高中数学同步题库含详解78直接证明与间接证明.docx

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高中数学同步题库含详解78直接证明与间接证明

高中数学同步题库含详解78直接证明与间接证明

一、选择题（共40小题；共200分）

1.分析法证明问题是从问题的结论出发，寻找问题成立的

A.充分条件B.必要条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

2.下列表述：

①综合法是执因导果法；②综合法是顺推法；③分析法是执果索因法；④分析法是间接证法；⑤反证法是逆推法．其中正确的语句有个

A.B.C.D.

3.用反证法证明命题：

“三角形的内角中至少有一个不大于度”，假设正确的是

A.假设三个内角都不大于度

B.假设三个内角都大于度

C.假设三个内角至多有一个大于度

D.假设三个内角至多有两个大于度

4.“自然数，，中恰有一个是偶数”的正确否定为

A.，，都是偶数

B.，，都是奇数

C.，，至少有两个偶数

D.，，至少有两个偶数或都是奇数

5.个黑球和个白球从左到右任意排成一排，下列说法正确的是

A.总存在一个黑球，它右侧的白球和黑球一样多

B.总存在一个白球，它右侧的白球和黑球一样多

C.总存在一个黑球，它右侧的白球比黑球少一个

D.总存在一个白球，它右侧的白球比黑球少一个

6.用反证法证明命题“设，为实数，则方程至少有一个实根”时，要作的假设是

A.方程没有实根

B.方程至多有一个实根

C.方程至多有两个实根

D.方程恰好有两个实根

7.分析法又称执果索因法，若用分析法证明：

“设，且，求证”索的因应是

A.B.

C.D.

8.反证法证明命题“三角形的三个内角至少有一个不大于”应假设为

A.假设三角形的三个内角都不大于

B.假设三角形的三个内角都大于

C.假设三角形的三个内角至多有一个大于

D.三角形的三个内角至多有两个大于

9.①已知，证明：

．用反证法证明时，可假设；

②若，，求证：

方程的两根的绝对值都小于．用反证法证明时可假设方程有一根的绝对值大于或等于，即假设．

以下结论正确的是

A.①与②的假设都错误B.①的假设正确；②的假设错误

C.①与②的假设都正确D.①的假设错误；②的假设正确

10.用反证法证明命题：

“三角形的内角中至少有一个不大于”的过程归纳为以下三个步骤：

①因为，这与三角形内角和为相矛盾；②所以一个三角形的内角中至少有一个不大于；③假设三角形的三个内角，，都大于，正确顺序的序号为

A.③①②B.②③①C.①③②D.①②③

11.用反证法证明命题“三角形的内角至多有一个钝角”时，假设正确的是

A.假设至少有一个钝角

B.假设至少有两个钝角

C.假设没有一个钝角

D.假设没有一个钝角或至少有两个钝角

12.在用反证法证明命题“已知，求证，，不可能都大于”时，假设正确的是

A.假设，，都不大于

B.假设，，都小于

C.假设，，都大于

D.以上都不对

13.下列说法不正确的是

A.综合法是由因导果的顺推证法

B.分析法是执果索因的逆推证法

C.综合法与分析法都是直接证法

D.综合法与分析法在同一题的证明中不可能同时采用

14.在证明命题“对于任意角，”的过程：

“”中应用了

A.分析法B.综合法

C.分析法和综合法综合使用D.间接证法

15.用反证法证明命题“三角形的内角中至少有一个不大于”时，反设正确的是

A.假设三内角都不大于B.假设三内角都大于

C.假设三内角至多有一个大于D.假设三内角至多有两个大于

16.应用反证法推出矛盾的推导过程中，要把下列哪些作为条件使用

①结论的相反判断，即假设；

②原命题的条件；

③公理、定理、定义等；

④原结论．

A.①②B.①②④C.①②③D.②③

17.“现代五项”是由现代奥林匹克之父顾拜旦先生创立的运动项目，包含射击、击剑、游泳、马术和越野跑五项运动．已知甲、乙、丙共三人参加“现代五项”．规定每一项运动的前三名得分都分别为，，（且），选手最终得分为各项得分之和．已知甲最终得分，乙和丙最终各得分，且乙的马术比赛获得了第一名，则游泳比赛的第三名是

A.甲B.乙

C.丙D.乙和丙都有可能

18.若，，不全为，必须且只需

A.B.，，中至多有一个不为

C.，，中只有一个不为D.，，中至少有一个不为

19.有四人在海边沙滩上发现颗精致的珍珠，四人约定分配方案：

四人先抽签排序①②③④，再由①号提出分配方案，四人表决，至少要有半数的赞成票才算通过，若通过就按此方案分配，否则提出方案的①号淘汰，不再参与分配，接下来由②号提出分配方案，三人表决，依此类推．假设：

．四人都守信用，愿赌服输；．提出分配方案的人一定会赞成自己的方案；．四人都会最大限度争取个人利益．易知若①②都淘汰，则③号的最佳分配方案（能通过且对提出方案者最有利）是（表示③，④号分配珍珠数分别是和）．问①号的最佳分配方案是

A.B.C.D.

