数理逻辑考试题及答案之欧阳法创编.docx

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数理逻辑考试题及答案之欧阳法创编

“离散数学”数理逻辑部分考核试题答案

时间：

2021.03.09

创作：

欧阳法

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一、命题逻辑基本知识（5分）

1、将下列命题符号化（总共4题，完成的题号为学号尾数取4的余，完成1题。

共2分）

（0）小刘既不怕吃苦，又爱钻研。

解：

Øp∧q，其中，P：

小刘怕吃苦；q：

小刘爱钻研。

（1）只有不怕敌人，才能战胜敌人。

解：

q→Øp，其中，P：

怕敌人；q：

战胜敌人。

（2）只要别人有困难，老张就帮助别人，除非困难已经解决了。

解：

Ør→（p→p），其中，P：

别人有困难；q：

老张帮助别人；r：

困难解决了。

（3）小王与小张是亲戚。

解：

p，其中，P：

小王与小张是亲戚。

2、判断下列公式的类型（总共5题，完成的题号为学号尾数取5的余，完成1题。

共1分）

（0）A：

（Ø（p«q）®（（pÙØq）Ú（ØpÙq）））Úr

（1）B：

（pÙØ（q®p））Ù（rÙq）

（2）C：

（p«Ør）®（q«r）

（3）E：

p®（pÚqÚr）

（4）F：

Ø（q®r）Ùr

解：

用真值表判断，A为重言式，B为矛盾式，C为可满足式，E为重言式，F为矛盾式。

3、判断推理是否正确（总共2题，完成的题号为学号尾数取2的余，完成1题。

共2分）

（0）设y=2|x|，x为实数。

推理如下：

如y在x=0处可导，则y在x=0处连续。

发现y在x=0处连续，所以，y在x=0处可导。

解：

设y=2|x|，x为实数。

令P：

y在x=0处可导，q：

y在x=0处连续。

由此，p为假，q为真。

本题推理符号化为：

（p®q）Ùq®p。

由p、q的真值，计算推理公式真值为假，由此，本题推理不正确。

（1）若2和3都是素数，则6是奇数。

2是素数，3也是素数。

所以，5或6是奇数。

解：

令p:

2是素数，q:

3是素数，r:

5是奇数，s:

6是奇数。

由此，p=1，q=1，r=1，s=0。

本题推理符号化为：

（（pÙq）→s）ÙpÙq）→（rÚs）。

计算推理公式真值为真，由此，本题推理正确。

二、命题逻辑等值演算（5分）

1、用等值演算法求下列公式的主析取范式或主合取范式（总共3题，完成的题号为学号尾数取3的余，完成1题。

共2分）

（0）求公式p→（（q∧r）∧（p∨（Øq∧Ør）））的主析取范式。

解：

p→（（q∧r）∧（p∨（Øq∧Ør）））ÛØp∨（q∧r∧p）∨（q∧r∧Øq∧Ør）

ÛØp∨（q∧r∧p）∨0Û（p∧q∧r）∨Û（Øp∧1∧1）∨（q∧r∧p）

Û（Øp∧（q∨Øq）∧（r∨Ør））∨（q∧r∧p）Û（Øp∧（q∨Øq）∧（r∨Ør））∨m7

Û（Øp∧Øq∧Ør）∨（Øp∧Øq∧r）∨（Øp∧q∧Ør）∨（Øp∧q∧r）∨m7

Ûm0∨m1∨m2∨m3∨m7.

（1）求公式Ø（Ø（p→q））∨（Øq→Øp）的主合取范式。

解：

Ø（Ø（p→q））Ú（Øq→Øp）Û（p→q）Ú（p→q）Û（p→q）

ÛØpÚqÛM2.

（2）求公式（p→（p∨q））∨r的主析取范式。

解：

（p→（pÚq））ÚrÛØpÚ（pÚq）ÚrÛ（ØpÚpÚqÚr）Û1

Ûm0∨m1∨m2∨m3∨m4∨m5∨m6∨m7.

