全国名校小学数学结题报告小学数学建模教学的实践与研究.docx
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全国名校小学数学结题报告小学数学建模教学的实践与研究
《小学数学建模教学的实践与研究》结题报告
一、研究的背景及意义
（一）从数学自身发展看数学建模的重要性
“数学是人们对客观世界定性把握和定量刻画、逐渐抽象概括、形成方法和理论，并进行广泛应用的过程。
”现实世界是数学的丰富源泉，也是数学应用的归宿。
任何数学概念都可以在现实中找到它的原型，同样要解决实际问题就必需建立数学模型，从此意义上讲，数学建模和数学一样，有着古老的历史。
例如，欧几里德几何就是一个古老的数学模型。
今天，数学以空前的广度和深度向其它科学技术领域渗透，过去很少应用数学的领域现在迅速走向定量化、数量化，需建立大量的数学模型。
正如新课标中描述的“数学作为一种普遍适用的技术，有助于人们收集、整理、描述信息，建立数学模型，进而解决问题，直接为社会创造价值”。
可以说数学即模型，有数学应用的地方就有数学建模。
（二）从数学课程改革发展看数学建模教学
数学教育改革是当今世界关注的热门话题。
目前国际数学界普遍赞同，通过开展数学建模活动和在数学教学中推广使用现代化技术来推动数学教育改革。
大学生的数学建模科技活动在全世界造成了巨大的影响，对数学教育起了很好的推动作用。
随着我国基础教育课程改革的深入，数学建模活动已扩展到义务教育阶段，数学建模已成为小学数学学习的目标。
《数学课程标准》（2011年版）在课程设计思路中提出：
“在呈现作为知识与技能的数学结果的同时，重视学生已有的经验，使学生体验从实际背景中抽象出数学问题、构建数学模型、寻求结果、解决问题的过程。
”国内外的专家、学者也都认为应该让中、小学生对数学和数学的作用作全面了解，让更多的学生了解和运用数学的思想和方法解决实际问题，“还数学的本来面貌”，使“数学能力成为人们取胜的法宝”（姜伯驹）。
（三）从学生学习和发展角度看数学建模活动
学生不仅要学习数学知识，更要学习数学思想和方法。
而数学建模是一种基本的数学思想，是解决数学问题的有效形式。
学生亲自经历模型建立的“再创造”过程，有利于学生的多种感官参与，获得丰富的感性认识，形成清晰表象，符合小学生的直观思维特征；能够引发学生对数学学习的兴趣，克服对数学的畏惧心理，提高数学学习的效率，并有助于培养学生初步学会运用数学的思维方式去观察和分析现实社会，解答日常生活中的问题，进而形成勇于探索、勇于创新的科学精神。
正如刘应明院士所说的“如果学生能够自己动手用数学知识去解决几个问题，哪怕是很简单的问题，那么，数学在他们心目中的价值以及他们对数学的兴趣就会显著上升。
而且这样做对于培养他们的创新意识等等，也都是十分有益的”。
基于上述认识，我确立“小学数学建模教学的实践与研究”这一课题，试图在小学数学教学中加强数学建模思想方法的实践和应用，培养小学生的建模意识和能力，提高学生的数学素养。
二、研究分析
（一）概念界定
1.数学模型（MathematicModel）：
为了一定的目的对现实原型作抽象、简化后，采用形式化的数学符号和语言所表述出来的数学结构。
它是数学符号、数学式子以及数量关系对现实原型简化的本质的描述。
2.数学建模（MathematicalModelling）：
把现实世界中的实际问题加以提炼，抽象为数学模型，求出模型的解，验证模型的合理性，并用该数学模型所提供的解答来解释现实问题。
数学知识的这一运用过程也就是数学建模。
3.小学数学建模:
主要是指小学数学学习中，用“模型思想”来指导着数学教学，不断让学生经历从具体事例或现实原型出发逐步抽象、概括建立起某种模型并进行解释和运用，从而加深对数学的理解和感受，提升数学学习能力。
（二）同类课题研究综述
大学里有专门的数学建模课程，成果也比较多，可以说不胜枚举。
但主要是研究数学应用方面。
