数值计算方法期末考试题.docx
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数值计算方法期末考试题
一、单项选择题(每小题3分,共15分)
1.和分别作为的近似数具有()和()位有效数字.
A.4和3B.3和2
C.3和4D.4和4
2.已知求积公式,则=()
A.B.C.D.
3.通过点的拉格朗日插值基函数满足()
A.=0,B.=0,
C.=1,D.=1,
4.设求方程的根的牛顿法收敛,则它具有()敛速。
A.超线性B.平方C.线性D.三次
5.用列主元消元法解线性方程组作第一次消元后得到的第3个方程().
A.B.
C.D.
单项选择题答案
二、填空题(每小题3分,共15分)
1.设,则,.2.一阶均差3.已知时,科茨系数,那么4.因为方程在区间上满足,所以在区间内有根。
5.取步长,用欧拉法解初值问题的计算公式.
填空题答案
1.9和
2.
3.
4.
5.
三、计算题(每题15分,共60分)
1.已知函数的一组数据:
求分段线性插值函数,并计算的近似值.
计算题1.答案
1.解,
,
所以分段线性插值函数为
2.已知线性方程组
(1)写出雅可比迭代公式、高斯-塞德尔迭代公式;
(2)对于初始值,应用雅可比迭代公式、高斯-塞德尔迭代公式分别计算(保留小数点后五位数字).
计算题2.答案
1.解原方程组同解变形为雅可比迭代公式为高斯-塞德尔迭代法公式用雅可比迭代公式得用高斯-塞德尔迭代公式得
3.用牛顿法求方程在之间的近似根
(1)请指出为什么初值应取2
(2)请用牛顿法求出近似根,精确到.
计算题3.答案
3.解,,
,,,故取作初始值
迭代公式为
,
,,
,
方程的根
4.写出梯形公式和辛卜生公式,并用来分别计算积分.
计算题4.答案
4解梯形公式
应用梯形公式得
辛卜生公式为
应用辛卜生公式得
四、证明题(本题10分)
确定下列求积公式中的待定系数,并证明确定后的求积公式具有3次代数精确度
证明题答案
证明:
求积公式中含有三个待定系数,即,将分别代入求积公式,并令其左右相等,得
得,。
所求公式至少有两次代数精确度。
又由于
故具有三次代数精确度。
一、填空(共20分,每题2分)
1.设,取5位有效数字,则所得的近似值x=.
2.设一阶差商,则二阶差商
3.设,则,。
4.求方程的近似根,用迭代公式,取初始值,那么5.解初始值问题近似解的梯形公式是6、,则A的谱半径=。
7、设,则和。
8、若线性代数方程组AX=b的系数矩阵A为严格对角占优阵,则雅可比迭代和高斯-塞德尔迭代都。
9、解常微分方程初值问题的欧拉(Euler)方法的局部截断误差为。
10、为了使计算的乘除法运算次数尽量的少,应将表达式改写成。
填空题答案
1、2、
3、6和
4、5、
6、
7、
8、收敛
9、10、
二、计算题(共75分,每题15分)
1.设
(1)试求在上的三次Hermite插值多项式使满足
以升幂形式给出。
(2)写出余项的表达式
计算题1.答案
1、
(1)
(2)
2.已知的满足,试问如何利用构造一个收敛的简单迭代函数,使0,1…收敛
计算题2.答案
2、由,可得,
3.试确定常数A,B,C和a,使得数值积分公式有尽可能高的代数精度。
试问所得的数值积分公式代数精度是多少它是否为Gauss型的
计算题3.答案
3、,该数值
求积公式具有5次代数精确度,它是Gauss型的
4.推导常微分方程的初值问题的数值解公式:
(提示:
利用Simpson求积公式。
)
计算题4.答案
4、数值积分方法构造该数值解公式:
对方程在区间上积分,
得,记步长为h,
对积分用Simpson求积公式得
所以得数值解公式:
5.利用矩阵的LU分解法解方程组
计算题5.答案
5、解:
三、证明题(5分)
1.设,证明解的Newton迭代公式是线性收敛的。
证明题答案
1、
一、填空题(20分)
(1).设是真值的近似值,则有位有效数字。
(2).对,差商()。
(3).设,则。
(4).牛顿—柯特斯求积公式的系数和。
填空题答案
(1)3
(2)1(3)7(4)1
二、计算题
1).(15分)用二次拉格朗日插值多项式的值。
插值节点和相应的函数值是(0,0),(,),(,)。
计算题1.答案
1)
2).(15分)用二分法求方程区间内的一个根,误差限。
计算题2.答案
2)
3).(15分)用高斯-塞德尔方法解方程组,取,迭代三次(要求按五位有效数字计算).。
计算题3.答案
3)迭代公式
4).(15分)求系数
。
计算题4.答案
4)
5).(10分)对方程组
试建立一种收敛的Seidel迭代公式,说明理由
计算题5.答案
5)解:
调整方程组的位置,使系数矩阵严格对角占优
故对应的高斯—塞德尔迭代法收敛.迭代格式为取,经7步迭代可得:
.
