高等数学教案ch 4 不定积分.docx
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高等数学教案ch4不定积分
高等数学教案第四章不定积分
教学目的：
第四章不定积分
1、理解原函数概念、不定积分的概念。
2、掌握不定积分的基本公式，掌握不定积分的性质，掌握换元积分法（第一，第二）
与分部积分法。
3、会求有理函数、三角函数有理式和简单无理函数的积分。
教学重点：
1、不定积分的概念；
2、不定积分的性质及基本公式；
3、换元积分法与分部积分法。
教学难点：
1、换元积分法；
2、分部积分法；
3、三角函数有理式的积分。
§4.1不定积分的概念与性质
一、原函数与不定积分的概念
定义1如果在区间I上,可导函数F（x）的导函数为f（x）,即对任一x∈I,都有
F'（x）=f（x）或dF（x）=f（x）dx,
那么函数F（x）就称为f（x）（或f（x）dx）在区间I上的原函数.
例如因为（sinx）'=cosx,所以sinx是cosx的原函数.
又如当x∈（1,+∞）时,
因为（x）'=1,所以x是1的原函数.2x2x
提问:
cosx和1还有其它原函数吗？
2x
原函数存在定理如果函数f（x）在区间I上连续,那么在区间I上存在可导函数F（x）,使对任一x∈I都有
F'（x）=f（x）.
简单地说就是:
连续函数一定有原函数.
两点说明:
第一,如果函数f（x）在区间I上有原函数F（x）,那么f（x）就有无限多个原函数,F（x）+C都是f（x）的原函数,其中C是任意常数.
第二,f（x）的任意两个原函数之间只差一个常数,即如果Φ（x）和F（x）都是f（x）的原函数,则Φ（x）-F（x）=C（C为某个常数）.
高等数学课程建设组1
高等数学教案第四章不定积分
定义2在区间I上,函数f（x）的带有任意常数项的原函数称为f（x）（或f（x）dx）在区间I上的不定积分,记作
⎰f（x）dx.
其中记号⎰称为积分号,f（x）称为被积函数,f（x）dx称为被积表达式,x称为积分变量.
根据定义,如果F（x）是f（x）在区间I上的一个原函数,那么F（x）+C就是f（x）的不定积分,即
⎰f（x）dx=F（x）+C.
因而不定积分⎰f（x）dx可以表示f（x）的任意一个原函数.
例1.因为sinx是cosx的原函数,所以
⎰cosxdx=sinx+C.
因为x是1的原函数,所以2x
例2.求函数f（x）=1的不定积分.x
解：
当x>0时,（lnx）'=1,x
⎰1dx=lnx+C（x>0）;x
当x<0时,[ln（-x）]'=1⋅（-1）=1,-xx
⎰1dx=ln（-x）+C（x<0）.x
合并上面两式,得到
⎰1dx=ln|x|+C（x≠0）.x
例3设曲线通过点（1,2）,且其上任一点处的切线斜率等于这点横坐标的两倍,求此曲线的方程.
解设所求的曲线方程为y=f（x）,按题设,曲线上任一点（x,y）处的切线斜率为y'=f'（x）=2x,
即f（x）是2x的一个原函数.
因为⎰2xdx=x2+C,
高等数学课程建设组2⎰1dx=x+C.x
高等数学教案第四章不定积分故必有某个常数C使f（x）=x2+C,即曲线方程为y=x2+C.
因所求曲线通过点（1,2）,故
2=1+C,C=1.
于是所求曲线方程为y=x2+1.
积分曲线:
函数f（x）的原函数的图形称为f（x）的积分曲线.
从不定积分的定义,即可知下述关系:
d[⎰f（x）dx]=f（x）,dx
或d[⎰f（x）dx]=f（x）dx;
又由于F（x）是F'（x）的原函数,所以
⎰F'（x）dx=F（x）+C,
或记作⎰dF（x）=F（x）+C.
由此可见,微分运算（以记号d表示）与求不定积分的运算（简称积分运算,以记号⎰表示）是互逆的.当记号⎰与d连在一起时,或者抵消,或者抵消后差一个常数.
二、基本积分表
（1）⎰kdx=kx+C（k是常数）,
（2）⎰xμdx=1xμ+1+C,+1
（3）⎰1dx=ln|x|+C,x
（4）⎰exdx=ex+C,x（5）⎰axdx=a+C,lna
（6）⎰cosxdx=sinx+C,
（7）⎰sinxdx=-cosx+C,（8）⎰1dx=sec2xdx=tanx+C,⎰cos2x
（9）⎰1
2=⎰csc2xdx=-cotx+C,sinx
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高等数学教案第四章不定积分
（10）⎰1
=arctanx+C,1+x
（11）⎰1=arcsinx+C,-x2
（12）⎰secxtanxdx=secx+C,
（13）⎰cscxcotdx=-cscx+C,
（14）⎰shxdx=chx+C,
（15）⎰chxdx=shx+C.