浙江师范大学还专门成立了数学建模研究会，开辟数学建模的官方网站。
里面有国内外有关数学建模研究的最新资料与信息。
从大学到中学数学建模活动现在正在引发着数学教学的改革，以数学建模为基础的数学实验课程正在全国兴起，在国际范围内要求学生对数学建模理解与应用逐渐得到了提升，现在在中学里有关数学建模的研究也是方兴未艾，研究所涉及的范围也比较广。
在小学里，研究小学数学建模往往从认识和理论的角度论述，如杭州市教研室平国强老师的《小学数学建模的意义和方法》，着重从建模的理论和数学方法上来表述，理论上与我们一线教师相距甚远，方法上与数学的方法比较雷同，同时还缺少实际教学案例对我们一线教师的指导。
我认为，小学数学建模的发展趋势，应该更加关注“问题情境——建立模型——寻找结论——应用与推广”这样一个过程，逐步加强数学建模思想方法的意识和能力的培养，大力挖掘数学建模在小学数学中的作用和价值，形成比较有效的小学数学建模方法和策略理论。
三、理论依据
（一）辩证唯物主义认识论
实践的观点是辩证唯物主义认识论的基本观点。
一个正确的认识，往往需要经过由实践到认识，再由认识回到实践的多次反复才能完成。
“理论的基础是实践，又转过来为实践服务”。
数学产生于人们的生活和生产的实际活动中，它所形成的理论应当经得起生活和生产实际的检验。
学生学习数学知识的过程是一个认识过程，也应遵循“实践——认识——再实践”的原则。
数学建模的实质体现了认识的辩证过程的两次飞跃。
第一次飞跃是从实际应用问题中产生感性认识，然后运用数学知识能动地发展到理性认识，建立起数学模型；第二次飞跃是把所得的数学结果，经过科学验证后再来指导实践，这正是从理论认识到实践的过程。
数学建模促使学生由感性认识的直接性和具体性逐步向理性认识的间接性和抽象性转化，从而更深刻更普遍地揭示客观事物的本质。
（二）数学建模理论
按照徐利治先生在《数学方法论选讲》一书中的提法，可以对数学模型作这样的解释：
所谓数学模型，是指针对或参照某种事物的特征或数量相依关系，采用形式化的数学语言，概括地或近似地表述出来的一种数学结构。
即凡一切数学概念、数学理论体系、各种数学公式、各种方程以及由公式系列构成的算法系统等等都可称之为数学模型。
数学建模是对科学技术领域、经济管理、生产实际等现实生活中所遇到的实际问题，利用数学的思想、方法、知识解决的过程，主要程序如下所示：
从中可以看出，数学建模的关键是将实际问题数学化，数学化不仅需要学生有较深厚的基础知识，还要有丰富的想象力和联想力。
数学建模的过程，就是一个不断探究、不断创新的过程，也是一个广泛开展社会调查，接触社会、接触实际的过程，即实践能力培养的过程。
因此，数学建模是培养学生创新精神和实践能力的一种最有效的途径。
这里的“实际问题”已不单纯是数学问题，它涉及到其他学科的知识和生活知识，这就促使学生围绕实际问题查阅资料、收集信息、整理加工、获取新知识，从而既拓宽学生的知识面，又培养能力。
在建模过程中，为了既合乎实际问题又能求解，这就要求在诸多因素中抓住主要因素进行抽象化简，而这一过程恰好又是学生的分析、抽象、综合、表达能力的体现。
（三）建构主义的理论
建构主义学说认为，小学数学学习是一个主动建构知识的过程。
对学生来说，获得数学知识需要每个人类似的再创造过程。
学生学习数学的过程不是学生被动地吸收课本上的现成结论，而是一个学生亲自参与的充满丰富、生动的思维活动，经历一个实践和创新的过程。
具体地说：
学生从“现实数学”出发，在教师的帮助下自己动手、动脑做数学，用观察、模仿、实验、猜想等手段收集材料、获得体验，并作类比、分析、归纳，渐渐形成自己的数学知识。
这也就是一个数学模型的建构过程。
四、研究设计
（一）研究目标
1.探索小学数学建模教学的方法与途径，形成概念教学、规则教学、问题解决教学中数学建模的策略与方法。
2.形成比较典型的数学建模课堂教学案例。
3.汇编典型的数学模型。
（二）研究内容
1.概念教学中数学建模的策略与方法。
