编程基本算法普及组.docx
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编程基本算法普及组
编程基本算法（普及组）
ForNOIP2009
ByClimber
Pascal
计算程序运行时间
usesdos;
var
h,m,s,ss:
word;
t1,t2:
real;
begin
gettime（h,m,s,ss）;
t1:
=h*3600+m*60+s+ss/100;
****//主程序
gettime（h,m,s,ss）;
t2:
=h*3600+m*60+s+ss/100;
writeln（（t2-t1）:
0:
2）;
end.
高精度运算
初始化
【加减法初值】tmp[0]:
=1;
【乘法初值】tmp[0]:
=1;tmp[1]:
=1;
【高精度类型】typehp=array[0..250]ofinteger;//hp[0]表示该数的长度
比较大小（Max）
if（a[0]>b[0]）thenmax:
=trueelsemax:
=false;//比较
fori:
=a[0]downto1do
ifa[i]>b[i]thenmax:
=trueelsemax:
=false;
ifmax=falsethenbegintmp:
=a;a:
=b;b=tmp;end;//交换
高精度（a）+整型（b）=高精度（c）
Inc（a[1],b）;//相加
while（a[a[0]]>9）dobegin//进位
inc（a[a[0]+1],a[a[0]]div10）;
a[a[0]]:
=a[a[0]]mod10;inc（a[0]）;end;
dec（a[0]）;c:
=a;
高精度（a）-整型（b）=高精度（c）
Whilex<>0dobegin//相减
dec（c[c[0]],xmod10）;
x:
=xdiv10;inc（c[0]）;end;
fori:
=1toc[0]doifc[i]<0then//退位
begininc（c[i],10）;dec（c[i+1]）;end;
while（c[c[0]]=0）and（c[0]>1）dodec（c[0]）;
高精度（a）×整型（b）=高精度（c）
fori:
=1toa[0]doc[i]:
=a[i]*x;c[0]:
=a[0]+10;
fori:
=1toc[0]doifc[i]>9then
begininc（c[i+1],c[i]）;c[i]:
=c[i]mod10;end;
while（c[c[0]]=0）and（c[0]>1）dodec（c[0]）;
高精度（a）÷整型（b）=高精度（c）
voiddiv_int（hpa,intx,hp&res,int&rest）
{
memset（res,0,sizeof（res））;
rest=0;
for（inti=a[0];i>=1;i--）
{
rest=rest*10+a[i];
if（rest>=x）res[i]=rest/x,rest%=x;
}
intl=a[0];
while（res[l]==0&&l>1）l--;
res[0]=l;
return;
}
高精度（a）+高精度（b）=高精度（c）
fori:
=1toa[0]dotmp[i]:
=a[i]+b[i];//相加
fori:
=1toa[0]+1doifc[i]>9then//进位
begininc（c[i+1]）;dec（c[i],10）;end;
inc（c[0]）;while（c[c[0]]=0）and（c[0]>1）dodec（c[0]）;//长度计算
高精度（a）-高精度（b）=高精度（c）
Max（a,b）;
fori:
=1toa[0]doc[i]:
=a[i]-b[i];//相减
fori:
=1toa[0]doifc[i]<0then//进位
begindec（c[i+1]）;inc（c[i],10）;end;
while（c[[c[0]]=0）and（c[0]>1）dodec（c[0]）;//长度计算
高精度（a）×高精度（b）=高精度（c）
fori:
=1toa[0]doforj:
=1toa[0]do
inc（c[i+j-1],a[i]*b[j]）;
c[0]:
=a[0]+b[0];
fori:
=1toc[0]doifc[i]>9then
begininc（c[i+1],tmp[i]div10）;tmp[i]:
=tmp[i]mod10;end;
while（c[c[0]]=0）and（c[0]>1）dodec（c[0]）;
高精度（a）÷高精度（b）=高精度（c）
intdiv_hp（hp&a,hp&b,hp&rest）
{
hptmp;
intl=MIN_RES,r=MAX_RES,mid;
while（l<=r）
{
mid=（l+r）/2;
mul_int（b,mid,tmp）;
if（compare（a,tmp）==false）r=mid;
else
{
sub_hp（a,tmp,tmp）;
if（compare（tmp,b）==true）l=mid;
else
{
memcpy（rest,tmp,sizeof（tmp））;
returnmid;
}
}
}
return0;
}
高精度进制转换
首先需要一个改良版的高精度数除整型取余，增加一个k参数表示当前高精度数的进制。
代码如下，返回值为余数：
intchange_div_int（hpa,intx,hp&res,intk）
{
intrest;
hptmp;
memset（tmp,0,sizeof（tmp））;
rest=0;
for（inti=a[0];i>=1;i--）
{
rest=rest*k+a[i];
if（rest>=x）tmp[i]=rest/x,rest%=x;
}
intl=a[0];
while（tmp[l]==0&&l>1）l--;
tmp[0]=l;
memcpy（res,tmp,sizeof（tmp））;
returnrest;
}
高精度进制转换的主函数，n为当前进制，k为目标进制，b为结果：
voidN_to_K（hp&a,intn,intk,hp&b）
{
memset（b,0,sizeof（b））;
while（a[0]!