例4
例5⎰xdx=⎰x-3dx=-3+1x-3+1+C=-2x+C.111⎰x2xdx=⎰5x2dx7+1122=x+C=x2+C=2x3+C.+17725
例6⎰dx=⎰xx-4x3dx=-4+1x3-+13+C-1=-3x3+C=-3+C.三、不定积分的性质
性质1函数的和的不定积分等各个函数的不定积分的和,即
⎰[f（x）+g（x）]dx=⎰f（x）dx+⎰g（x）dx.
这是因为,[⎰f（x）dx+⎰g（x）dx]'=[⎰f（x）dx]'+[⎰g（x）dx]'=f（x）+g（x）.
性质2求不定积分时,被积函数中不为零的常数因子可以提到积分号外面来,即⎰kf（x）dx=k⎰f（x）dx（k是常数,k≠0）.
例7.⎰x（x-5）dx=⎰
5x2dx-
725（x21-5x2）dx5x2dx-51x2dx=⎰⎰15x2dx3=⎰⎰22=x2-5⋅x2+C.73
32（x-1）3x-3x+3x-1=（x-3+3-1）dx例8⎰dx=⎰⎰22xx2xx
=⎰xdx-3⎰dx+3⎰1dx-⎰1=1x2-3x+3ln|x|+1+C.x2xx
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高等数学教案第四章不定积分例9⎰（ex-3cosx）dx=⎰exdx-3⎰cosxdx=ex-3sinx+C.
例10⎰2xexdx=⎰（2e）xdx=xx（2e）x+C=2e+C.ln（2e）1+ln2
2x+（1+x2）1+x+x例11⎰=⎰=⎰（1
2+1）dx22x（1+x）x（1+x）1+xx
=⎰1
2dx+⎰1dx=arctanx+ln|x|+C.x1+x
44（x2+1）（x2-1）+1xx-1+1例12⎰=⎰=⎰dx1+x21+x21+x2
=⎰（x2-1+1
dx=⎰x2dx-⎰dx+⎰1
1+x1+x
=1x3-x+arctanx+C.3
例13⎰tan2xdx=⎰（sec2x-1）dx=⎰sec2xdx-⎰dx
=tanx-x+C.
例14⎰sin2xdx=⎰1-cosxdx=1⎰（1-cosx）dx222
=
例151（x-sinx）+C.2⎰1=4⎰1
2=-4cotx+C.sinxsin2cos222
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高等数学教案第四章不定积分§4.2换元积分法
一、第一类换元法
设f（u）有原函数F（u）,u=ϕ（x）,且ϕ（x）可微,那么,根据复合函数微分法,有
dF[ϕ（x）]=dF（u）=F'（u）du=F'[ϕ（x）]dϕ（x）=F'[ϕ（x）]ϕ'（x）dx,
所以F'[ϕ（x）]ϕ'（x）dx=F'[ϕ（x）]dϕ（x）=F'（u）du=dF（u）=dF[ϕ（x）],
因此⎰F'[ϕ（x）]ϕ'（x）dx=⎰F'[ϕ（x）]dϕ（x）
=⎰F'（u）du=⎰dF（u）=⎰dF[ϕ（x）]=F[ϕ（x）]+C.
即⎰f[ϕ（x）]ϕ'（x）dx=⎰f[ϕ（x）]dϕ（x）=[⎰f（u）du]u=ϕ（x）
=[F（u）+C]u=ϕ（x）=F[ϕ（x）]+C.
定理1设f（u）具有原函数,u=ϕ（x）可导,则有换元公式
⎰f[ϕ（x）]ϕ'（x）dx=⎰f[ϕ（x）]dϕ（x）=⎰f（u）du=F（u）+C=F[ϕ（x）]+C.
被积表达式中的dx可当作变量x的微分来对待,从而微分等式ϕ'（x）dx=du可以应用到被积表达式中.
在求积分⎰g（x）dx时,如果函数g（x）可以化为g（x）=f[ϕ（x）]ϕ'（x）的形式,那么
⎰g（x）dx=⎰f[ϕ（x）]ϕ'（x）dx=[⎰f（u）du]u=ϕ（x）.