2.规则教学中数学建模的策略与方法。
3.问题解决教学中数学建模的策略与方法。
（三）研究对象
本校一至六年级各一个班级的学生。
（四）研究方法
1.文献研究法：
收集国内外小学数学建模方面的研究理论与实践探索方面的资料，进行分类、整理，并认真学习，指导本课题的研究。
2.调查分析法：
对我校及周边友好学校尽可能多地开展调查摸底，了解学生学习数学的兴趣，通常课堂的学习活动方式和特点，分析学生学习数学的方法及数学建模在学生方法上的体现，形成研究点——如何体现建模教学。
3.行动研究法：
制定研究实施方案，观察和分析学生数学学习方法和建模运用的情况，及时调整和修正研究方案，让教师有效地指导学生的活动，使教师和学生在数学建模中共同学习和成长。
这也是本课题拟解决的关键问题：
开发适合教师和学生口味的数学建模教学序列活动的内容，教师在学生的建模中进行有效的指导与评价。
（五）研究步骤
第一阶段：
课题论证与调整阶段（2010.9—2010.12）
1.收集资料，文献研究。
2.开题论证，完善研究计划。
第二阶段：
实施阶段（2011.1—2011.11）
1.汇编常见的典型的数学模型，得出小学数学模型的基本特征。
2.设计、收集比较典型的数学建模的课堂教学案例，寻找数学建模的规律和问题。
3.开展慈溪市级研讨活动，听取专家意见，进一步补充和修正研究方案。
4.对尝试阶段形成的初步结论进行实践、应用，并根据应用结果，不断修改完善。
第三阶段：
总结阶段（2011.12—2012.2）
1.撰写研究报告。
2.汇编典型的小学数学建模教学的案例。
3.汇编典型的小学数学模型的例子。
五、课题的实施
（一）概念教学中数学建模的策略研究
概念是客观事物的本质属性在人脑中的反应。
它是思维的一种基本形式。
数学概念是客观事物的数量关系和空间形式方面的本质属性在人脑中的反映，常用一个符号或词语表示。
数学概念是反映一类对象本质属性的思维形式，任何一个数学概念都是对客观现实中一类对象的本质属性抽象概括的结果，因而它具有抽象性，没有实际的物质存在。
数学概念是学习其他数学知识的基础，是进行正确计算、判断、推理的依据。
概念教学有利于培养学生的逻辑思维能力和发展学生的智力。
1.厘清小学数学中的主要概念
分类主要概念
数的概念自然数、整数、小数（包括循环小数、有限小数、无限小数）、分数（包括真分数、假分数、带分数）、正数、负数、百分数、质数、合数及与此有关的计数、计数单位、数位、位数、读数、记数等。
数的关系方面的概念大于、小于、等于、比多、比少、整除、因数、倍数、互质数、质因数、公因数、公倍数、最小公倍数、最大公因数等。
运算方面的概念加、减、乘、除四则运算的意义，以及与此有关的加数、被减数、减数、因数、被除数、除数、和、差、积、商、算式、口算、笔算、估算、增加、减少、扩大、缩小等。
量的计量方面的概念长度、面积、体积等各种量及计量单位、计量单位间的进率、计量单位的化聚等。
形的概念各种简单几何形体的名称、特征等。
比和比例方面的概念比（最简整数比）、比值、比例、比例尺、正比例、反比例等。
代数初步知识方面的概念方程、方程的解、解方程等。
应用题方面的概念应用题的条件、问题、简单应用题、复合应用题、典型应用题、一般复合应用题、分数应用题等。
统计方面的概念单、复式统计表、条形统计图、折线统计图、扇形统计图、平均数、中位数、众数等。
2.教学实施：
以“认识平行四边形”为例
第一环节：
呈现原模，建立表象。
表象是人脑对客观事物感知后留下的形象。
表象接近于感知，具有一定的鲜明性和具体性，同时又接近于概念，具有一定的抽象性，它起着重要的中介作用。
建立表象，可以使学生逐步摆脱对直观教具的依赖，克服感知中的局限性。
在表象的基础上，进行抽象、概括，揭示概念的本质属性，易于被学生接受。
第二环节：
凸显本质，概括定义。
1.初步感知平行四边形特征
课件出示一个平行四边形图，提问：
为什么我们把这样的图形叫做平行四边形呢？
