《83 实际问题与二元一次方程组》教案导学案同步练习.docx
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《83实际问题与二元一次方程组》教案导学案同步练习
《8．3 实际问题与二元一次方程组》教案
第1课时 利用二元一次方程组解决实际问题
【教学目标】
能根据具体问题的数量关系，会列二元一次方程组解决和差倍分、几何图形、增长率、盈亏、行程等实际问题．（重点、难点）
【教学过程】
一、情境导入
古算题：
“我问开店李三公，众客都来到店中，一房七客多七客，一房九客一房空．问有几客几房中？
”题目大意：
一些客人到李三公的店中住宿，若每间房住7人，就会有7人没地方住；若每间房住9人，就会空一间房．问有多少间房？
多少客人？
你能解答这个问题吗？
二、合作探究
探究点一：
利用二元一次方程组解决实际问题
【类型一】和差倍分问题
某船的载重量为300吨，容积为1200立方米，现有甲、乙两种货物要运，其中甲种货物每吨体积为6立方米，乙种货物每吨体积为2立方米，要充分利用这艘船的载重和容积，甲、乙两种货物应各装多少吨？
解析：
已知量：
（1）甲种货物每吨体积为6立方米；
（2）乙种货物每吨体积为2立方米；（3）船的载重量为300吨；（4）船的容积为1200立方米．
未知量：
甲、乙两种货物应装的质量各为多少吨．若以x、y表示它们的吨数，则甲种货物的体积为6x立方米，乙种货物的体积为2y立方米．
相等关系：
“充分利用这艘船的载重量和容积”的意思是“货物的总质量等于船的载重量”且“货物的体积等于船的容积”．即
甲种货物质量,↓,x））＋,）乙种货物质量,↓,y））＝,）船的总载重量,↓,300））
甲种货物体积,↓,6x））＋,）乙种货物体积,↓,2y））＝,）船的总容积,↓,1200））
解：
设甲种货物装x吨，乙种货物装y吨．由题意，得
解得
答：
甲、乙两种货物各装150吨．
方法总结：
列方程组解应用题一般都要经历“审、设、找、列、解、答”这六个步骤，其关键在于审清题意，找相等关系．设未知数时，一般是求什么，设什么，并且所列方程的个数与未知数的个数相等．
【类型二】变化率问题
为了解决民工子女入学难的问题，我市建立了一套进城民工子女就学的保障机制，其中一项就是免交“借读费”．据统计，去年秋季有5000名民工子女进入主城区中小学学习，预测今年秋季进入主城区中小学学习的民工子女将比去年有所增加，其中小学增加20%，中学增加30%，这样今年秋季将新增1160名民工子女在主城区中小学学习．
（1）如果按小学每年收“借读费”500元、中学每年收“借读费”1000元计算，求今年秋季新增的1160名中小学生共免收多少“借读费”；
（2）如果小学每40名学生配备2名教师，中学每40名学生配备3名教师，按今年秋季入学后，民工子女在主城区中小学就读的学生人数计算，一共需配备多少名中小学教师？
解析：
解决此题的关键是求出今年秋季入学的学生中，小学和初中各有民工子女多少人．欲求解这个问题，先要求出去年秋季入学的学生中，小学和初中各有民工子女多少人．
解：
（1）设去年秋季在主城区小学学习的民工子女有x人，在主城区中学学习的民工子女有y人．则
解得
20%x＝680，
30%y＝480，500×680＋1000×480＝820000（元）＝82（万元）．
答：
今年秋季新增的1160名中小学生共免收82万元“借读费”；
（2）今年秋季入学后，在小学就读的民工子女有3400×（1＋20%）＝4080（人），在中学就读的民工子女有1600×（1＋30%）＝2080（人），需要配备的中小学教师（4080÷40）×2＋（2080÷40）×3＝360（名）．
答：
一共需配备360名中小学教师．
方法总结：
在解决增长相关的问题中，应注意原来的量与增加后的量之间的换算关系：
增长率＝（增长后的量－原量）÷原量．
【类型三】行程问题
A、B两码头相距140km，一艘轮船在其间航行，顺水航行用了7h，逆水航行用了10h，求这艘轮船在静水中的速度和水流速度．
解析：
设这艘轮船在静水中的速度为xkm/h，水流速度为ykm/h，列表如下：
路程
速度
时间
顺流
140km
（x＋y）km/h
7h
逆流
140km
（x－y）km/h
10h
解：
设这艘轮船在静水中的速度为xkm/h，水流速度为ykm/h.由题意，得
解得
答：
这艘轮船在静水中的速度为17km/h，水流速度为3km/h.