20.用反证法证明命题“若，则且”时的假设为

A.且B.或

C.时，时D.以上都不对

21.中国古代儒家要求学生掌握六种基本才艺：

礼、乐、射、御、书、数，简称“六艺”．某中学为弘扬“六艺”的传统文化，分别进行了主题为“礼、乐、射、御、书、数”六场传统文化知识的竞赛．现有甲、乙、丙三位选手进入了前三名的最后角逐．规定：

每场知识竞赛前三名的得分都分别为，，（，且）；选手最后得分为各场得分之和．在六场比赛后，已知甲最后得分为分，乙和丙最后得分都为分，且乙在其中一场比赛中获得第一名，则下列说法正确的是

A.每场比赛第一名得分为B.甲可能有一场比赛获得第二名

C.乙有四场比赛获得第三名D.丙可能有一场比赛获得第一名

22.用反证法证明命题“三角形三个内角至少有一个不大于”时，应该假设

A.三个内角都不大于B.三个内角都大于

C.三个内角至多有一个大于D.三个内角至少有两个大于

23.甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问成语竞赛的成绩．老师说：

你们四人中有位优秀，位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩．看后甲对大家说：

我还是不知道我的成绩．根据以上信息，则

A.乙可以知道四人的成绩B.丁可以知道四人的成绩

C.乙、丁可以知道对方的成绩D.乙、丁可以知道自己的成绩

24.用反证法证明命题“若整系数一元二次方程有有理根，那么，，中至少有一个是偶数”时，下列假设中正确的是

A.假设，，不都是偶数B.假设，，都不是偶数

C.假设，，至多有一个是偶数D.假设，，至多有两个是偶数

25.已知，且，则不可能等于

A.

B.

C.

D.

26.设，，都是正数，则，，三个数

A.都大于B.都小于

C.至少有一个大于D.至少有一个不小于

27.为确保信息安全，信息需加密传输，发送方由明文密文（加密），接受方由密文明文（解密），已知加密规则为：

明文，，，对应密文，，，．例如，明文，，，对应密文，，，．当接受方收到密文，，，时，解密得到的明文为

A.，，，B.，，，C.，，，D.，，，

28.用反证法证明命题“若整系数一元二次方程有有理根，那么，，中至少有一个是偶数”时，下列假设中正确的是

A.假设，，都是偶数B.假设，，都不是偶数

C.假设，，至多有一个是偶数D.假设，，至多有两个是偶数

29.袋中装有偶数个球，其中红球，黑球各占一半，甲，乙，丙是三个空盒，每次从袋中随意取出两个球，将其中一个球放入甲盒，如果这个球是红球，就将另一个球放入乙盒，否则放入丙盒，重复上述过程，直到袋中所有球都被放入盒中，则

A.乙盒中黑球不多于丙盒中黑球B.乙盒中红球与丙盒中黑球一样多

C.乙盒中的红球不多于丙盒中红球D.乙盒中黑球与丙盒中红球一样多

30.一位手机用户前四次输入四位数字手机密码均不正确，第五次输入密码正确，手机解锁．事后发现前四次输入的密码中，每次都有两个数字正确，但它们各自的位置均不正确．已知前四次输入密码分别为，，，，则正确的密码中一定含有数字

A.，B.，C.，D.，

31.要使成立，则，应满足

A.且

B.且

C.且

D.且或且

32.如图，边长为的正方形的四边中点，，，分别与，，，四点相连，其交点分别为，，，，那么四边形的面积为

A.B.C.D.