三、简答题
1)(5分)在你学过的线性方程组的解法中,你最喜欢那一种方法,为什么
2)(5分)先叙述Gauss求积公式,再阐述为什么要引入它。
简答题答案
1)凭你的理解去叙述。
2)参看书本99页。
一、填空题(20分)
1.若a=是的近似值,则a有()位有效数字.
2.是以为插值节点的Lagrange插值基函数,则
().
3.设f(x)可微,则求方程的牛顿迭代格式是().
4.迭代公式收敛的充要条件是。
5.解线性方程组Ax=b(其中A非奇异,b不为0)的迭代格式中的B称为().给定方程组,解此方程组的雅可比迭代格式为()。
填空题答案
1.3
2.3.
4.5.迭代矩阵,
二、判断题(共10分)
1.若,则在内一定有根。
()
2.区间[a,b]上的三次样条函数是一个次数不超过三次的多项式。
()
3.若方阵A的谱半径,则解方程组Ax=b的Jacobi迭代法收敛。
()
4.若f(x)与g(x)都是n次多项式,且在n+1个互异点上,则。
()
5.用近似表示产生舍入误差。
()
判断题答案
1.×2.×3.×4.√5.×
三、计算题(70分)
1.(10分)已知f(0)=1,f(3)=,f(4)=,求过这三点的
二次插值基函数l1(x)=(),=(),插值多项式P2(x)=(),用三点式求得().
计算题1.答案
1.
2.(15分)已知一元方程。
1)求方程的一个含正根的区间;
2)给出在有根区间收敛的简单迭代法公式(判断收敛性);
3)给出在有根区间的Newton迭代法公式。
计算题2.答案
2.
(1)
(2)
(3)
3.(15分)确定求积公式的待定参数,使其代数精度尽量高,并确定其代数精度.
计算题3.答案
4.(15分)设初值问题.
(1)写出用Euler方法、步长h=解上述初值问题数值解的公式;
(2)写出用改进的Euler法(梯形法)、步长h=解上述初值问题数值解的公式,并求解,保留两位小数。
计算题4.答案
4.
5.(15分)取节点,求函数在区间上的二次插值多项式,并估计误差。
计算题5.答案
5.
=1+2(
,
一、填空题(每题4分,共20分)
1、数值计算中主要研究的误差有和。
2、设是n次拉格朗日插值多项式的插值基函数,则;。
3、设是区间上的一组n次插值基函数。
则插值型求积公式的代数精度为;插值型求积公式中求积系数;且。
4、辛普生求积公式具有次代数精度,其余项表达式为。
5、则。
填空题答案
1.相对误差绝对误差
2.1
3.至少是nb-a
4.3
5.10
二、计算题
1、已知函数的相关数据
由牛顿插值公式求三次插值多项式,并计算的近似值。
计算题1.答案
解:
差商表
由牛顿插值公式:
2、(10分)利用尤拉公式求解初值问题,其中步长,。
计算题2.答案
解:
3、(15分)确定求积公式
。
中待定参数的值,使求积公式的代数精度尽量高;并指出此时求积公式的代数精度。
计算题3.答案
解:
分别将,代入求积公式,可得。
令时求积公式成立,而时公式不成立,从而精度为3。
4、(15分)已知一组试验数据如下:
求它的拟合曲线(直线)。
计算题4.答案
解:
设则可得
于是,即。
5、(15分)用二分法求方程在区间内的根时,若要求精确到小数点后二位,
(1)需要二分几次;
(2)给出满足要求的近似根。
计算题5.答案
解:
6次;。
6、(15分)用列主元消去法解线性方程组
计算题6.答案
解:
即
一、填空题(25分)
1).设x*=是真值x=的近似值,则x*有位有效数字。
2).,。
3).求方程根的牛顿迭代格式是。
4).已知,则,。
5).方程求根的二分法的局限性是。
填空题答案
1)4;2)1,0;3);4)7,6;
5)收敛速度慢,不能求偶重根。
二、计算题
1).(15分)已知
(1)用拉格朗日插法求的三次插值多项式;
(2)求,使。
计算题1.答案
解:
2).(15分)试求使求积公式的代数精度尽量高,并求其代数精度。
计算题2.答案
解:
由等式对精确成立得:
解此方程组得
又当时左边右边
此公式的代数精度为2
3).(15分)取步长h=,用梯形法解常微分方程初值问题
计算题3.答案
3)梯形法为
即
迭代得
4).(15分)用列主元消去法求解方程组并求出系数矩阵A的行列式detA的值.