例1.⎰2cos2xdx=⎰cos2x⋅（2x）'dx=⎰cos2xd（2x）
=⎰cosudu=sinu+C=sin2x+C.
例2.⎰3+2x=2⎰3+2x（3+2x）'dx=2⎰3+2xd（3+2x）11111
=1⎰1dx=1ln|u|+C=1ln|3+2x|+C.2u22
例3.⎰2xexdx=⎰ex（x2）'dx=⎰exd（x2）=⎰eudu
=eu+C=ex+C.
例4.⎰x-x2dx=1⎰-x2（x2）'dx=1⎰-x2dx222
=-1⎰-x2d（1-x2）=-1⎰u2du=-1u2+C223
=-1（1-x2）2+C.3
高等数学课程建设组63132222
高等数学教案第四章不定积分例5.⎰tanxdx=⎰sinxdx=-⎰1dcosxcosxcosx
=-⎰1du=-ln|u|+Cu
=-ln|cosx|+C.
=-ln|coxs|+C.即⎰tanxdx
类似地可得⎰cotxdx=ln|sinx|+C.
熟练之后,变量代换就不必再写出了.
例6.⎰a+xdx=a⎰111dx
1+（2
a
=1⎰1x=1arctanx+C.a1+（）2aaa
a
即n+C.⎰a2+x2=aarcta11x
例7.⎰chx=a⎰chxx=ashx+C.aaaa
例8.当a>0时,
1=111xdx=⎰dx=arcs+C.⎰aaaxxa2-x222-（-（aa⎰
即⎰1=arcsx+C.22a-x
例9.⎰x2-a2dx=2a⎰x-a-x+a）dx=2a[⎰x-adx-⎰x+adx]1111111
=1[⎰1d（x-a）-⎰1（x+a）]2ax-ax+a
=1[ln|x-a|-ln|x+a|]+C=1ln|x-a|+C.2a2ax+a
即⎰x-a=2aln|x+a|+C.
⎰x（1+2lnx）=⎰1+2lnx=2⎰dxdlnx1d（1+2lnx）1+2lnx11x-a例10.
=1ln|1+2lnx|+C.2
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例11.⎰e=2⎰ed=2⎰e3xdx3x
=2e+C.3
含三角函数的积分:
例12.⎰sin3xdx=⎰sin2x⋅sinxdx=-⎰（1-cos2x）dcosx
=-⎰dcosx+⎰cos2xdcosx=-cosx+1cos3x+C.3
例13.⎰sin2xcos5xdx=⎰sin2xcos4xdsinx
=⎰sin2x（1-sin2x）2dsinx
=⎰（sin2x-2sin4x+sin6x）dsinx
=1sin3x-2sin5x+1sin7x+C.357
例14.⎰cos2xdx=⎰1+cos2xdx=1（⎰dx+⎰cos2xdx）22
=1⎰dx+1⎰cos2xd2x=1x+1sin2x+C.2424
例15.⎰cos4xdx=⎰（cos2x）2dx=⎰[1（1+cos2x）]2dx2
=1⎰（1+2cos2x+cos22x）dx4
=1⎰3+2cos2x+1cos4x）dx422
=1（3x+sin2x+1sin4x）+C428
=3x+1sin2x+1sin4x+C.8432
例16.⎰cos3xcos2xdx=1⎰（cosx+cos5x）dx2
=1sinx+1sin5x+C.210
1dx例17.⎰cscxdx=⎰1dx=⎰sinx2sincos22
高等数学课程建设组8
高等数学教案第四章不定积分
dxdtanx
=ln|tanx|+C=ln|cscx-cotx|+C.=⎰=⎰2tancos2tan222
xdx即⎰csc=ln|cscx-cotx|+C.
例18.⎰secxdx=⎰csc（x+πdx=ln|csc（x+π）-cot（x+π）|+C222
=ln|secx+tanx|+C.
xdx即⎰sec=ln|secx+tanx|+C.
二、第二类换元法
定理2设x=ϕ（t）是单调的、可导的函数,并且ϕ'（t）≠0.又设f[ϕ（t）]ϕ'（t）具有原函数F（t）,则有换元公式
⎰f（x）dx=⎰f[ϕ（t）]ϕ'（t）dt=F（t）=F[ϕ-1（x）]+C.
其中t=ϕ-1（x）是x=ϕ（t）的反函数.
这是因为
{F[ϕ-1（x）]}'=F'（t）dt=f[ϕ（t）]ϕ'（t）1=f[ϕ（t）]=f（x）.dxdt
例19.求⎰2-x2dx（a>0）.
