概率论与数理统计复习题带答案.docx

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概率论与数理统计复习题带答案

;第一章

一、填空题

1.若事件A二B且P（A）=0.5,P（B）=0.2,贝UP（A—B）=（0.3）。

2.甲、乙各自同时向一敌机炮击，已知甲击中敌机的概率为0.7,乙击中敌机的概率为

0.8.求敌机被击中的概率为（0.94）。

3.设A、E、C为三个事件，则事件A,B,C中不少于二个发生可表示为

（ABACBC）。

4.三台机器相互独立运转，设第一，第二，第三台机器不发生故障的概率依次为0.9,0.8,

0.7,则这三台机器中至少有一台发生故障的概率为（0.496）。

5.某人进行射击，每次命中的概率为0.6独立射击4次，则击中二次的概率为

（0.3456）。

6.设A、B、C为三个事件，则事件A,B与C都不发生可表示为（ABC）。

7.设A、B、C为三个事件，则事件A,B,C中不多于一个发生可表示为

（ABACBC）;

8.若事件A与事件B相互独立，且P（A）=0.5,P（B）=0.2,贝UP（A|B）=（0.5）;

9.甲、乙各自同时向一敌机炮击，已知甲击中敌机的概率为0.6,乙击中敌机的概率为0.5.求

敌机被击中的概率为（0.8）;

10.若事件A与事件B互不相容，且P（A）=0.5,P（B）=0.2,贝UP（A-B）=（0.5）

11.三台机器相互独立运转，设第一，第二，第三台机器不发生故障的概率依次为0.8,0.8,

0.7,则这三台机器中最多有一台发生故障的概率为（0.864）。

12.若事件A—：

B且P（A）=0.5,P（B）=0.2,贝UP（AB）=（0.3）;

13.若事件A与事件B互不相容，且P（A）=0.5,P（B）=0.2,贝UP（AB）=（0.5）

14.A、B为两互斥事件，则A（S）

15.A、B、C表示三个事件，则A、B、C恰有一个发生可表示为

（abc+AbC+Abc）

16.若P（A）=0.4,P（B）=0.2,P（AB）=0.1则P（AB|AB）二（0.2）

17.A、B为两互斥事件，则AB=（S）

1

18.保险箱的号码锁定若由四位数字组成，则一次就能打开保险箱的概率为

（1）。

10000

二、选择填空题

1.对掷一骰子的试验，在概率中将“出现偶数点”称为（D）

A、样本空间B、必然事件C、不可能事件D、随机事件

2.某工厂每天分3个班生产，A表示第i班超额完成任务（i=1,2,3）,那么至少有两个班超

额完成任务可表示为（B）

AA1A2A3A1A2AAAAb

AAA+人八2人+人人2人+AAA

AA2A3

cAA2A

3•设当事件A与B同时发生时C也发生，则（C）.

（A）AB是C的子事件；（B）ABC；或ABC;

（C）AB是C的子事件；（D）C是AB的子事件

4.如果A、B互不相容，则（C

）

B

、AB是必然事件

A、

A与E是对立事件

C、

AB是必然事件

D

、A与B互不相容

5.若AB

-门，则称A与B（B

）

A

相互独立B、互不相容C、对立D、

构成完备事件组

6.

若AB二:

：

'，则（

C）

A

A与B是对立事件

B、AB是必然事件

C

AB是必然事件

D、A与B互不相容

7.

A、E为两事件满足

B-A-B，则一定有（B）

A

A=：

•：

」B、AB:

=C、AB=D、

B=A

&

甲、乙两人射击，A、

E分别表示甲、乙射中目标，贝U

AB表示（D

）

A、两人都没射中E、两人都射中C、至少一人没射中D、至少一人射中

三、计算题

1.用3台机床加工同一种零件，零件由各机床加工的概率分别为0.4,0.4,0.2;各机床加工的零

件的合格品的概率分别为0.92,0.93,0.95,求全部产品的合格率.