=1||a[1]!
=0）
{
b[0]++;
b[b[0]]=change_div_int（a,k,a,n）;
}
return;
}
压位高精度
voidInit（hp&a）
{
strings;
inttmp=0,t=0,l,k;
cin>>s;
memset（a,0,sizeof（a））;
l=s.size（）;
k=l/8;
if（l%8!
=0）k++;
a[0]=k;
for（inti=1;i{
t=l-8*i;
tmp=0;
for（intj=0;j<=7;j++）
tmp=tmp*10+（s[t+j]-'0'）;
a[i]=tmp;
}
l=l-（a[0]-1）*8,tmp=0;
for（intt=0;ttmp=tmp*10+s[t]-'0';
a[a[0]]=tmp;
return;
}
voidadd（hpa,hpb,hp&c）
{
intl=max（a[0],b[0]）;
hptmp;
memset（tmp,0,sizeof（tmp））;
for（inti=1;i<=l;i++）
tmp[i]=a[i]+b[i];
for（inti=1;i<=l;i++）
if（tmp[i]>=0）
tmp[i+1]++,tmp[i]-=0;
l++;
while（tmp[l]==0&&l>1）l--;
tmp[0]=l;
memcpy（c,tmp,sizeof（c））;
return;
}
voidZero（intx）//补零
{
if（x<10）{cout<<"0000000";return;}
if（x<100）{cout<<"000000";return;}
if（x<1000）{cout<<"00000";return;}
if（x<10000）{cout<<"0000";return;}
if（x<100000）{cout<<"000";return;}
if（x<1000000）{cout<<"00";return;}
if（x<）{cout<<"0";return;}
return;
}
voidprin（hpa）
{
cout<for（inti=a[0]-1;i>=1;i--）
{Zero（a[i]）;cout<cout<return;
}
高精度阶乘
高精度阶乘求和（秦九韶算法）
varn:
integer;s:
comp;
functionfac（n:
integer）:
comp;
begin
whilen>1do
begin
s:
=s*n+1;
dec（n）;
end;
fac:
=s;
end;
begin
read（n）;
s:
=1;
writeln（fac（n）:
0:
0）;
end.
{说明:
本程序基于秦九韶算法，大大减少了乘法的计算次数，优于利用递归求阶乘然后求和的方法。
}
typeary=array[0..100]ofinteger;
var
n,i,last:
integer;
s:
ary;
proceduremult（n:
integer;vars:
ary）;
begin
s[1]:
=s[1]*n;
fori:
=2tolastdo
begin
s[i]:
=s[i]*n;
s[i]:
=s[i]+s[i-1]div10;
s[i-1]:
=s[i-1]mod10;
end;
whiles[last]>=10do
begin
inc（last）;
s[last]:
=s[last-1]div10;
s[last-1]:
=s[last-1]mod10;
end;
end;
procedureadd（vars:
ary）;
begin
s[1]:
=s[1]+1;
i:
=1;
whiles[i]>10do
begin
s[i+1]:
=s[i+1]+s[i]div10;
s[i]:
=s[i]mod10;
end;
ifi>lasttheninc（last）;
end;
procedurefac（n:
integer）;
begin
whilen>1do
begin
mult（n,s）;
add（s）;
dec（n）;
end;
end;
begin
read（n）;
last:
=2;s[1]:
=1;
fac（n）;
fori:
=lastdownto1dowrite（s[i]）;
end.
{说明:
本程序基于秦九韶算法，大大减少了乘法的计算次数，优于利用递归求阶乘然后求和的方法。
}
快速幂算法（分治）
整型快速幂代码（n为底数，k为指数）：
intQM（intn,intk）
{
inttmp=n,res=1;
while（k!