解:
设x=asint,-πdx=acostdt,于是
⎰a2-x2dx=⎰acost⋅acostdt
=a2⎰cos2tdt=a21t+1sin2t）+C.24
因为t=arcsin22x,sin2t=2sintcost=2x⋅a-x,所以aaa
⎰2a11a-xdx=a（t+sin2t）+C=arcsinx+1xa2-x2+C.2a224222
解:
设x=asint,-π高等数学课程建设组9
高等数学教案第四章不定积分⎰a2-x2dx=⎰acost⋅acostdt
2=a2⎰cos2tdt=a21t+1sin2t）+C=aarcsinx+1xa2-x2+C.2a224
提示:
2-x2=a2-a2sin2t=acost,dx=acostdt.
22提示:
t=arcsinx,sin2t=2sintcost=2x⋅-x.aaa
例20.求⎰dx（a>0）.x2+a2
解法一:
设x=atant,-πx2+a2=2+a2tan2t=a+tan2t=asect,dx=asec2tdt,于是
⎰2dxasect=sectdt=ln|sect+tant|+C.=⎰⎰asectx2+a2
22因为sect=x+a,tant=x,所以aa
⎰dx=ln|sect+tant|+C=ln（x+x2+a2）+C=ln（x+x2+a2）+C,1aax2+a2
其中C1=C-lna.
解法一:
设x=atant,-π⎰dx=asec2tdt=sectdt=ln|sect+tant|+C⎰asect⎰x2+a2
22xx+a=+）+C=ln（x+x2+a2）+C1,aa
其中C1=C-lna.
提示:
x2+a2=2+a2tan2t=asect,dx=asec2tdt,
22提示:
sect=x+a,tant=x.aa
解法二:
设x=asht,那么
高等数学课程建设组10
高等数学教案第四章不定积分⎰dx=⎰acht=⎰dt=t+C=arshx+Cachtax2+a2
⎛⎫=lnx+（x）2+1⎪+C=ln（x+x2+a2）+C1,a⎝a⎭
其中C1=C-lna.
提示:
x2+a2=2sh2t+a2=acht,dx=achtdt.
例23.求⎰dx（a>0）.x2-a2
解:
当x>a时,设x=asect（0x2-a2=a2sec2t-a2=a2t-1=atant,
于是
⎰dx=⎰asecttant=⎰sectdt=ln|sect+tant|+C.atantx2-a2
22因为tant=x-a,sect=x,所以aa
⎰dx=ln|sect+tant|+C=ln|x+x2-a2|+C=ln（x+x2-a2）+C,1aax2-a2
其中C1=C-lna.
当xa,于是
⎰dx=-⎰du=-ln（u+2-a2）+Cx2-a22-a2
=-ln（-x+x2-a2）+C=ln（-x-x2-a2）+C1,
22-x-x-a=ln+C=ln（-x-x2-a2）+C1,a
其中C1=C-2lna.
综合起来有
⎰
dx=ln|x+x2-a2|+C.x2-a2
解:
当x>a时,设x=asect（0高等数学课程建设组11
高等数学教案第四章不定积分⎰dx=⎰asecttant=⎰sectdt22atantx-a
22=ln|sect+tatn|+C=lnx+x-a）+Caa
（+x2-a2）+C,=lnx
其中C1=C-lna.
当x<-a时,令x=-u,则u>a,于是
⎰dx=-⎰du=-ln（u+2-a2）+Cx2-a22-a2
2222-x-x-a=-ln（-x+x-a）+C=ln+Ca=ln（-x-x2-a2）+C1,
其中C1=C-2lna.
提示:
x2-a2=2sec2t-a2=a2t-1=atant.
22x-a提示:
tant=,sect=x.aa
综合起来有
⎰dx=ln|x+x2-a2|+C.x2-a2
补充公式:
（16）⎰tanxdx=-ln|cosx|+C,
（17）⎰cotxdx=ln|sinx|+C,
（18）⎰secxdx=ln|secx+tanx|+C,
（19）⎰cscxdx=ln|cscx-cotx|+C,（20）⎰
（21）⎰
（22）⎰
（23）⎰1=1x+C,aaa+x221=1ln|x-a|+C,2ax+ax-a1=arcsinx+C,aa2-x2dx=ln（x+x2+a2）+C,x2+a2
高等数学课程建设组12
高等数学教案第四章不定积分
（24）⎰
dx=ln|x+x2-a2|+C.x2-a2
§4.3分部积分法
设函数u=u（x）及v=v（x）具有连续导数.那么,两个函数乘积的导数公式为
（uv）'=u'v+uv',
移项得uv'=（uv）'-u'v.