解：

设B表示产品合格，A表示生产自第i个机床（i=1,2,3）

3

P（B）「P（AJP（B|A）=0.40.920.40.930.20.95=

iA

2.设工厂A、B和C的产品的次品率分别为1%、2%和3%,A、B和C厂的产品分别占50%、40%和10%混合在一起，从中随机地抽取一件，发现是次品，则该次品属于A厂生产的概率是

多少？

解：

设D表示产品是次品，A,A,A3表示生产自工厂A、B和C

P（Ai|D）二

P（AJP（D|A）

3

P（A）P（D|A）

0.01沁0.5

0.010.50.020.40.030.1

3•设某批产品中，甲，乙，丙三厂生产的产品分别占45%,35%,20%,各厂的产品的次品率分

别为4%,2%,5%,现从中任取一件

（1）求取到的是次品的概率；

⑵经检验发现取到的产品为次品，求该产品是甲厂生产的概率.

解：

设D表示产品是次品，A1,A2,A3表示生产自工厂甲，乙，丙

3

P（D）7P（A）P（DIA）=0.450.040.350.020.20.05=0.026

i4

P（AJD）=

P（A）P（DIAJ

P7D

0.450.049

-13

4•某工厂有三个车间，生产同一产品，第一车间生产全部产品的60%第二车间生产全部

产品的30%第三车间生产全部产品的10%各车间的不合格品率分别为0.01,0.05,0.04,

任取一件产品，试求抽到不合格品的概率？

解：

设D表示产品是不合格品，A（,A2,As表示生产自第一、二、三车间

3

P（D）「P（A）P（DIA）=0.60.010.30.050.10.04=0.025

y

5.设工厂A和工厂B的产品的次品率分别为1%和2%，现从由A和B的产品分别占60%和40%的一批产品中随机地抽取一件，发现是次品，则该次品属于A厂生产的概率是多少？

解：

设D表示产品是次品，A,A表示生产自工厂A和工厂B

P（A1|D）=2P（A）P（D|A）迟P（A）P（D|A）

i1

0.010.6

0.010.60.020.4

6•在人群中，患关节炎的概率为

10%,由于检测水平原因

_3

7

真的有关节炎能够检测出有关节炎

的概率为85%.真的没有而检测出有的概率为4%,假设检验出其有关节炎，问他真有关节炎的概率是多少？

解：

设A表示检验出其有关节炎，B表示真有关节炎

P（B|A）二

P（B）P（A|B）

P（B）P（A|B）P（B）P（A|B）

0.1汉0.85

0.10.850.90.04

=0.7025

一、填空题

1.已知随机变量X的分布律为:

-101

0.10.40.5

0.4

2.设球的直径的测量值X服从［1,4上的均匀分布，则X的概率密度函数为

1

I—,兰x兰4

f（x）3

0,其他

3.

设随机变量X~B（5,0.3），贝yE（X）为（

1.5

设随机变量X~B（6,0.2）

分布律为

P{X=k}=Ck0.2k0.85-k,k=0,1"t6

5.

X

已知随机变量X的分布律为：

一

P

-101

0.10.40.5

则P{X

（0.6

设随机变量X的分布函数为F（x）=」

JJ3x立八

3,当x>°,则X

当x<0.

的概率密度函数

0,

f（x）=3*,当x°,

0,当x兰0.

设随机变量X~N（*；「2）,则随机

丫二服从的

CF

X~N（0,1）

X

8.已知离散型随机变量X的分布律为一

P

-2

-1013

3a1/63aa11/30

则常数

a=（1/15）；

A

9•设随机变量X的分布律为：

P{X=k},k=1,2,…,10.则常数A=（1

10

10.设离散型随机变量

X的分布律为

-324

P0.20.50.3

，F（x）为X的分布函数,

则F

（2）=

0.7）;

11.已知随机变量

X的概率密度为f（X）=«

5x

5e

0,

则X的分布函数为

F（x）

‘-5x小

1-e,x0

0,x乞0

12.已知随机变量X只能取-1,0,1,2四个值，相应概率依次为

2c

357

—,—,—，则常数

4c8c16c

c=（

16/37

）.