方法总结：
本题关键是找到各速度之间的关系，顺速＝静速＋水速，逆速＝静速－水速；再结合公式“路程＝速度×时间”列方程组．
探究点二：
利用二元一次方程组解决几何问题
小敏做拼图游戏时发现：
8个一样大小的小长方形恰好可以拼成一个大的长方形，如图①所示．小颖看见了，也来试一试，结果拼成了如图②所示的正方形，不过中间留下一个边长恰好为2cm的小正方形空白，你能算出每个小长方形的长和宽各是多少吗？
解析：
在图①中大长方形的长有两种表现形式，一种是5个小长方形的宽的和，另一种是3个小长方形的长的和；在图②中，大正方形的边长也有两种表现形式，一种是1个小长方形的长和2个小长方形的宽的和，另一种从中间看为2个小长方形的长与小正方形的边长的和，由此可设未知数列出方程组求解．
解：
设小长方形的长为xcm，宽为ycm.由题意，得
解得
答：
每个小长方形的长为10cm，宽为6cm.
方法总结：
本题考查了同学们的观察能力，通过观察图形找等量关系，建立方程组求解，渗透了数形结合的思想．
三、板书设计
列方程组,解决问题）
【教学反思】
通过“古算题”，把同学们带入实际生活中的数学问题情景，学生体会到数学中的“趣”．进一步强调课堂与生活的联系，突出显示数学教学的实际价值，培养学生的人文精神，使学生形成积极参与数学活动、主动与他人合作交流的意识
第2课时 利用二元一次方程组解决较复杂的问题
【教学目标】
1．会列二元一次方程组解决图表信息问题；（难点）
2．会列二元一次方程组解决方案问题．（难点）
【教学过程】
一、情境导入
你能根据这对父子的对话内容，分别求出这两块农田今年的产量吗？
二、合作探究
探究点一：
图表信息问题
餐馆里把塑料凳整齐地叠放在一起（如图），根据图中的信息计算有20张同样塑料凳整齐地叠放在一起时的高度是________cm.
解析：
设塑料凳凳面的厚度为xcm，腿高hcm，根据题意得
解得
则20张塑料凳整齐地叠放在一起时的高度是20＋3×20＝80（cm）．故答案是80.
方法总结：
在利用方程或方程组解决实际问题时，有时根据需要间接设出未知数，再利用中间量求出结果．含图表问题中，要擅长观察图形或表格，利用图表中的信息．
探究点二：
决策问题
某商场计划用40000元从厂家购进若干部新型手机，以满足市场需求．已知该厂家生产三种不同型号的手机，出厂价分别为甲型号手机每部1200元，乙型号手机每部400元，丙型号手机每部800元．
（1）若全部资金只用来购进其中两种不同型号的手机共40部，请你研究一下商场的进货方案；
（2）商场每销售一部甲型号手机可获利120元，每销售一部乙型号手机可获利80元，每销售一部丙型号手机可获利120元，那么在同时购进两种不同型号手机的几种方案中，哪种进货方案获利最多？
解析：
根据题意有三种购买方案：
①甲、乙；②甲、丙；③乙、丙．然后根据所含等量关系求出每种方案的进货数．
解：
（1）①若购甲、乙两种型号．设购进甲型号手机x1部，乙型号手机y1部．根据题意，得
解得
所以购进甲型号手机30部，乙型号手机10部；
②若购甲、丙两种型号．设购进甲型号手机x2部，丙型号手机y2部．
根据题意，得
解得
所以购进甲型号手机20部，丙型号手机20部；
③若购乙、丙两种型号．设购进乙型号手机x3部，丙型号手机y3部．
根据题意，得
解得
因为x3表示手机部数，只能为正整数，所以这种情况不合题意，应舍去．
综上所述，商场共有两种进货方案．
方案1：
购甲型号手机30部，乙型号手机10部；
方案2：
购甲型号手机20部，丙型号手机20部；
（2）方案1获利：
120×30＋80×10＝4400（元）；
方案2获利：
120×20＋120×20＝4800（元）．
所以，第二种进货方案获利最多．
方法总结：
仔细读题，找出相等关系．当用含未知数的式子表示相等关系时，要注意不同型号的手机数量和单价要对应．
三、板书设计
利用方程组解决较复杂的实际问题
【教学反思】
通过问题的解决使学生进一步认识数学与现实世界的密切联系，乐于接触生活环境中的数学信息，愿意参与数学话题的研讨，从中懂得数学的价值，逐步形成运用数学的意识．并且通过对问题的解决，培养学生合理优化的经济意识，增强他们节约和有效合理利用资源的意识
《8.3实际问题与二元一次方程组》导学案
第1课时利用二元一次方程组解决实际问题
【学习目标】：
1.初步掌握列二元一次方程组解应用题，学会构建实际问题中的等量关系，培养分析问题、解决问题的能力.