33.自主招生联盟成形于年清华大学等五校联考，主要包括“北约”联盟，“华约”联盟，“卓越”联盟和“京派”联盟．在调查某高中学校高三学生自主招生报考的情况，得到如下结果：

①报考“北约”联盟的考生，都没报考“华约”联盟；

②报考“华约”联盟的考生，也报考了“京派”联盟；

③报考“卓越”联盟的考生，都没报考“京派”联盟；

④不报考“卓越”联盟的考生，就报考“华约”联盟．

根据上述调查结果，下述结论错误的是

A.没有同时报考“华约”和“卓越”联盟的考生

B.报考“华约”和“京派”联盟的考生一样多

C.报考“北约”联盟的考生也报考了“卓越”联盟

D.报考“京派”联盟的考生也报考了“北约”联盟

34.用反证法证明命题“设，为实数，则方程至少有一个实根”时，要作的假设是

A.方程没有实根

B.方程至多有一个实根

C.方程至多有两个实根

D.方程恰好有两个实根

35.分析法又称执果索因法，若用分析法证明：

“设，且”，求证“”索的因应是

A.B.

C.D.

36.将数字，，，，，书写在每一个骰子的六个表面上，做成枚一样的骰子．分别取三枚同样的这种骰子叠放成如图和所示的两个柱体，则柱体和的表面（不含地面）上的数字之和分别是

A.，B.，C.，D.，

37.设是至少含有两个元素的集合，在上定义了一个二元运算“”（即对任意的，对于有序元素对，在中有唯一确定的元素，），则对任意的，下列等式不能恒成立的是

A.B.

C.D.

38.若，，，，则，，的大小关系为

A.B.

C.D.

39.甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问成语竞赛的成绩，老师说，你们四人中有位优秀，位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩，看后甲对大家说：

我还是不知道我的成绩，根据以上信息，则

A.乙可以知道四人的成绩B.丁可能知道四人的成绩

C.乙、丁可以知道对方的成绩D.乙、丁可以知道自己的成绩

40.某生产基地有五台机器设备，现有五项工作待完成，每台机器完成每项工作获得的效益值如下表所示．若每台机器只完成一项工作，且完成五项工作后获得的效益值总和最大，则下列描述正确的是