（板书“平行四边形”）拿出你的平行四边形纸片进行观察、思考，然后和同桌讨论、交流一下。
（1）学生观察、猜测、动手验证（用尺子测量、平移）；
（2）同桌讨论、交流；
（3）反馈，板书“两组对边分别平行的”；
（4）课件演示平行四边形两组对边分别平行。
2.辨析图片，抽象概括，完善定义
（1）出示第一个平行四边形纸片（较大、正放）：
这个是不是平行四边形？
（旋转，变换位置）现在它还是平行四边形吗？
看它是不是平行四边形，要根据什么来判断？
（手指板书）我们大家一起用手来比划一下这两组平行线吧。
（2）出示第二个平行四边形纸片（较小、斜放）：
这个是不是平行四边形呢？
（旋转）这样放呢？
（再旋转）这样呢？
（3）出示第三个平行四边形纸片（随意放）：
这个是吗？
现在老师给它动个小手术，“喀嚓”用剪刀剪一刀（边说边剪下一个角），看，现在它还是平行四边形吗？
揭示平行四边形首先必须是四边形。
（板书“四边形”）
（4）概括定义：
现在你能说说到底什么叫平行四边形了吗？
抽生说，师完善板书，写上“的”。
然后，看着板书全班同学大声朗读平行四边形定义，并说给同桌听听。
当学生已经充分感知并建立表象后，教师要不失时机地在此基础上，通过分析、比较、综合、抽象、概括使学生获取对事物的本质属性的认识，从而使学生的感性认识跃进到理性认识。
在这个概念形成的过程中，可运用变式与反例，凸显概念的本质属性，帮助学生建立正确的概念（即数学模型）。
第三环节：
根据定义，明确外延。
1.出示一个长方形纸片，问：
这个是平行四边形吗？
认为不是的同学请站起来。
教师先请站着的同学说理由，然后请坐着的代表发言。
当坐着的说“因为长方形的两组对边分别平行，所以它也是平行四边形”时，再问站着的同学，是否改变主意？
假如也认为“是”了，就请坐下。
等全体都认可的情况下，教师板书“长方形”，并顺势补充说明：
“我们可以说长方形是特殊的平行四边形。
”
2.出示一个正方形纸片，问：
这个是什么图形？
它是平行四边形吗？
根据学生回答师板书“正方形”。
3.小结：
两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。
长方形、正方形都是特殊的平行四边形。
当用定义把概念的本质属性揭示出来时，教师要采取一切手段帮助学生明确概念的外延，以便让学生在理解的基础上更好地掌握概念。
第四环节：
运用分类，形成概念系统。
（之前，已用以上的教学方式进行了梯形的概念教学）
1.练习：
从下面图形中找出平行四边形和梯形，并给平行四边形打上√，给梯形画上☆。
（1）
（2）（3）（4）（5）（6）（7）（8）（9）（10）
2.学生做题，师巡视，然后选一张在实物投影仪下讲评。
3.分类，小结：
（1）分类：
假如我们要给这些图形分类，你打算把它们分成几类？
哪三类？
（第一类是打√的，第二类是画☆的，第三类是既不打√也不画☆的。
）打√的一类是什么？
画☆的一类？
既不打√也不画☆的一类？
（板书“一般四边形”）平行四边形有几组对边平行？
梯形？
一般四边形？
我们是按什么标准把它们分成三类的？
它们可以统称为什么？
（板书“大括号符号、四边形”）
（2）小结：
从这里我们可以看出，平行四边形和梯形是特殊的四边形，而长方形和正方形又是特殊的平行四边形。
4.用集合图表示各四边形之间的关系。
分类是根据事物的本质属性或者显著特征所进行的划分，它是揭示概念外延的一种逻辑方法。
通过分类可以准确地揭示概念的外延，起到明确概念的作用。
同时，还能使知识条理化、系统化，防止概念的混淆。
只有当学生了解了一个概念与其他概念的相互联系以及这个概念在知识体系中所处的地位，才能对这个概念有比较全面、深刻的理解。
因此，当学生学习一定数量的概念后，教师应运用分类的思想方法帮助学生形成正确的概念系统。
3.策略提炼
以上是概念教学中数学建模的一般操作方式。
小学数学中的概念，虽然其表现形式很多，如：
