历年来数学中考最后一题.docx
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历年来数学中考最后一题
数学第八节上课内容（历年来压轴题）
1、如图，正方形ABCD边长为4，M、N分别是BC、CD上的两个动点，当M点在BC上运动时，保持AM和MN垂直，
（1）证明：
Rt△ABM∽Rt△MCN；
（2）设BM=x，梯形ABCN的面积为y，求y与x之间的函数关系式；当M点
运动到什么位置时，四边形ABCN面积最大，并求出最大面积；
（3）当M点运动到什么位置时Rt△ABM∽Rt△AMN，求x的值．
练习：
如图，已知直角梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，AD=2，AB=8，CD=10
（1）求梯形ABCD的面积S；
（2）动点P从点B出发，以2cm/s的速度、沿B→A→D→C方向，向点C运动；动点Q从点C出发，以2cm/s
的速度、沿C→D→A方向，向点A运动．若P、Q两点同时出发，当其中一点到达目的地时整个运动随之结束，设运动时间为t秒．
问：
①当点P在B→A上运动时，是否存在这样的t，使得直线PQ将梯形ABCD的周长平分？
若存在，请求出t
的值，并判断此时PQ是否平分梯形ABCD的面积；若不存在，请说明理由；
②在运动过程中，是否存在这样的t，使得以P、D、Q为顶点的三角形恰好是以DQ为一腰的等腰三角形？
若存
在，请求出所有符合条件的t的值；若不存在，请说明理由．
1
2、如图所示，矩形
ABCD的边长AB=6，BC=4，点F在DC上，DF=2．动点M、N分别从点D、B同时出发，沿
射线DA、线段BA向点A的方向运动（点M可运动到DA的延长线上），当动点N运动到点A时，M、N两点同
时停止运动．连接
FM、FN，当F、N、M不在同一直线时，可得△FMN，过△FMN三边的中点作△PWQ.设动点
M、N的速度都是
1个单位/秒，M、N运动时间为x秒．试解答下列问题：
（1）说明△FMN∽△QWP；
（2）设0≤x≤4（即M从D到A运动的时间段）．试问x为何值时，△PWQ为直角三角形？
当x在何范围时，△
PQW不为直角三角形？
（3）问当x为何值时，线段MN最短？
求此时MN的值．
练习：
已知：
把Rt△ABC和Rt△DEF按如图
（1）摆放（点C与点E重合），点B、C（E）、F在同一条直线上．∠
ACB=∠EDF=90°，∠DEF=45°，AC=8cm，BC=6cm，EF=9cm．
如图
（2），△DEF从图
（1）的位置出发，以1cm/s的速度沿CB向△ABC匀速移动，在△DEF移动的同时，点P从△ABC的顶点B出发，以2cm/s的速度沿BA向点A匀速移动．当△DEF的顶点D移动到AC边上时，△DEF停止移动，点P也随之停止移动、DE与AC相交于点Q，连接PQ，设移动时间为t（s）（0＜t＜4.5）解答下列问题：
（1）当t为何值时，点A在线段PQ的垂直平分线上？
（2）连接PE，设四边形APEC的面积为y（cm2），求y与t之间的函数关系式；是否存在某一时刻t，使面积y
最小？
若存在，求出y的最小值；若不存在，说明理由；
（3）是否存在某一时刻t，使P、Q、F三点在同一条直线上？
若存在，求出此时t的值；若不存在，说明理由．
2
3、如图，抛物线与y轴交于A点，过点A的直线与抛物线交于另一点B，过点B作BC⊥x轴，
垂足为点C（3，0）
（1）求直线AB的函数关系式；
（2）动点P在线段OC上从原点出发以每秒一个单位的速度向C移动，过点P作PN⊥x轴，交直线AB于点M，
交抛物线于点N.设点P移动的时间为t秒，MN的长度为s个单位，求s与t的函数关系式，并写出t的取值范围；
N
（3）设在
（2）的条件下（不考虑点P与点O，点C重合的情况），连接CM，BN，当t为何值时，四边形BCMN为平行四边形？
问对于所求的t值，平行四边形BCMN是否菱形？
请说明理由.
B
M
A
OPCx
题22图
在平面直角坐标系中，已知抛物线经过A（-4，0），B（0，-4），C（2，0）三点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若点M为第三象限内抛物线上一动点，点M的横坐标为m，△AMB的面积为S、求S关于m的函数关系式，
并求出S的最大值．
（3）若点P是抛物线上的动点，点Q是直线y=-x上的动点，判断有几个位置能够使得点P、Q、B、O为顶点的
四边形为平行四边形，直接写出相应的点Q的坐标．
3
1、解：
（1）在正方形
ABCD
中，
ABBCCD4，
，
BC90°
AMMN，
AMN
，
90°
CMN
AMB
．
90°
在Rt△ABM中，
MABAMB90°，
CMN
MAB，
Rt△ABM∽Rt△MCN．·········3分
（2）Rt△ABM∽Rt△MCN，
AB
BM，
4
x
，
MC
CN
4
x
CN
CN
x2
4x，
···········
········5分
4
y
S梯形ABCN
1
x2
4x
44
1x2
2x8
1（x2）2
10，
2
4
2
2
当x
2时，y取最大值，最大值为
10．·····
········7分
（3）
B
AMN
90°，
要使△ABM∽△AMN，必须有AM
AB，
··
··········9分
MN
BM
由
（1）知AM
AB，
MN
MC
BM
MC，
当点M运动到BC的中点时，△ABM∽△AMN，此时x
2．
练习：
4
5
2、解：
（1）根据三角形中位线定理得
PQ∥FN，PW∥MN，
∴∠QPW=∠PWF，∠PWF=∠MNF，
∴∠QPW=∠MNF．
同理∠PQW=∠NFM，
∴△FMN∽△QWP；
（2）由于△FMN∽△QWP，故当△FMN是直角三角形时，△QWP也为直角三角形．
作FG⊥AB，则四边形FCBG是正方形，有GB=CF=CD﹣DF=4，GN=GB﹣BN=4﹣x，DM=x，
①当MF⊥FN时，
∵∠DFM+∠MFG=∠MFG+∠GFN=90°，
∴∠DFM=∠GFN．
∵∠D=∠FGN=90°，
∴△DFM∽△GFN，
∴DF：
FG=DM：
GN=2：
4=1：
2，
∴GN=2DM，
∴4﹣x=2x，
∴x=；
②当MG⊥FN时，点M与点A重合，点N与点G重合，
∴x=AD=GB=4．
∴当x=4或时，△QWP为直角三角形，当0≤x＜，＜x＜4时，△QWP不为直角三角形．
（3）①当0≤x≤4，即M从D到A运动时，只有当x=4时，MN的值最小，等于
2；
（4）②当4＜x≤6时，MN2=AM2+AN2=（x﹣4）2+（6﹣x）2=2（x﹣5）2+2
当x=5时，MN2=2，故MN取得最小值
，
∴当x=5时，线段MN最短，MN=．
6
2练习：
7
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