2.小组合作，探究算术方法与方程思想在解决应用问题中的差异与联系，大胆想象，充分质疑.
3.激情投入，培养严谨的数学思维习惯，感受学习数学的乐趣.
【重点】：
根据等量关系列二元一次方程组解应用题.
【难点】：
根据题意找出等量关系，列出方程组.
【自主学习】
一、知识链接
1.二元一次方程组的定义是什么？
2.二元一次方程组的解法有哪些？
3.列方程解决实际问题，一般有哪些步骤?
二、新知预习
1.如何正确的设出恰当的未知数？
2.如何从问题中找出相等关系？
3.列二元一次方程组解应用题时，应该找出几个相等关系？
三、自学自测
1.现有5元和10元的人民币共12张，共计85元，问其中5元、10元的人民币各有几张？
【课堂探究】
要点探究
探究点1：
列方程组解决简单实际问题
问题1：
养牛场原有30只大牛和15只小牛，1天约用饲料675kg；一周后又购进12只大牛和5只小牛，这时1天约用饲料940kg.饲养员李大叔估计每只大牛1天约需饲料18到20kg，每只小牛1天约需饲料7到8kg.你认为李大叔估计的准确吗？
思考：
（1）题中有哪些未知量，你如何设未知数？
（2）题中有哪些等量关系？
问题2：
随着养牛场规模逐渐扩大，李大叔需聘请饲养员协助管理现有的42头大牛和20头小牛，已知甲种饲养员每人可负责8头大牛和4头小牛，乙种饲养员每人可负责5头大牛和2头小牛，请问李大叔应聘请甲乙两种饲养员各多少人？
典例精析
例1.某市举办中学生足球比赛，规定胜一场得3分，平一场得1分.市第二中学足球队比赛11场，没有输过一场，共得27分，试问该队胜几场，平几场？
归纳总结：
用二元一次方程组解决实际问题的步骤：
（1）审题：
弄清题意和题目中的_________；
（2）设元：
用___________表示题目中的未知数；
（3）列方程组：
根据_________个等量关系列出方程组；
（4）解方程组：
利用__________法或___________解出未知数的值；
（5）检验并答：
检验所求的解是否符合实际意义，然后作答.
探究点2：
列方程组解决几何问题
问题1：
据统计资料，甲、乙两种作物的单位面积产量的比是1:
2．现要把一块长200m、宽100m的长方形土地，分为两块小长方形土地，分别种植这两种作物．怎样划分这块土地，使甲、乙两种作物的总产量的比是3:
4？
探究点3：
列方程组解决行程问题
问题1：
小华从家里到学校的路是一段平路和一段下坡路.假设他始终保持平路每分钟走60m，下坡路每分钟走80m，上坡路每分钟走40m，则他从家里到学校需10min，从学校到家里需15min.问小华家离学校多远？
典例精析
例2.甲、乙两人相距4km，以各自的速度同时出发.如果同向而行，甲2h追上乙；如果相向而行，两人0.5h后相遇.试问两人的速度各是多少？
针对训练
1.某城市规定：
出租车起步价所包含的路程为0～3km，超过3km的部分按每千米另收费.甲说：
“我乘这种出租车走了11km，付了17元.”乙说：
“我乘这种出租车走了23km，付了35元.”请你算一算：
出租车的起步价是多少元？
超过3km后，每千米的车费是多少元？
2.今有牛五、羊二，直金十两．牛二、羊五，直金八两．牛、羊各直金几何？
题目大意：
5头牛、2只羊共价值10两“金”；2头牛、5只羊共价值8两“金”.问每头牛、每只羊各价值多少“金”？
3.8块相同的小长方形地砖拼成一个大长方形，每块小长方形地砖的长和宽分别是多少?
（单位cm）
4.我国的长江由西至东奔腾不息，其中九江至南京约有450千米的路程，某船从九江出发9个小时就能到达南京；返回时则用多了1个小时.求此船在静水中的速度以及长江水的平均流速.
