初中数学《特殊的平行四边形》教学设计.docx
《初中数学《特殊的平行四边形》教学设计.docx》由会员分享,可在线阅读,更多相关《初中数学《特殊的平行四边形》教学设计.docx(12页珍藏版)》请在冰豆网上搜索。
初中数学《特殊的平行四边形》教学设计
《特殊的平行四边形》教学设计
【教学目标】
1.知识技能:
掌握矩形、菱形和正方形概念、性质和判定方法,理解它们与平行四边形的区别与联系,会用这些定理进行有关的论证和计算.
2.数学思考:
经历探索矩形、菱形和正方形的性质和基本概念的过程,在操作、观察、分析过程中发展学生思维意识,体会几何说理的基本方法.
3.问题解决:
了解矩形、菱形和正方形的现实应用和常用判别条件.探索并掌握矩形、菱形和正方形的性质和判定并应用解决实际问题.
4.情感态度:
培养良好的思维意识以及合情推理的能力,感悟其应用价值及培养学生的观察能力、动手能力及逻辑思维能力.
【教学重点】
矩形、菱形和正方形的定义性质和判定及矩形、菱形和正方形与平行四边形的联系.
矩形、菱形、正方形都是特殊的平行四边形,它们的性质和判定都是在平行四边形的基础上扩充的.它们的探索方法,也都与平行四边形性质和判定的探索方法一脉相承.也都是以平行四边形的有关定理为依据的,是平行四边形知识的综合应用.
【教学难点】
灵活应用矩形、菱形和正方形性质和判别在实际生活中的应用能力.
平行四边形与各种特殊平行四边形之间的联系与区别,则是本章的教学难点.因为各种平行四边形概念交错,容易混淆,常会出现“张冠李戴”的现象.在应用它们的性质和判定的时候,也常常会出现用错或多用或少用条件的错误.教学中要注意用“集合”的思想,结合教科书中的关系图,分清这些四边形的从属关系,梳理它们的性质和判定方法,是克服这一难点的关键.
【教学过程】
(一)动手操作,引入新课
1.思考:
拿一个活动的平行四边形教具,轻轻拉动一个点,观察不管怎么拉,它还是一个平行四边形吗?
为什么?
(动画1演示过程)2.再次演示平行四边形的移动过程,当移动到一个角是直角时停止,让学生观察这是什么图形?
(小学学过的长方形)引出本课题及矩形定义.
(二)合作交流,探索新知
1、矩形的定义、性质和判定
矩形定义:
有一个角是直角的平行四边形叫做矩形(通常也叫长方形).矩形是我们最常见的图形之一,例如书桌面、教科书的封面等都有矩形形象.探究:
在一个平行四边形活动框架上,用两根橡皮筋分别套在相对的两个顶点上(作出对角线),拉动一对不相邻的顶点,改变平行四边形的形状.①随着∠α的变化,两条对角线的长度分别是怎样变化的?
②当∠α是直角时,平行四边形变成矩形,此时它的其他内角是什么样的角?
它的两条对角线的长度有什么关系?
(图片3演示过程)
操作、思考、交流、归纳后得到矩形的性质.矩形性质1 矩形的四个角都是直角.
矩形性质2 矩形的对角线相等.
如图,在矩形ABCD中,AC、BD相交于点O,由性质2有AO=BO=CO=DO=
AC=
BD.因此可以得到直角三角形的一个性质:
图1
直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.
例1:
已知:
如图1,矩形ABCD的两条对角线相交于点O,∠AOB=60°,AB=4cm,求矩形对角线的长.
分析:
因为矩形是特殊的平行四边形,所以它具有对角线相等且互相平分的特殊性质,根据矩形的这个特性和已知,可得△OAB是等边三角形,因此对角线的长度可求.
解:
∵ 四边形ABCD是矩形,
∴ AC与BD相等且互相平分.
∴ OA=OB.
又∠AOB=60°,
∴△OAB是等边三角形.
∴矩形的对角线长AC=BD=2OA=2×4=8(cm).
例2:
(补充)已知:
如图,矩形ABCD,AB长8cm,对角线比AD边长4cm.求AD的长及点A到BD的距离AE的长.
例2(补充)图例3(补充)图
分析:
(1)因为矩形四个角都是直角,因此矩形中的计算经常要用到直角三角形的性质,而此题利用方程的思想,解决直角三角形中的计算,这是几何计算题中常用的方法.
略解:
设AD=xcm,则对角线长(x+4)cm,在Rt△ABD中,由勾股定理:
x2+82=(x+4)2解得x=6.则AD=6cm.
(2)“直角三角形斜边上的高”是一个基本图形,利用面积公式,可得到两直角边、斜边及斜边上的高的一个基本关系式:
AE×DB=AD×AB,解得AE=.
例3:
(补充)已知:
如图,矩形ABCD中,E是BC上一点,DF⊥AE于F,若AE=BC.求证:
CE=EF.