计算题4.答案
解:
先选列主元,2行与1行交换得消元;
3行与2行交换;消元;
回代得解;行列式得
5).(15分)用牛顿(切线)法求的近似值。
取x0=,计算三次,保留五位小数。
计算题5.答案
5).解:
是的正根,,牛顿迭代公式为
,即
取x0=,列表如下:
一、填空题(每题4分,共20分)
1、辛普生求积公式具有次代数精度,其余项表达式为。
2、则。
3、设是区间上的一组n次插值基函数。
则插值型求积公式的代数精度为;插值型求积公式中求积系数;且。
4、设是n次拉格朗日插值多项式的插值基函数,则;。
5、按四舍五入原则数与具有五位有效数字的近似值分别为和。
填空题答案
1、3
2、
3、1
4、至少是n
5、
二、计算题
1、(10分)已知数据如下:
求形如拟合函数。
计算题1.答案
解:
2、(15分)用二次拉格朗日插值多项式计算。
插值节点和相应的函数值如下表。
计算题2.答案
解:
过点的二次拉格朗日插值多项式为
代值并计算得。
3、(15分)利用改进的尤拉方法求解初值问题,其中步长
。
计算题3.答案
解:
4、(15分)已知
(1)推导以这三点为求积节点在上的插值型求积公式
;
(2)指明求积公式所具有的代数精度;(3)用所求公式计算。
计算题4.
(1)答案
计算题4.
(2)&(3)答案
(2)所求的求积公式是插值型,故至少具有2次代数精度,再将代入上述公式,可得
故代数精度是3次。
(3)由
(2)可得:
。
(1)所求插值型的求积公式形如:
。
5、(15分)讨论用Jacobi和Gauss-Seidel迭代法求解方程组Ax=b的收敛性,如果收敛,比较哪种方法收敛快。
其中.
计算题5.答案
解:
三、简述题(本题10分)
叙述在数值运算中,误差分析的方法与原则是什么
简述题答案
解:
数值运算中常用的误差分析的方法有:
概率分析法、向后误差分析法、区间分析法等。
误差分析的原则有:
1)要避免除数绝对值远远小于被除数绝对值的除法;2)要避免两近数相减;3)要防止大数吃掉小数:
4)注意简化计算步骤,减少运算次数。
一、填空(共25分,每题5分)
1、,则A的谱半径=
2、设则和
3、若x=,,则x*的近似数具有位有效数字.
4、抛物线求积公式为.
5、设可微,求方程根的牛顿迭代公式是。
填空题答案
1、;
2、;
3、4;
4、;
5、.
二、计算题
1).(15分)设
(1)试求在上的三次Hermite插值多项式使满足,以升幂形式给出。
(2)写出余项的表达式
计算题1.答案
(1)
(2)
2).(15分)设有解方程的迭代法:
(1)证明,均有(为方程的根);
(2)取用此迭代法求方程根的近似值,误差不超过,列出各次迭代值;
(3)此迭代的收敛阶是多少,证明你的结论。
计算题2.答案
(1)
(2)取,则有各次迭代值
取,其误差不超过
(3)
故此迭代为线性收敛。
3).(15分)确定下列求积公式中的待定参数,使其代数精确度尽量高,并指明求积公式所具有的代数精确度
.
计算题3.答案
令代入公式精确成立,得;
解得,得求积公式
对;故求积公式具有2次代数精确度。
4).(15分)用Gauss消去法求解下列方程组
计算题4.答案
本题是Gauss消去法解具体方程组,只要直接用消元公式及回代公式直接计算即可。
;
故.
5).(15分)已知方程组,其中
(1)试讨论用Jacobi迭代法和Gauss-Seidel迭代法求解此方程组的收敛性。
(2)若有迭代公式,试确定一个的取值范围,在这个范围内任取一个值均能使该迭代公式收敛。
计算题5.答案
(1),因此两种迭代法均收敛。
(2)当时,该迭代公式收敛。