2、应用分析（总共2题，完成的题号为学号尾数取2的余，完成1题。

共3分）

（0）某村选村委，已知赵炼玉、钱谷王、孙竹湾被选进了村委，三村民甲、乙、丙预言：

甲预言：

赵炼玉为村长，钱谷王为村支书。

乙预言：

孙竹湾为村长，赵炼玉为村支书。

丙预言：

钱谷王为村长，赵炼玉为村妇女主任。

村委分工公布后发现，甲乙丙三人各预测正确一半。

赵炼玉、钱谷王、孙竹湾各担任什么职务？

解：

设P1：

赵炼玉为村长，p2：

钱谷王为村长，p3：

孙竹湾为村长，

q1：

赵炼玉为村支书，q2:

钱谷王为村支书，r1：

赵炼玉为村妇女主任。

判断公式FÛ（（p1ÙØq2）Ú（Øp1Ùq2））Ù（（p3ÙØq1）Ú（Øp3Ùq1））Ù（（p2ÙØr1）Ú（Øp2Ùr1））

ÛØp1Ùq2Ùp3ÙØq1ÙØq2Ùr1Û1Ûq2Ùp3ÙÙr1，

由此，钱谷王为村支书，孙竹湾为村长，赵炼玉为村妇女主任。

说明：

p1、p2、p3有且仅有一个为真，q1、q2有且仅有一个为真。

一个人不能担任两职，一个职务不可由两人同时担任。

（1）某公司派赵、钱、孙、李、周五人出国学习。

选派条件是：

①若赵去，钱也去。

②李、周两人必有一人去。

③钱、孙两人去且仅去一人。

④孙、李两人同去或同不去。

⑤如周去，则赵、钱也同去。

如何选派他们出国？

解：

①设p：

派赵去，q：

派钱去，r：

派孙去，s：

派李去，u：

派周去。

②

（1）（p®q）

（2）（sÚu）（3）（（qÙØr）Ú（ØqÙr））

（4）（（rÙs）Ú（ØrÙØs））（5）（u®（pÙq））

③

（1）~（5）构成的合取式为：

A=（p®q）Ù（sÚu）Ù（（qÙØr）Ú（ØqÙr））Ù（（rÙs）Ú（ØrÙØs））Ù（u®（pÙq））

Û（ØpÙØqÙrÙsÙØu）Ú（pÙqÙØrÙØsÙu）

由此可知，A的成真赋值为00110与11001，

因而派孙、李去（赵、钱、周不去），或派赵、钱、周去（孙、李不去）。

三、命题逻辑推理（5分）

在自然推理系统中，构造下列推理过程（总共3题，完成的题号为学号尾数取3的余，完成1题。

共5分）

（0）如果张老师出国，则若李老师出国，王老师出国。

现在的情况是张老师与李老师都要出国。

所以，王老师不出国，则孙老师出国。

解：

形式化：

p：

张老师出国；q：

李老师出国；r：

王老师出国；s：

孙老师出国。

前提：

p®（q®r），pÙq

结论：

Ør®s

证明：

①p®（q®r）【前提引入】

②ØpÚ（ØqÚr）ÛpÙq®r【①置换】

③pÙq【前提引入】

④r【②③假言推理】

⑤rÚs【④附加规则】

⑥ØØr∨s【⑤置换】

⑦Ør®s【⑥置换】证毕。

（1）若张同学与李同学是乐山人，则王同学是雅安人，若王同学是雅安人，则他喜欢吃雅鱼，然而，王同学不喜欢吃雅鱼，张同学是乐山人。

所以，李同学不是乐山人。

解：

形式化：

p：

张同学是乐山人；q：

李同学是乐山人；r：

王同学是雅安人；s：

王同学喜欢吃雅鱼。

前提：

（pÙq）®r，r®s，Øs，p

结论：

Øq

证明：

①（pÙq）®r【前提引入】

②r®s【前提引入】

③（pÙq）®s【①②假言三段论】

④Øs【前提引入】

⑤Ø（pÙq）【③④拒取式】

⑥ØpÚØq【⑤置换】

⑦p【前提引入】

⑧Øq【⑥⑦析取三段论】

证毕。

（2）若n是偶数并且大于5，则m是奇数。

只有n是偶数，m才大于6。

现有n大于5。

所以，若m大于6，则m是奇数。

解：

形式化：

p：

n是偶数；q：

n大于5；r：

m是奇数；s：

m大于6。

前提：

（pÙq）®r，s®p，q