A.甲只能承担第四项工作B.乙不能承担第二项工作

C.丙可以不承担第三项工作D.获得的效益值总和为

二、填空题（共40小题；共200分）

41.用反证法证明命题“如果，，那么”，证明的第一个步骤是 ．

42.直接证明

43.用反证法证明“如果，那么”时，应先假设 ．

44.用反证法证明命题"三角形的内角中至少有一个钝角"时反设是 ．

45.判断下列结论的正误（正确的打“”，错误的打“”）

（1）综合法是直接证明，分析法是间接证明．

（2）分析法是从要证明的结论出发，逐步寻找使结论成立的必要条件．

（3）反证法是将条件和结论同时否定，推出矛盾．

（4）用反证法证明结论“”时，应假设“”．

46.在用反证法证明"圆内不是直径的两弦，不能互相平分"时，应假设 ．

47.用反证法证明命题：

若整系数一元二次方程有有理数根，那么，，中至少有一个是偶数时，应假设 ．

48.分解因式：

 ．

49.用反证法证明命题：

“三角形的内角中至少有一个不大于”时，结论的否定是 ．

50.用反证法证明命题“若正整数，，满足，则，，中至少有一个是偶数”时，反设应为 ．

51.间接证明

间接证明是不同于直接证明的又一类证明方法，反证法是一种常用的间接证明方法．

（1）反证法的定义：

假设原命题① （即在原命题的条件下，结论不成立），经过正确的推理，最后得出② ，因此说明假设错误，从而证明③ 的证明方法．

（2）用反证法证明的一般步骤：

（i）反设——假设命题的结论不成立；（ii）归谬——根据假设进行推理，直到退出矛盾为止；（iii）结论——断言假设不成立，从而肯定原命题的结论成立．

52.用反证法证明命题：

“若，且，则和中至少有一个小于”时，应假设 ．

53.用反证法证明命题：

"如果，是奇数，那么方程没有整数根"时，应该提出的假设是 ．

54.用反证法证明“若，则或”时'应假设 ．

55.用反证法证明命题“设，为实数，则方程至少有一个实数根”时，应假设 ．

56.设正实数，，满足，则，，三者中至少有一个数不小于 ．

57.用反证法证明命题“，为实数，则方程至少有一个实根”时，要做的假设是：

“方程 ”．

58.设，求证：

，，至少有一个不小于，用反证法证明时应假设 ．

59.用反证法证明某命题时，对结论：

“自然数，，中恰有一个偶数”正确的反设为 ．

60.用反证法证明命题"若实数满足，，则中至少有一个是非负数"时，第一步要假设结论的否定成立，那么结论的否定是 ．

61.若，，是不全相等的正数，给出下列判断：

；与及中至少有一个成立；，，不能同时成立．其中判断正确的是 ．

62.在一次调查中，甲、乙、丙、丁四名同学的阅读量有如下关系：

甲、丙阅读量之和与乙、丁阅读量之和相同，甲、乙阅读量之和大于丙、丁阅读量之和，丁的阅读量大于乙、丙阅读量之和，那么这四名同学按阅读量从大到小的排序依次为 ．

63.一名法官在审理一起珍宝盗窃案时，四名嫌疑人甲、乙、丙、丁的供词如下：

甲说：

“罪犯在乙、丙、丁三人之中”；乙说：

“我没有作案，是丙偷的”；丙说：

“甲、乙两人中有一人是小偷”；丁说：

“乙说的是事实”，经过调查核实，四人中有两人说的是真话，另外两人说的是假话，且这四人中只有一人是罪犯，由此可判断罪犯是 ．

64.某比赛现场放着甲、乙、丙三个空盒，主持人从一副不含大小王的张扑克牌中，每次任取两张牌，将一张放入甲盒，若这张牌是红色的（红桃或方片），就将另一张放入乙盒；若这张牌是黑色的（黑桃或梅花），就将另一张放入丙盒；重复上述过程，直到所有扑克牌都放入三个盒子内，给出下列结论：

①乙盒中黑牌不多于丙盒中黑牌；

②乙盒中红牌与丙盒中黑牌一样多；

③乙盒中红牌不多于丙盒中红牌；

④乙盒中黑牌与丙盒中红牌一样多．

其中正确结论的序号为 ．

65.某班开展一次智力竞赛活动，共，，三个问题，其中题满分是分，题，满分都是分．每道题或者得满分，或者得分．活动结果显示，全班同学每人至少答对一道题，有名同学答对全部三道题，有名同学答对其中两道题．答对题与题的人数之和为，答对题与题的人数之和为，答对题与题的人数之和为．则该班同学中只答对一道题的人数是 ；该班的平均成绩是 ．

66.甲乙两人做报数游戏，其规则是：

从开始两人轮流连续报数，每人每次最少报个数，最多可以连续报个（如，第一个人先报“，”，则另一个人可以有“”，“，”，“，，，，，”等六种报数方法），谁抢先报到“”则谁获胜．如果从甲开始，则甲要想必胜，第一次报的数应该是 ．

67.刘老师带甲、乙、丙、丁四名学生去西安参加自主招生考试，考试结束后刘老师向四名学生了解考试情况．四名学生回答如下：

甲说：

我们四人都没考好．

乙说：

我们四人中有人考的好．

丙说：

乙和丁至少有一人没考好．

丁说：

我没考好．

考试结果出来后发现，有两人说对了，则这四名学生中 两人说对了．

68.用反证法证明命题“若，是实数，且，则”时，应作的假设是 ．

69.如图，一个质点从出发依次沿图中线段到达，，，，，，，，各点，最后又回到．其中，，，．欲知此质点所走路程，至少需要测量条线段的长度，则 ．

70.有一个大钟每到整点就自动以响铃的方式报时，点响声，点响声，点响声，，点响声（时制），且每次报时时相邻两次响铃之间的间隔均为秒．在一次大钟报时时，某人从第一声铃响开始计时，若此时是点的报时，则此人至少需等待 秒才能确定时间；若此时是点的报时，则此人至少需等待 秒才能确定时间．

71.有甲、乙、丙、丁四位歌手参加比赛，其中只有一位获奖，有人走访了四位歌手，甲说：

“是乙或丙获奖．”乙说：

“甲、丙都未获奖．”丙说“我获奖了”，丁说：

“是乙获奖．”四位歌手的话只有两句是对的，则获奖的歌手是 ．

72.某运动队对A，B，C，D四位运动员进行选拔，只选一人参加比赛，在选拔结果公布前，甲、乙、丙、丁四位教练对这四位运动员预测如下：

甲说：

“是C或D参加比赛”；乙说：

“是B参加比赛”；丙说：

“是A，D都未参加比赛”；丁说：

“是C参加比赛”．若这四位教练中只有两位说的话是对的，则获得参加的运动员是 ．

73.我市在“录像课评比”活动中，评审组将从录像课的“点播量”和“专家评分”两个角度来进行评优．若A录像课的“点播量”和“专家评分”中至少有一项高于B录像课，则称A录像课不亚于B录像课．假设共有节录像课参评，如果某节录像课不亚于其他节，就称此节录像课为优秀录像课．那么在这节录像课中，最多可能有 节优秀录像课．

74.《九章算术》中有一个“两鼠穿墙”问题：

“今有垣（墙，读音）厚五尺，两鼠对穿，大鼠日（第一天）一尺，小鼠也日（第一天）一尺．大鼠日自倍（以后每天加倍），小鼠日自半（以后每天减半）．问何日相逢，各穿几何?