用图画来揭示概念的本质属性，用描述的方法来说明概念，用逐步渗透的方法来揭示概念的本质属性，用定义来揭示概念的本质属性等，但由于数学概念的抽象性与学生思维形象性的矛盾，在进行数学概念教学时，我们必须注意概念的直观性和概念的阶段性，以适应学生的认知特点。
（二）规则教学中数学建模的策略研究
数学规则是两个或两个以上数学概念之间固有关系的叙述，以经过严格论证的数学命题的形式呈现。
实际上，数学学习的大部分内容是由数学规则组成的。
有了数学规则，就能用一类动作对一类刺激作出反映。
如学会了加法运算的规则，就能对一位数、两位数、三位数……直到多位数的加法进行运算。
而且，解答一个问题时，往往使用的不是一个规则，而是一系列规则。
数学规则的习得，是数学技能形成的前提，不仅可以促进学生智力的发展，而且可以使学生形成按规则办事的能力。
1.厘清小学数学中的主要规则
分类主要规则
法则四则运算、混合运算的计算法则。
定律加法交换律和结合律，乘法交换律、结合律和分配律。
性质小数的基本性质、分数的基本性质、等式的基本性质、比的基本性质、比例的基本性质、小数点位置移动引起小数大小的变化；减法性质、除法性质、积的变化规律、商的变化规律；三角形的性质。
公式图形的周长、面积、体积等公式。
2.教学实施：
以“乘法分配律”为例
第一环节：
创设情境，诱发问题。
小学数学中的法则、定律、公式等都是一个个数学模型，如何使学生通过建模形成数学模型，其中一条很重要的途径就是把生活原型上升为数学模型。
因此，教师有目的、有意识地创设能激发学生创造意识的各种情境，能促使学生产生质疑问题、探索求解的学习动机，从而使“事理”上升为“数理”，体现一个模型化的过程。
希望小学的操场是一个长方形，原来长60米，宽30米，扩建后，宽将增加10米。
扩建后的操场面积有多大？
60米
30米
10米
原来的面积
增加的面积
（2）组织交流，分析比较。
生1：
我先算扩建后操场的宽，再算扩建后操场的面积。
60�（30＋10）=60�40=2400（平方米）。
生2：
我先算操场原来的面积，再算增加的面积，最后算扩建后操场的面积。
60�30＋60�10=1800＋600=2400（平方米）。
根据学生回答，教师板书以上两种算法。
在这一环节中，当教师提出问题后，应让学生明确问题解决的目标，激发问题解决的动机，充分发挥教师的引导作用。
同时，问题的提出要针对学生实际，问题的引入应力求趣味、新奇、有针对性，能够诱导、启发、激活学生头脑中潜在的知识，使之服务于问题的解决，最大限度地调动学生的求知欲。
第二环节：
点拨导学，构建模型。
在建模过程中，为了既合乎实际问题又能求解，就要求在诸多因素中抓住主要因素进行抽象化简,然后用不完全归纳法构建数学模型。
这一过程恰好又是学生的分析、抽象、综合、表达能力的体现。
师：
刚才同学们用了两种不同的方法解决了同一个问题。
现在请让我们回头来看一看，60�（30＋10）=2400，60�30＋60�10=2400，计算结果相等，我们是否可用“=”把这两个式子连接起来？
生：
可以！
教师随即板书：
60�（30＋10）=60�30＋60�10。
师：
你会读这个等式吗？
生：
60乘30与10的和，等于60乘30的积加60乘10的积。
师：
现在你能自己决定宽增加的米数，再写一些这样的等式吗？
课件呈现“形”，（如左下图），让学生看形思数，完成“自主学习单1”。
此为左图扩建后的面积
算法1：
算法2：
结论：
自主学习单1
60米
30米
米
原来的面积
增加的面积
在组织交流时，教师有选择性地板书，并提问:
观察一下，这些等式有什么特点？
和同桌悄悄地说一说。
然后课件展示如下:
�（）=��
师：
请你根据自己的猜测将数据填入下面的面积模型中（如左下图），并对自己的猜测进行验证，即完成“自主学习单2”。
米
米
原来的面积
增加的面积
米
自主学习单2
此为左图我的猜测：
�（）=��
验证：
结论：
学生在自主完成“自主学习单2”后，交流讨论：