分析:
CE、EF分别是BC,AE等线段上的一部分,若AF=BE,则问题解决,而证明AF=BE,只要证明△ABE≌△DFA即可,在矩形中容易构造全等的直角三角形.
证明:
∵四边形ABCD是矩形,
∴∠B=90°,且AD∥BC.∴∠1=∠2.
∵DF⊥AE,∴∠AFD=90°.
∴∠B=∠AFD.又AD=AE,
∴△ABE≌△DFA(AAS).
∴AF=BE.
∴EF=EC.
此题还可以连接DE,证明△DEF≌△DEC,得到EF=EC.
2、菱形的定义、性质和判定
(引入)我们已经学习了一种特殊的平行四边形——矩形,其实还有另外的特殊平行四边形,请看演示:
(可将事先按如图做成的一组对边可以活动的教具进行演示)如图,改变平行四边形的边,使之一组邻边相等,从而引出菱形概念.
菱形定义:
有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.
强调:
菱形
(1)是平行四边形;
(2)一组邻边相等.
让学生举一些日常生活中所见到过的菱形的例子.
探究:
菱形的性质,让学生动手利用折纸、剪切的方法,探究、归纳.
方法一:
将一张长方形的纸横对折,再竖对折(如教材P107的探究),然后沿图中的虚线剪下,打开即是菱形纸片;
方法二:
如图1,两张等宽的纸条交叉重叠在一起,重叠的部分ABCD就是菱形;(图片9演示)
图1图2
方法三:
将一张长方形纸对折,再在折痕上取任意长为底边,剪一个等腰三角形,然后打开即是菱形(如图2).
总结:
菱形的性质:
(1)菱形的四条边都相等.
(2)菱形的两条对角线互相垂直,并且每一条对角线平分一组对角.
探索:
菱形的面积公式是什么?
如何证明这个公式?
(提示:
四个全等的直角三角形.)
例1(补充)已知:
如图,四边形ABCD是菱形,F是AB上一点,DF交AC于E.求证:
∠AFD=∠CBE.
例1图例2图
证明:
∵ 四边形ABCD是菱形,
∴ CB=CD,CA平分∠BCD.
∴ ∠BCE=∠DCE.又CE=CE,
∴△BCE≌△COB(SAS).
∴ ∠CBE=∠CDE.
∵ 在菱形ABCD中,AB∥CD,∴∠AFD=∠FDC
∴ ∠AFD=∠CBE.
例2:
已知:
如图,AD是三角形ABC的角平分线,DE∥AC交AB于E,DF∥AB交AC于F,求证:
四边形AEDF是菱形.(提示:
运用定义判定.)
3、正方形的定义、性质和判定
(1)做一做:
用一张长方形的纸片(如图所示)折出一个正方形.
学生在动手做中对正方形产生感性认识,并感知正方形与矩形的关系.问题:
什么样的四边形是正方形?
正方形定义:
有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形.
指出:
正方形是在平行四边形这个大前提下定义的,其定义包括了两层意:
(1)有一组邻边相等的平行四边形(菱形)
(2)有一个角是直角的平行四边形(矩形)
(2)【问题】正方形有什么性质?
由正方形的定义可以得知,正方形既是有一组邻边相等的矩形,又是有一个角是直角的菱形.
所以,正方形具有矩形的性质,同时又具有菱形的性质.
例1:
求证:
正方形的两条对角线把正方形分成四个全等的等腰直角三角形.
已知:
四边形ABCD是正方形,对角线AC、BD相交于点O(如图).
求证:
△ABO、△BCO、△CDO、△DAO是全等的等腰直角三角形.
例1图例2图例3图
证明:
∵ 四边形ABCD是正方形,
∴ AC=BD,AC⊥BD,
AO=CO=BO=DO(正方形的两条对角线相等,并且互相垂直平分).
∴ △ABO、△BCO、△CDO、△DAO都是等腰直角三角形,
并且△ABO≌△BCO≌△CDO≌△DAO.
例2:
(补充)已知:
如图,正方形ABCD中,对角线的交点为O,E是OB上的一点,DG⊥AE于G,DG交OA于F.
求证:
OE=OF.
分析:
要证明OE=OF,只需证明△AEO≌△DFO,由于正方形的对角线垂直平分且相等,可以得到∠AOE=∠DOF=90°,AO=DO,再由同角或等角的余角相等可以得到∠EAO=∠FDO,根据ASA可以得到这两个三角形全等,故结论可得.
证明:
∵四边形ABCD是正方形,
∴∠AOE=∠DOF=90°,AO=DO(正方形的对角线垂直平分且相等).
又DG⊥AE,∴∠EAO+∠AEO=∠EDG+∠AEO=90°.
∴∠EAO=∠FDO.
∴△AEO≌△DFO.
∴OE=OF.
例3:
(补充)已知:
如图,四边形ABCD是正方形,分别过点A、C两点作l1∥l2,作BM⊥l1于M,DN⊥l1于N,直线MB、DN分别交l2于Q、P点.
求证:
四边形PQMN是正方形.
