯的时速度小于

，则（）

（A）内轨对内侧车轮轮缘有挤压

（B）外轨对外侧车轮轮缘有挤压

（C）这时铁轨对火车的支持力等于

（D）这时铁轨对火车的支持力大于

【例4】.汽车以速度v行驶，驾驶员突然发现前方有一条横沟，为了避免事故，驾驶员应该刹车好还是转弯好？

解析：

【例5】已知质量为m的飞机，以速率v沿半径为r的水平轨道转弯，如图，求机翼的倾角θ和飞机的升力F的大小。

类型题十汽车过桥的问题

【例1】一辆汽车自重为1.5t，桥的半径为50m

①当它通过图1中的拱桥的顶部时，为行车安全，求车的最大速度？

②当它通过图2中的凹桥的底部时，对桥的压力是自重的两倍，求此时的车速多大？

『解』

（1）

【例2】有一辆质量是1.5×104kg的汽车以不变的速率先后驶过凹形路面和凸形路面，路面圆弧半径为15m，问：

⑴定性分析，汽车是凹形路面处容易曝胎，还是在凸形路面容易曝胎

⑵如果路面的最大压力不超过

N，汽车允许的最大速度是多少？

【例3】两个半径不同，内壁光滑的半圆轨道固定在地面上，一个小球先后从与球心在同一水平高度上的A、B两点由静止开始自由滑下，通过轨道最低点（）

A）小球对两轨道压力相同

B）小球对两轨道压力不同

C）小球的向心加速度相同

D）小球的速度相同

【变式】两个质量相同的小球A、B，分别用细线悬挂在等高的、

、

点，A球的悬线比B球的长，如图8—52所示，把两球均拉到与悬线水平后由静止释放，以悬点所在平面为参考平面，到两球经最低点时的（）

A球的速度等于B球的速度

B．A球的动能等于B球的动能

C．A球的机械能等于B球的机械能

D．A球对绳的拉力等于B球对绳的拉力

类型题十一竖直面上圆周运动

【例1】一小球用轻绳悬挂于某固定点。

现将轻绳水平拉直，然后由静止开始释放小球。

考虑小球由静止开始运动到最低位置的过程（）

（A）小球在水平方向的速度逐渐增大

（B）小球在竖直方向的速度逐渐增大

（C）到达最低位置时小球线速度最大

（D）到达最低位置时绳中的拉力等于小球的重力

【例2】如图，细杆的一端与一小球相连，可绕过O点的水平轴自由转动现给小球一初速度，使它做圆周运动，图中a、b分别表示小球轨道的最低点和最高点，则杆对球的作用力可能是（）

A．a处为拉力，b处为拉力

B．a处为拉力，b处为推力

C．a处为推力，b处为拉力

D．a处为推力，b处为推力

【例3】如图所示，半径为R，内径很小的光滑半圆管竖直放置，两个质量均为m的小球A、B以不同速率进入管内，A通过最高点C时，对管壁上部的压力为3mg，B通过最高点C时，对管壁下部的压力为0.75mg．求A、B两球落地点间的距离．

解析：

【例4】小球A用不可伸长的细绳悬于O点，在O点的正下方有一固定的钉子B，OB=d，初始时小球A与O同水平面无初速度释放，绳长为L，为使小球能绕B点做完整的圆周运动，如图所示。

试求d的取值范围。

解析：

【例5】[06全国卷II.23]如图所示，一固定在竖直平面内的光滑半圆形轨道ABC，其半径R＝0.5m，轨道在C处与水平地面相切。

在C放一小物块，给它一水平向左的初速度v0＝5m/s，结果它沿CBA运动，通过A点，最后落在水平地面上的D点，求C、D间的距离s。

取重力加速度g=10m/s2。

解：

【例6】AB是竖直平面内的四分之一圆弧轨道，在下端B与水平直轨相切，如图所示。

一小球自A点起由静止开始沿轨道下滑。

已知圆轨道半径为R，小球的质量为m，不计各处摩擦。

求

⑴小球运动到B点时的动能；

⑵小球下滑到距水平轨道的高度为R/2时速度的大小和方向；

⑶小球经过圆弧轨道的B点和水平轨道的C点时，所受轨道支持力NB、NC各是多大？

【例7】如图所示，半径R=0.40m的光滑半圆环轨道处于竖直平面内，半圆环与粗糙的水平地面相切于圆环的端点A。

一质量m=0.10kg的小球，以初速度v0=7.0m/s在水平地面上向左作加速度a=3.0m/s2的匀减速直线运动，运动4.0m后，冲上竖直半圆环，最后小球落在C点。

求A、C间的距离（取重力加速度g=10m/s2）。

【例8】游乐场的过山车的运动过程可以抽象为图所示模型。

弧形轨道下端与圆轨道相接，使小球从弧形轨道上端A点静止滑下，进入圆轨道后沿圆轨道运动，最后离开。

试分析A点离地面的高度h至少要多大，小球才可以顺利通过圆轨道最高点（已知圆轨道的半径为R，不考虑摩擦等阻力）。

【例9】如图所示，位于竖直平面上的1/4圆弧光滑轨道，半径为R，OB沿竖直方向，上端A距地面高度为H，质量为m的小球从A点由静止释放，最后落在水平地面上C点处，不计空气阻力，求：

（1）小球运动到轨道上的B点时，对轨道的压力多大?

（2）小球落地点C与B点水平距离s是多少?

解：

【例10】一内壁光滑的环形细圆管，位于竖直平面内，环的半径为R（比细管的半径大得多）．在圆管中有两个直径与细管内径相同的小球（可视为质点）．A球的质量为m1，B球的质量为m2．它们沿环形圆管顺时针运动，经过最低点时的速度都为v0．设A球运动到最低点时，B球恰好运动到最高点，若要此时两球作用于圆管的合力为零，那么m1、m2、R与v0应满足的关系式是______．

解：

【例11】如图所示，游乐列车由许多节车厢组成。

列车全长为L，圆形轨道半径为R，（R远大于一节车厢的高度h和长度l，但L>2πR）。

已知列车的车轮是卡在导轨上的光滑槽中只能使列车沿着圆周运动而不能脱轨。

试问：

列车在水平轨道上应具有多大初速度V0，才能使列车通过圆形轨道？

解析：

【例12】如图所示，位于竖直平面内的光滑轨道，由一段斜的直轨道和与之相切的圆形轨道连接而成，圆形轨道的半径为R。

一质量为m的小物块从斜轨道上某处由静止开始下滑，然后沿圆形轨道运动。

要求物块能通过圆形最高点，且在该最高点与轨道间的压力不能超过5mg（g为重力加速度）。

求物块初始位置相对于圆形轨道底部的高度h的取值范围。

【例13】如图所示，质量为m的小球由光滑斜轨道自由下滑后，接着又在一个与斜轨道相连的竖直的光滑圆环内侧运动，阻力不计，求：

⑴小球至少应从多高的地方滑下，才能达到圆环顶端而不离开圆环

⑵小球上述的最小高度到达圆环底端时，作用于环底的压力

解析：

⑴