对这个等式两边求不定积分,得
⎰uv'dx=uv-⎰u'vdx,或⎰udv=uv-⎰vdu,
这个公式称为分部积分公式.
分部积分过程:
⎰uv'dx=⎰udv=uv-⎰vdu=uv-⎰u'vdx=⋅⋅⋅.
例1⎰xcosxdx=⎰xdsinx=xsinx-⎰sinxdx=xsinx-cosx+C.
例2⎰xexdx=⎰xdex=xex-⎰exdx=xex-ex+C.
例3⎰x2exdx=⎰x2dex=x2ex-⎰exdx2
=x2ex-2⎰xexdx=x2ex-2⎰xdex=x2ex-2xex+2⎰exdx
=x2ex-2xex+2ex+C=ex（x2-2x+2）+C.
例4⎰xlnxdx=1⎰lnxdx2=1x2lnx-1⎰x2⋅1dx222x
=1x2lnx-1⎰xdx=1x2lnx-1x2+C.2224
例5⎰arccosxdx=xarccosx-⎰xdarccosx
=xarccosx+⎰x1-x2
1-=xarccosx-1⎰（1-x2）d（1-x2）=xarccosx--x2+C.2
例6⎰xarctanxdx=1⎰arctanxdx2=1x2arctanx-1⎰x2⋅1
dx2221+x
=1x2arctanx-1⎰（1-1
dx221+x
高等数学课程建设组13
高等数学教案第四章不定积分=1x2arctanx-1x+1arctanx+C.222
例7求⎰exsinxdx.
解因为⎰exsinxdx=⎰sinxdex=exsinx-⎰exdsinx
=exsinx-⎰excosxdx=exsinx-⎰cosxdex
=exsinx-excosx+⎰exdcosx
=exsinx-excosx+⎰exdcosx
=exsinx-excosx-⎰exsinxdx,
所以⎰exsinxdx=1ex（sinx-cosx）+C.2
例8求⎰sec3xdx.
解因为
⎰sec3xdx=⎰secx⋅sec2xdx=⎰secxdtanx
=secxtanx-⎰secxtan2xdx
=secxtanx-⎰secx（sec2x-1）dx
=secxtanx-⎰sec3xdx+⎰secxdx
=secxtanx+ln|secx+tanx|-⎰sec3xdx,
cxdx=1（secxtanx+ln|secx+tanx|）+C.所以⎰se3
2
例9求In=⎰dx,其中n为正整数.（x+a）解I1=⎰2dx2=1x+C;ax+aa
当n>1时，用分部积分法,有
2dxxx⎰=+2（n-1）⎰（x+a）（x+a）（x+a）
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高等数学教案第四章不定积分=x1a2dx,+2（n-1）[-⎰（x+a）（x+a）（x+a）x+2（n-1）（In-1-a2In）,22n-1（x+a）即In-1=
于是In=1[x+（2n-3）In-1].2a（n-1）（x+a）以此作为递推公式,并由I1=
例10求⎰edx.1xarctan+C即可得In.aa
解令x=t2,则,dx=2tdt.于
⎰edx=2⎰tetdt=2et（t-1）+C=2e（x-1）+C.
⎰edx=⎰ed（x）2=2⎰xed
=2⎰xdex=2xex-2⎰exdx
=2xe-2e+C=2e（x-1）+C.
第一换元法与分部积分法的比较:
共同点是第一步都是凑微分
⎰f[ϕ（x）]ϕ'（x）dx=⎰f[ϕ（x）]dϕ（x）令ϕ（x）=u⎰f（u）du,
⎰u（x）v'（x）dx=⎰u（x）dv（x）=u（x）v（x）-⎰v（x）du（x）.
哪些积分可以用分部积分法？
⎰xcosxdx,⎰xexdx,⎰x2exdx;
⎰xlnxdx,⎰arccosxdx,⎰xarctanxdx;
⎰exsinxdx,⎰sec3xdx.
⎰2xexdx=⎰exdx2=⎰eudu=⋅⋅⋅,
⎰x2exdx=⎰x2dex=x2ex-⎰exdx2=⋅⋅⋅.
高等数学课程建设组1522
高等数学教案第四章不定积分§4.4几种特殊类型函数的积分
一、有理函数的积分
有理函数的形式:
有理函数是指由两个多项式的商所表示的函数,即具有如下形式的函数:
P（x）a0xn+a1xn-1+⋅⋅⋅+an-1x+an,=
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