结论：

s®r

证明：

①q【前提引入】

②ØsÚq【①附加规则】（这是证明的关键）

③s®q【②置换】

④s®p【前提引入】

⑤（s®q）Ùq（s®p）【③④合取】

⑥s®（pÙq）【⑤置换】

⑦（pÙq）®r【前提引入】

⑧s®r【⑥⑦假言三段论】

证毕。

四、一阶逻辑的基本概念（5分）

1、一阶逻辑命题形式化（总共6题，完成的题号为学号尾数取6的余，完成1题。

共2分）

（0）人人都生活在地球上。

解：

"x（F（x）→G（x）），其中，F（x）：

x是人，G（x）：

x生活在地球上。

（1）有的人长着金色的头发。

解：

$x（F（x）ÙG（x）），其中，F（x）：

x是人，G（x）：

x长着金色的头发。

（2）没有能表示成分数的无理数。

解：

Ø$x（F（x）ÙG（x）），其中，F（x）：

x是无理数，G（x）：

x能表示成分数。

（3）说所有的男人比所有的女人力气大是不正确的。

解：

Ø"x"y（F（x）ÙG（y）→S（x,y）），其中，F（x）：

x是男人，G（x）：

x是女人，S（x,y）：

x比y力气大。

（4）有的学生不住在校内。

解：

$x（F（x）ÙØG（x）），其中，F（x）：

x是学生，G（x）：

x住在校内。

（5）说有的男人比所有的女人力气大是正确的。

。

解：

$x（F（x）Ù"y（G（x）→S（x,y））），

其中，F（x）：

x是男人，G（x）：

x是女人，S（x,y）：

x比y力气大。

2、给出下列公式的一个成真解释和一个成假解释（总共3题，完成的题号为学号尾数取3的余，完成1题。

共3分）

（0）"x（F（x）ÚG（x））

解：

取解释I1：

个体域为人的集合，F（x）：

x是男人，G（x）：

x是女人。

则在I1解释下，"x（F（x）ÚG（x））为真命题。

取解释I2：

个体域为人的集合，F（x）：

x是中国人，G（x）：

x是美国人。

则在I2解释下，"x（F（x）ÚG（x））为假命题。

（1）$x（F（x）ÙG（x）ÙH（x））

解：

取解释I1：

个体域为人的集合，F（x）：

x是教师，G（x）：

x是党员，H（x）：

x是班主任。

则在I1解释下，$x（F（x）ÙG（x）ÙH（x））为真命题。

取解释I2：

个体域为人的集合，F（x）：

x是男人，G（x）：

x是女人，H（x）：

x是班主任。

则在I2解释下，$x（F（x）ÙG（x）ÙH（x））为假命题。

（2）$x（F（x）Ù"y（G（y）ÙH（x,y）））

解：

取解释I1：

个体域为整数集合，F（x）：

x是正整数，G（x）：

x是负整数，H（x,y）：

x比y大。

则在I1解释下，$x（F（x）Ù"y（G（y）ÙH（x,y）））为真命题。

取解释I2：

个体域为自然数集合，F（x）：

x是奇数，G（x）：

x是偶数，H（x,y）：

x比y大。

则在I2解释下，$x（F（x）Ù"y（G（y）ÙH（x,y）））为假命题。

五、一阶逻辑等值演算（5分）

1、证明等值式（总共2题，完成的题号为学号尾数取2的余，完成1题。

共1分）

（0）证明等值式：

"x（A（x）®B）Û$xA（x）®B。

证明：

"x（A（x）®B）Û"x（ØA（x）ÚB）Û"xØA（x）ÚB

ÛØ$xA（x）ÚBÛ$xA（x）→B。

（1）证明等值式：

$x（A（x）®B）Û"xA（x）®B。

解：

$x（A（x）®B）Û$x（ØA（x）ÚB）Û$xØA（x）ÚB

ÛØ"xA（x）ÚBÛ"xA（x）→B

2、给出下列公式的前束范式（总共4题，完成的题号为学号尾数取4的余，完成1题。

共2分）

（0）Ø"x（F（x）→G（x））