生1：
我的猜测是70�（3＋2）=70�3＋70�2，然后通过验证，得出70�（3＋2）=70�5=350，70�3＋70�2=210＋140=350，因为他们的结果相等，所以我的结论是：
一个数乘两个数的和，等于用这个数分别与两个加数相乘，再把两个积加起来。
……
生4：
假如用字母表示，我认为可以这样表示：
a�（b＋c）=a�b＋a�c。
师：
在数学上，我们把这个规律叫做“乘法分配律”。
（板书课题）
教师导学是构建模型的前提。
从导思、导议、导练入手，结合学生心理特征和认知水平提出的启发性问题，不宜过于简单，也不能超过学生的实际水平。
同时，老师要善于聚焦集思、由此及彼、由表及里，把分散的、现象的、感性的问题上升到理性并纳入到所要达到的教学目标的轨道上来，从而形成集体求索的态势。
另外，当提出一个或几个问题之后，要给学生思考的时间。
要让学生独自在课堂教学“这棵大树下”思考一会儿，静静想一想，如何“跳”才能“摘到果子”。
这样，他们解决问题的能力才会更强些。
只有当学生经过独立思考之后，在随后的小组交流中才会有话想说、有话可说，这样小组交流的质量才能提高。
第三环节：
深层探究，求解结果。
教师在点拨导学，引导学生将实际问题数学化的基础上，进一步组织深层探究，求解数学问题。
这一环节要让学生叙述解决数学问题的过程，交流解决问题的经验，从而达到解决问题、形成解决问题策略的目的，同时还可拓展模型，引领学生走向数学更深的本源。
简便计算：
37�7＋37�348�19＋52�19102�17
（1）学生独立计算。
（2）反馈交流。
在校对完答案之后，教师引导学生展开想象。
师：
联系长方形面积模型，这些算式可以想象成求什么？
生1：
第一个算式可以看作求两个长是37，宽分别是7和3的长方形面积之和。
因为它们的长相等，所以，可以把这两个长方形沿着长拼起来，变成一个长方形。
这时长方形的长仍是37，宽是7＋3=10。
师：
大家能想象他所说的长方形是怎么样的吗？
请你把它画在纸上。
学生开始动笔画，教师提示只需画草图就行。
然后选一张展示。
师：
第二个算式呢？
生2：
第二个算式可以看作长分别是48和52，宽都是19的两个长方形面积之和。
因为它们的宽相等，所以，可以把这两个长方形沿着宽拼起来，变成一个长方形。
这时长方形的长是48＋52=100，宽是19。
师：
那么第三个算式又怎么解释？
生3：
把一个长方形分成了两个长方形，也就是把长分成了100和2，然后剪开。
但是把这两个长方形的面积加起来，仍旧等于原先一个长方形的面积。
师：
大家能想象吗？
生意会地点点头。
这一环节以学生交流讨论为主，交流讨论的目的在于抓重点、明思路、排难点、解疙瘩、澄疑点、解迷惑，进而培养学生分析问题、解决问题的能力。
学生交流讨论的过程是学生之间、师生之间的多边互动的过程，应最大限度地调动学生的积极性，提高学生的参与程度，尤其是思维参与程度。
在这里，教师的作用是指导问题求解的策略，要组织好交流活动，使学生尽情地交流求解问题的经验，相互补充，完善表述，形成策略。
同时要把握好“收”与“放”的关系，放开以各抒己见，收拢以达到相对统一的认识，使学生的认识系列化、规范化。
第四环节：
结合实际，检验模型。
求得数学模型的解，并非问题得到解决，要结合实际，将求得的数学结果放到实际情境中去检验，看其是否是实际结果。
通过深层探究，求得数学结果已是教师与学生的共识，但结合实际、检验结果，是教学时常忽视的地方，其原因之一，是教材中大量提供了已经过加工、合理的素材，缺乏检验的必要性。
因此关键在于教师的引导和重视。
师：
学习了乘法分配律，你认为有什么作用？
生1：
可以使一些计算简便。
比如计算38�32＋38�68，就可用38�（32＋68）=38�100=3800。
生2：
解决应用题时，可以用
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