”

在两鼠“相逢”时，大鼠与小鼠“穿墙”的“进度”之比是 ：

 ．

75.甲、乙、丙三位同学被问到是否去过，，三个城市时，甲说：

我去过的城市比乙多，但没去过城市；乙说：

我没去过城市；丙说：

我们三人去过同一个城市．由此可判断乙去过的城市为 ．

76.有三张卡片，分别写有和，和，和．甲，乙，丙三人各取走一张卡片，甲看了乙的卡片后说：

“我与乙的卡片上相同的数字不是”，乙看了丙的卡片后说：

“我与丙的卡片上相同的数字不是”，丙说：

“我的卡片上的数字之和不是”，则甲的卡片上的数字是 ．

77.甲、乙、丙、丁四支足球队举行“贺岁杯”足球友谊赛，每支球队都要与其它三支球队进行比赛，且比赛要分出胜负．若甲、乙、丙队的比赛成绩分别是两胜一负、全败、一胜两负，则丁队的比赛成绩是 ．

78.每年的三月十二号是植树节，某学校组织高中个学生及其父母以家庭为单位参加“种一棵小树，绿一方净士”的义务植树活动．活动将个家庭分成A，B两组，A组负责种植棵银杏树苗，B组负责种植棵紫薇树苗．根据往年的统计，每个家庭种植一棵银杏树苗用时，种植一棵紫薇树苗用时，假定A，B两组同时开始种植，若使植树活动持续的时间最短，则A组的家庭数为 ，此时活动持续的时间为 ．

79.学校艺术节对同一类的A，B，C，D四项参赛作品，只评一项一等奖，在评奖揭晓前，甲、乙、丙、丁四位同学对这四项参赛作品预测如下：

甲说：

“是C或D作品获得一等奖”；

乙说：

“B作品获得一等奖”；

丙说：

“A，D两项作品未获得一等奖”；

丁说：

“是C作品获得一等奖”．

若这四位同学中只有两位说的话是对的，则获得一等奖的作品是 ．

80.在某中学的“校园微电影节”活动中，学校将从微电影的“点播量”和“专家评分”两个角度来进行评优．若电影的“点播量”和“专家评分”中至少有一项高于电影，则称电影不亚于电影．已知共有部微电影参展，如果某部电影不亚于其他部，那么就称此部电影为优秀影片．那么在这部微电影中，最多可能有 部优秀影片．

三、解答题（共20小题；共260分）

81.求证：

．

82.当，为非负实数时，求证：

．

83.设函数中的系数，，均为整数，且，均为奇数．求证：

方程无整数根．

84.若函数在区间上是增函数，那么方程在区间上至多有一个实根．

85.已知，求证：

．

86.用分析法证明不等式：

．

87.在中，，于，求证：

，那么在四面体中，类比上述结论，你能得到怎样的猜想，并说明理由．

88.已知．求证：

．

89.，，，，，求证：

，，中至少有一个大于．

90.用分析法证明：

对于任意实数都有．

91.已知函数满足，，且方程，求证：

方程有无穷多根．

92.设与是定义在上的函数，求证：

存在、，使．

93.设，求证：

，，不可能同时大于．

94.计算：

（是正整数）

95.已知，且，．求证：

，，，中至少有一个是负数．

96.一名法官在审理一起珍宝盗窃案时，四名嫌疑人甲、乙、丙、丁的供词如下：

甲说：

“罪犯在乙、丙、丁三人之中”；乙说：

“我没有作案，是丙偷的”；丙说：

“甲、乙两人中有一人是小偷”；丁说：

“乙说的是事实”，经过调查核实，四人中有两人说的是真话，另外两人说的是假话，且这四人中只有一人是罪犯，由此可判断罪犯是 ．

97.对于三次函数，给出定义：

设是函数的导数，是的导数，若方程有实数解，则称点为函数的“拐点”．某同学经过探究发现：

任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心．若，请你根据这一发现．