解：

Ø"x（F（x）→G（x））Û$xØ（ØF（x）ÚG（x））Û$x（F（x）ÙØG（x））

（1）Ø$x（F（x）ÙG（x））

解：

Ø$x（F（x）ÙG（x））Û"xØ（F（x）ÙG（x））Û"x（ØF（x）ÚØG（x））Û"x（F（x）→ØG（x））

（2）$yF（x,y）Ù"xG（x,y,z）

解：

$yF（x,y）Ù"xG（x,y,z）Û$yF（u,y）Ù"xG（x,v,z）Û$y"x（F（u,y）ÙG（x,v,z））

（3）"xF（x）→$y（G（x,y）ÙH（x,y））

解：

"xF（x）→$y（G（x,y）ÙH（x,y））Û"zF（z）→$y（G（x,y）ÙH（x,y））

Û"z（F（z）→$y（G（x,y）ÙH（x,y）））Û"z$y（F（z）→（G（x,y）ÙH（x,y）））

3、例证（总共2题，完成的题号为学号尾数取2的余，完成1题。

共2分）

（0）举例说明“"对Ú无分配律”。

解：

"对Ú无分配律指：

不存在等价关系"x（A（x）ÚB（x））Û"xA（x）Ú"xB（x）。

例如，取解释I：

个体域为人的集合，F（x）：

x是男人，G（x）：

x是女人。

"x（A（x）ÚB（x））的真值为真，而"xA（x）Ú"xB（x）的真值为假。

（1）举例说明“$对Ù无分配律”。

解：

$对Ù无分配律指：

不存在等价关系$x（A（x）ÙB（x））Û$xA（x）Ù$xB（x）。

例如，取解释I：

个体域为人的集合，F（x）：

x是男人，G（x）：

x是女人。

$x（A（x）ÙB（x））的真值为假，而$xA（x）Ù$xB（x））的真值为真。

六、一阶逻辑推理（5分）

在自然推理系统中，构造下列推理过程（总共2题，完成的题号为学号尾数取2的余，完成1题。

共5分）

（0）每个喜欢步行的人都不喜欢骑自行车，每个人或者喜欢骑自行车或者喜欢乘汽车，有的人不喜欢乘汽车。

所以，有的人不喜欢步行。

（个体域为人类集合）

解：

形式化：

F（x）：

x喜欢步行；G（x）：

x喜欢骑自行车；H（x）：

x喜欢乘汽车。

前提：

"x（F（x）→ØG（x）），"x（G（x）ÚH（x）），$xØH（x）

结论：

$xØF（x）

证明：

①"x（F（x）→ØG（x））【前提引入】

②F（y）→ØG（y）【"-】

③"x（G（x）ÚH（x））【前提引入】

④G（y）ÚH（y）【"-】

⑤ØG（y）→H（y）【④置换】

⑥F（y）→H（y）【②⑤假言三段论】

⑦ØH（y）→ØF（y）【⑥置换】

⑧ØH（y）→$xØF（x）【⑦$+】

⑨$xØH（x）→$xØF（x）【⑧$+】

⑩$xØH（x）【前提引入】

⑾$xØF（x）【⑨⑩假言推理】

证毕。

（1）每个科学工作者都是刻苦钻研的，每个刻苦钻研而又聪明的人在他的事业中都将获得成功。

王大海是科学工作者，并且聪明。

所以，王大海在他的事业中将获得成功。

（个体域为人类集合）

解：

形式化：

F（x）：

x是科学工作者；G（x）：

x刻苦钻研；H（x）：

x聪明；I（x）：

x事业成功；a:

王大海。

前提：

"x（F（x）→G（x）），"x（G（x）ÙH（x）→I（x）），F（a），H（a）。

结论：

I（a）

证明：

①F（a）【前提引入】

②"x（F（x）→G（x））【前提引入】

③F（a）→G（a）【②"-】

④G（a）【①③假言推理】

⑤H（a）【前提引入】

⑥"x（G（x）ÙH（x）→I（x））【前提引入】

⑦G（a）ÙH（a）→I（a）【⑥"-】

⑧G（a）ÙH（a）【④⑤合取】

⑨I（a）【⑦⑧假言推理】

证毕。

时间：

2021.03.09

创作：

欧阳法