分析:
由已知可以证出四边形PQMN是矩形,再证△ABM≌△DAN,证出AM=DN,用同样的方法证AN=DP.即可证出MN=NP.从而得出结论.
证明:
∵ PN⊥l1,QM⊥l1,
∴PN∥QM,∠PNM=90°.
∵ PQ∥NM,
∴ 四边形PQMN是矩形.
∵四边形ABCD是正方形
∴ ∠BAD=∠ADC=90°,AB=AD=DC(正方形的四条边都相等,四个角都是直角).
∴ ∠1+∠2=90°.
又 ∠3+∠2=90°,∴ ∠1=∠3.
∴△ABM≌△DAN.
∴AM=DN.同理AN=DP.
∴AM+AN=DN+DP
即MN=PN.
∴ 四边形PQMN是正方形(有一组邻边相等的矩形是正方形).
(三)应用新知,体验成功
利用多媒体素材中的“典型例题”进行教学.
(四)课堂小结,体验收获
这堂课你学会了哪些知识?
有何体会?
(学生小结)
今天我们主要学习了矩形、菱形和正方形的定义及性质.
(五)拓展延伸,布置作业
一.选择题(每小题3分,共24分)1.在矩形中,对角线具有的性质是()(A)相等且互相垂直.(B)相等且互相平分.(C)互相垂直且互相平分.(D)互相垂直且平分内角.2.直角三角形中,两条直角边长分别为12和5,则斜边中线长是()(A)26.(B)13.(C)
.(D).3.在四边形ABCD中,AC和BD的交点为O,则不能判断四边形ABCD是矩形的是()(A)AB=CD,AD=BC,AC=BD.(B)AO=CO,BO=DO,∠A=90°.(C)∠A=∠C,∠B+∠C=180°,∠AOB=∠BOC.(D)AB∥CD,AB=CD,∠A=90°.4.如果平行四边形各内角的平分线能够围成一个四边形,则这个四边形是()(A)正方形.(B)矩形.(C)菱形.(D)平行四边形.5.已知菱形的边长等于2,菱形的一条对角线长也是2,则另一条对角线的长是()(A)4.(B).(C)
.(D)3.6.菱形具有而平行四边形不具有的性质是()(A)对边平行.(B)对角相等.(C)对角线互相平分.(D)对角线互相垂直.7.如果a表示一个菱形的对角线的平方和,b表示这个菱形的一边的平方,那么()(A)a=4b.(B)a=2b.(C)a=b.(D)b=4a.8.在四边形ABCD中,O是对角线的交点,能判定这个四边形是正方形的条件是()(A)AC=BD,
.(B)AD∥BC,∠A=∠C.(C)AO=BO=CO=DO,AC⊥BD.(D)AO=CO,BO=OD,AB=BC.二.填空题(每小题3分,共24分)9.矩形ABCD的对角线相交于点O,AB=8cm,∠AOB=60°,则这个矩形的对角线的长是___________cm.10.已知矩形的周长是40cm,被两条对角线分成的相邻两个三角形的周长的差是8cm,则较大的边长为___________cm.11.工人师傅在做门框或矩形零件时,常用测量平行四边形两条对角线是否相等来检测直角的精度,请问工人师傅根据的几何道理是___________.12.已知菱形的两条对角线的长都是8cm,则菱形的边长为___________cm.13.过四边形ABCD的顶点A、B、C、D作对角线AC、BD的平行线,围成四边形EFGH,若四边形EFGH为菱形,则四边形ABCD是___________.14.要使一个平行四边形成为正方形,则需增加的条件是___________.(填上一个正确的结论即可)15.如图1,P是正方形ABCD内一点,将△ABP移动到与△CBP′重合,若BP=3,则PP′=___________.
16.如图2,已知方格纸中是4个相同的正方形,则∠1+∠2+∠3=___________.三.解答题(共50分)17.(10分)如图3,在矩形ABCD中,已知AC、BD相交于点O,EF⊥AC于点O,且交CD于点E,交AB于点F.求证:
四边形BEDF为平行四边形.
18.(10分)如图6,正方形ABCD的对角线AC、BD交于点O,∠OCF=∠OBE.求证:
OF=OE.19.(10分)如图7,正方形ABCD的边长为1cm,AC是对角线,AE平分∠BAC,EF⊥AC于F.
(1)求证:
BE=CF;
(2)求BE的长.
答案与提示:
一.选择题:
;;;;;;;;二.填空题:
9.1610.1411.对角线相等的平行四边形是矩形12.13.对角线相等的四边形14.对角线相等且互相平分或一组对边相等有一个角是直角(答案不唯一)15.16.
三解答题:
17.提示:
先证△DOE≌△BOF.得到DE=BF,再根据一组对边平行且相等证明四边形BEDF为平行四边形.18.提示:
先证△BOE≌△COF.得到OE=OF19.
(1)因为AE平分∠BAC所以BE=EF,又可以证明三角形CEF为等腰直角三角形所以EF=CF所以BE=CF
(2)