13.已知X是连续型随机变量，密度函数为px，且px在x处连续，Fx为其分布函

数，贝UFx=（

P（x）

14.X是随机变量，其分布函数为Fx，则X为落在a,b1内的概率

P\aX_b：

=（F（b）-F（a））。

15.已知X是连续型随机变量，a为任意实数，则P「X=a：

=（0）。

2

1—

16.已知X是连续型随机变量，且X〜N0,1,则密度函x=（-=e2）。

J2兀

17.已知X是连续型随机变量，密度函数为px,P:

aX_b?

=

b

p（x）dx）。

a

18•已知X是连续型随机变量，且X〜N0,1,Gx是X的分布函数，若门a=0.3,则

：

•：

」-a=（0.7）。

19.

设随机变量X〜N（6,4）,

且已知：

:

（）=0.8413，则P{4乞X乞8}=（

0.6826

20.

已知X是连续型随机变量

，且X〜Ua,b，则密度函数为

f（x）=

0,其他

）°

、选择填空题

1.三重贝努力试验中，至少有一次成功的概率为

1

A.-

4

1

B.-

3

37

，则每次试验成功的概率为

64

3

C.一

4

2

D.-

3

（A）°

C

2,x

2.设随机变量X的密度函数fX二1x2b，其他

0,1

，则常数C为（

A.

B.-

C.-

71

兀

D.

4

3.

X〜N注，二2，则概率

P{X-」：

：

：

2}（D）

A.

与」和二有关

B.

与」有关，与匚无关

C.

与匚有关，与，无关

D.

仅与k有关

A.0.1B.0.3C.0.6

D.1.0

5.已知X〜N0,1,Y=2X-1

A.N0,1B.N-1,4C.N-1,3

D.N-1,1

X

0

1

2

3

P

0.1

0.1

0.2

0.6

6.已知随机变量X的分布率为

则P（X2）=（D）。

A.0.1B.0.2C.0.4D.0.6

7.在相同情况下，独立地进行5次射击，每次射击时，命中目标的概率为0.6,则击中目标的次数

X的概率分布率为（A）o

A.二项分布B（5,0.6）B.泊松分布P（5）C.均匀分布U0.6,5D.正态分布

1...

a上x上b

&px=b-a，是（C

[o,其他

A.指数

B.二项

）分布的概率密度函数.

C.均匀D.泊松

三、计算题

1.设随机变量X~N（1,4），求：

F（5）和P{0：

：

：

X<1.6}o

：

」（0.2）=0.5793,"（0.3）=0.6179,「（0.4）=（0.6554）,「（0.5）=0.6915

：

」（0）=0.5,门

（1）=0.8413,门

（2）=0.9772,门（3）=0.9987

X-15

解：

F（5）=P{X乞5}=P{}=门

（2）=0.9772

22

0x-116

P{0:

:

X汨.6}=卩{}=「（0.3）—门（一0.5）（0.3）「（0.5）—1=0.3094

222

2.设X:

N（34『,求P{4X<8t,P0乞X导（可以用标准正态分布的分布函数表示）

P{4:

X<8HP{43'3乞=「（5）_「（丄）

44444

0_3x_35—3

P{0X—5}=P{}=：

：

」（0.5）-：

：

」（一0.75）—：

」（0.5）亠氓（0.75）-1

444

4.已知随机变量的分布率为

X

-1

0

1

2

P

0.1

0.2

0.3

0.4

F（x）为其分布函数，则F（3）=（C）。

2

3•设随机变量X~N（2,；_），且P{2：

：

：

X<4}-0.3，求P{X：

：

：

0}。

2—2X—24—22

P{2:

:

:

X^4}=P{}-：

•：

」（）一G（0）=0.3

CTCTCTCF

遨（—）=0.8

X-20-2_22

P{X:

:

:

0HP{}二"）二1一门

（一）=0.2

eraacr

4•设随机变量X的分布律为

X

-1

-2

0

1

p

1

1

1

1

—

—

—

4

3

12

3

2

求丫二X-1的分布律。

X

-1-201

Pi

1111

43123

Y=X2-1

03-10

Y

-1

0

3

P

1

7

1

12

12

3

5•某工厂生产螺栓和垫圈，螺栓直径（以毫米计）X:

N（10,0.22），垫圈直径（以毫米计）

Y:

N（10.5,0.22），X，Y相互独立，随机的选一只垫圈和一个螺栓，求螺栓能装入垫圈的概率。

解：

X-Y:

N（-0.5,20.22）

c。

十器}=6（1.768）

0.2.2

X—丫+0.5P{X:

:

Y}=P{X-Y：

：

0}=P{

0.2辺

6.设随机变量X的概率分布率如下表

X

1

2

3

Pk

%

?

6

55

求X的分布函数和P{X}。

42

初551

解：

P{:

：

:

X：

：

}=P{X=2}=

423

02—5）

7•设随机变量Y的概率密度函数为pyi=?

0.2cy,（0:

:

:

y^1）,求

（1）常数c;、0,（其他）

⑵P{0_Y_0.5}。

:

:

01c

解:

（°-:

P（y）dy=.」°砌.0（0.2cy）dy=°.20.2石"

c=1.2

0.5

（2）P{0EY兰0.5}=J0（0.2+1.2y）dy=0.2x0.5+0.6x0.25=0.25第三章

一、填空题

1•设连续型随机变量X,Y的概率密度分别为概率密度f（x,y）=（fX（x）fY（y）

2.已知X~N（-1,32）,Y~N（1,42）

（X~N（0,25））

fx（x）,fY（y），且X与Y相互独立，则（X,Y）的

）°

且X与Y相互独立，则XY~

X

-1-200.5

Y

-0.513

P

1111

43123

P

111

244

二、计算题

1•设X与Y相互独立，其概率分布如表所示,D（Y）。

求：

（1）（X,Y）的联合分布，

（2）E（X）,

Y

X

-0.5

1

3

-1

1

1

1

8

16

16

1

1

1

-2

—

—

—

6

12

12

1

1

1

0

24

48

48

1

1

1

0.5

6

12

12

E（X）二-1

1_211

432

9

12

11113

E（Y）13-

22444

E（Y2）J-1191m21

424

d（…Emm2辛存33

2•设（X,Y）的分布律如下

1

2

3

1

1/6

1/9

1/18

2

1/3

1/9

2/9

求X与Y的边缘分布•并判别X与Y是否独立。

X

1

2

P

1

2

3

3

Y

1

2

3

P

1

2

5

18

2

9

P{X=1}P{Y=2}Z二-2=p{x=1,丫=2}^1

39279

X与Y不独立。

3.设随机变量（X,Y）的概率分布如下表所示:

-1

0

1

2

-1

0.2

0.15

0.1

0.3

2

0.1

0

0.1

0.05

求X与Y的边缘分布，X和Y是否独立

X

-1

2

P

0.75

0.25

Y

-1

0

1

2

P

0.3

0.15

0.2

0.35

P{X=「1}P{Y--1}=0.750.3=0.225=P{X=1,Y=2}=0.2

X与Y不独立

第四章

一、填空题

1•若随机变量X服从泊松分布X~p（入），则D（X）=（

2.若随机变量X和Y不相关，则D（X-Y）=（D（X）+D（Y）

3.若随机变量X和Y互相独立，则E（XY）=（E（X）E（Y）

22

4.若随机变量X服从正态分布X~N（），则D（X）=（匚）。

5.若随机变量X在区间［1,4］上服从均匀分布X~U（1,4），贝UE（X）=（2.5）。

6.已知随机变量X与Y的期望分别为E（X）=3,E（Y）=5,随机变量Z=3X-2Y，则期望E（Z）=

-1）。

9.若随机变量X服从二项分布X~B（4,0.5），贝UD（X）=

（1）；；

22

11若已知E（X）,D（X），则E（X）=D（X）（（E（X）））。

12.已知随机变量X与Y的期望分别为E（X）=2,E（Y）=5,随机变量Z=5X-2Y，则期望E（Z）=（0）•

13.若随机变量X服从二项分布X~B（n,p），贝UD（X）=（np（1-p））。

14.设X~U（1,3），贝UE（X）=

（2）。

15.随机变量X和Y相互独立，且D（X）=5,D（Y）=6求随机变量Z=2X-3Y的方差D（Z）=

（74）

16.X是随机变量，且X〜p5，则E（X）=（

、选择填空题

-1.1=—D。

3k

1.已知X

PX=kF宀5,,,•，则e3x2

A.3

B.12

C.30

D.33

2.

随机变量

A.

-1

B.0

C.1

D.2

3.

随机变量

X的分布率为PlX

2k

二k，二k=0,1,2,3，则D（2X）=—D。

ek!

A.

B.2

C.4

D.8

4.

为

已知随机变量（B）。

X服从二项分布，且E（X）=2.4,D（X）=1.44,则二项分布的参数n,p的值分别

A.

B.

n=6,p=0.4C.n=8,p=0.3

D.n=24,p=0.1

5.

已知X的密度函数为

p（x）=“

0.5,x^b,2】

廿儿则X的数学期望

其他，

E（X）=（B

1

A.-

2

B.

C.2

D.

6.X,Y是互相独立的随机变量，EX=6,EY=3,则E2X-Y=（A）。

A.9

B.15C.21D.27

7.设X的概率密度函数为

p（x）」T0"

X_°,则E（2X+1）=

°,X£°

A.1.4B.41

C.21

D.2°

&X,Y是互相独立的随机变量

DX[=6,DYi=3,则D2X-Y=（

D）。

A.9

B.15C.21D.27

三、计算题

1•设二维随机变量的联合概率分布为

X

-2

0

1

-1

0.3

0.1

0.1

1

0.05

0.2

0

2

0.2

0

0.05

求：

（1）X与Y的边缘分布，

（2）E（X），D（Y）。

X

-1

1

2

Y

-2

0

1

P

0.5

0.25

0.25

P

0.55

0.3

0.15

E（X）»10.510.2520.25=0.25

E（Y）二20.5510.15--0.95

2

E（Y）=40.5510.15=2.35

222

D（Y）二E（Y）-（E（Y））=2.35-0.95=1.4475

1XY

2•已知X：

N（1,32）,Y：

N（0,42）,「xy,设Z，求Z的期望与方差，求X与Z

232

的相关系数。

111

E（Z）E（X）E（Y）蔦

323

D（Z）」D（X）」D（Y）2-1cov（X,Y）

9432

=-D（X）-D（Y）21

943

1

2，xyJD（X）JD（Y）

=-91-6_21

943

?

XZ

Xycov（X,）_cov（X,Z）_='32

」D（X厂D（Z）—3.3

1

D（X）2

cov（X,Y）

=0

X^^Y^

0

1

2

0

3/28

9/28

3/28

1

3/14

3/14

0

2

1/28

0

0

3.设（X,Y）服从分布

，试求cov（X,Y）及「xy。

33

E（XY）=11-

1414

311

E（X）=12-

7282

1533

E（Y）=12-

28284

cov（X,Y）=E（XY）-E（X）E（Y）

313

"

1424

9

56

2314

E（X）=14-

7287

E（Y2）-1154-27

282828

224

D（X“E（X）-（E（X））74

__9

28

D（Y）二E（Y2）_（E（Y））2=27_9=0.4018

2816

"誥治=-0.447

5.设（X，Y）服从分布

0

1

2

0

3/28