=0）
{
if（k&1）res*=tmp;
tmp*=tmp;
k=k>>1;
}
returnres;
}
先将底数转化为高精度数，然后只要将上面的整型全部替换为高精度数即可。
代码如下：
幂为整型：
voidQM_int（hpa,intk,hp&b）
{
hptmp,res;
memcpy（tmp,a,sizeof（tmp））;//复制底数
memset（res,0,sizeof（res））;//清零
res[0]=res[1]=1;
while（k!
=0）
{
if（k&1）mul_hp（res,tmp,res）;
mul_hp（tmp,tmp,tmp）;
k=k>>1;
}
memcpy（b,res,sizeof（b））;
return;
}
幂为高精度（十进制）：
voidQM_int（hpa,hp&k,hp&b）
{
hptmp,res;
memcpy（tmp,a,sizeof（tmp））;//复制底数
memset（res,0,sizeof（res））;//清零
res[0]=res[1]=1;
while（k[0]!
=1||k[1]!
=0）
{
if（change_div_int（k,2,k,10））mul_hp（res,tmp,res）;
mul_hp（tmp,tmp,tmp）;
}
memcpy（b,res,sizeof（b））;
return;
}
排序算法
冒泡排序
vari,j,k:
longint;
fori:
=1ton-1do
forj:
=i+1tondo
ifa[i]>a[j]thenbegin
k:
=a[i];a[i]:
=a[j];a[j]:
=k;end;
插入排序
varkey,i,j:
longint;
forj:
=2tondobegin
key:
=a[j];i:
=j-1;
while（i>0）and（a[i]>key）do
begina[i+1]:
=a[i];dec（i）;end;
a[i+1]:
=key;end;
合并排序
var
l,r:
array[1..6238]oflongint;
q,n1,n2,k:
longint;
ifp=（p+c）shr1elseexit;
sort（p,q）;
sort（q+1,c）;
n1:
=q-p+1;
n2:
=c-q;
fillchar（l,sizeof（l）,0）;
fillchar（r,sizeof（r）,0）;
fori:
=1ton1dol[i]:
=a[p+i-1];
forj:
=1ton2dor[j]:
=a[q+j];
l[n1+1]:
=655360;
r[n2+1]:
=655360;
i:
=1;j:
=1;
fork:
=ptocdo
ifl[i]<=r[j]then
begina[k]:
=l[i];inc（i）;end
else
begina[k]:
=r[j];inc（j）;end;
快速排序
var
i,j,x,temp:
longint;
i:
=s;j:
=t;x:
=a[（i+j）div2];
repeat
whilea[i]whilea[j]>xdodec（j）;{找右边比他小的}
ifi<=jthen{交换}
begin
temp:
=a[i];a[i]:
=a[j];a[j]:
=temp;
inc（i）;dec（j）;
end;
untili>j;
ifsifi数论算法
辗转相除法（最大公约数,最小公倍数）
functiongcd（x,y:
longint）:
longint;
begin
ify=0thengcd:
=xelsegcd:
=gcd（y,xmody）;
end;
素数（筛法）
素数测试
欧拉函数
组合算法
组合数计算
functioncc（a,b:
integer）:
qword;
var
i,j:
integer;
c:
array[0..32,0..32]ofqword;
begin
fillchar（c,sizeof（c）,0）;
fori:
=0to30doc[0,i]:
=1;
fori:
=1toado
forj:
=0tobdo
c[i,j+1]:
=c[i,j]+c[i-1,j];
cc:
=c[a,b];
end;
排列数计算
组合生成算法
排列生成算法
卡特兰数
树和图的算法
前序+中序=>后序
proceduretree（s1,s2:
string）;
vark:
integer;
begin
iflength（s2）=1then
write（s2）
else
begin
k:
=pos（s2[length（s2）],s1）;
write（s1[k]）;
ifk>1then
tree（copy（s1,1,k-1）,copy（s2,1,k-1））;
ifktree（copy（s1,k+1,length（s1）-k）,copy（s2,k,length（s2）-k））;
end;
end;
前序+中序=>后序
前序+后序=>中序
二叉树遍历
查找算法
顺序查找
二分查找
动态规划
0/1背包
贪心算法
部分背包
搜索算法
0/1背包
参考文献：
《数组型高精度数详解》ByNettle
《算法导论》
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