二、课堂小结
二元一次方程组的应用
步骤
1.审题：
弄清题意和题目中的数量关系
2.设元：
用_____表示题目中的未知数
3.列方程组:
根据__个等量关系列出方程组
4.解方程组：
代入法、加减法
5.检验作答
应用
几何问题
行程问题
【当堂检测】
1.计划若干节车皮装运一批货物.如果每节装15.5吨，则有4吨装不下，如果每节装16.5吨，则还可多装8吨.问有多少节车皮？
多少吨货物？
2.某班有40名同学看演出，购买甲、乙两种票共用去370元，其中甲种票每张10元，乙种票每张8元.请问甲种和乙种票各多少张？
3.课本中介绍我国古代数学名著《孙子算经》上有这样的一道题：
今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问鸡兔各多少只？
4.有甲、乙两数，甲数的3倍与乙数的2倍之和等于47，甲数的5倍比乙数的6倍小1，这两个数分别是多少？
5.甲、乙两店共有练习本200本，某月甲店售出19本，乙店售出97本后，甲、乙两店所剩的练习本数目相等，则甲店和乙店原有练习本各多少？
6.某船顺流航行36km用3h，逆流航行24km用3h，则水流速度和船在静水中的速度各是多少？
7.古有一捕快，一天晚上他在野外的一个茅屋里，听到外边来了一群人在吵闹，他隐隐约约地听到几个声音，下面有这一古诗为证：
隔壁听到人分银，不知人数不知银。
每人五两多六两，每人六两少五两。
多少人数多少银？
8.甲、乙两人都从A地到B地，甲步行，乙骑自行车，如果甲先走6千米乙再动身，则乙走
小时后恰好与甲同时到达B地；如果甲先走1小时，那么乙用
小时可追上甲，求两人的速度．
第2课时利用二元一次方程组解决较复杂的实际问题
【学习目标】：
1.会正确运用表格分析问题中的等量关系，会列二元一次方程组解决较复杂的实际问题，培养分析问题的能力.
2.自主学习，小组合作交流，通过构建等量关系解决实际问题.
3.积极参与，大胆质疑，感悟生活中的数学奥妙.
【重点】：
找到能表示应用题全部含义的等量关系.
【难点】：
根据等量关系列出方程组.
【自主学习】
一、知识链接
1.用方程组解决实际应用问题的一般步骤是什么？
【课堂探究】
要点探究
探究点1：
列方程组解决较复杂的实际问题
典例精析
例1.如图,长青化工厂与A，B两地有公路、铁路相连，这家工厂从A地购买一批每吨1000元的原料运回工厂，制成每吨8000元的产品运到B地.已知公路运价为1.5元/（吨·千米），铁路运价为1.2元/（吨·千米），这两次运输共支出公路运费15000元，铁路运费97200元，这批产品的销售款比原料费与运输费的和多多少元？
针对训练
一批货物要运往某地，货主准备用汽车运输公司的甲乙两种货车，已知过去两次租用这两种货车的情况如下表（两次两种货车都满载）：
第一次
第二次
甲种货车的车辆数（辆）
2
5
乙种货车的车辆数（辆）
3
6
累计运货吨数（吨）
15.5
35
现租用该公司3辆甲种货车和5辆乙种货车一次刚好运完这批货，如果按每吨付运费30元计算，你能算出货主应付运费多少元吗？
典例精析
例2.某村18位农民筹集5万元资金，承包了一些低产田地.根据市场调查，他们计划对种植作物的品种进行调整，改种蔬菜和荞麦.种这两种作物每公顷所需的人数和需投入的资金如下表：
作物品种
每公顷所需人数
每公顷投入资金/万元
蔬菜
5
1.5
荞麦
4
1
在现有情况下,这18位农民应承包多少公顷田地,怎样安排种植才能使所有人都参与种植,且资金正好够用？
针对训练
北京和上海都有某种仪器可供外地使用,其中北京可提供10台，上海可提供4台.已知重庆需要8台，武汉需要6台，从北京、上海将仪器运往重庆、武汉的费用如下表所示.有关部门计划用8000元运送这些仪器，请你设计一种方案，使武汉、重庆能得到所需仪器，而且运费正好够用.
典例精析
例3.某车间有22名工人，每人每天可以生产1200个螺钉或2000个螺母.1个螺钉需要配2个螺母，为使每天生产的螺钉和螺母刚好配套，应各安排多少名工人生产螺钉和螺母？
分析：
将题中出现的量在表格中呈现
产品类型
所需人数
生产总量
螺钉
x
螺母
y
二、课堂小结
【当堂检测】
1.某食品厂要配制含蛋白质15％的食品100kg，现在有含蛋白质分别为20％，12％的两种配料.用这两种配料可以配制出所要求的食品吗？
如果可以的话，它们各需多少千克？
2.一个工厂共42名工人,每个工人平均每小时生产圆形铁片120片或长方形铁片80片.已知两片圆形铁片与一片长方形铁片可以组成一个圆柱形密封的铁桶.你认为如何安排工人的生产,才能使每天生产的铁片正好配套?
3.某工地挖掘机的台数和装卸机的台数之和为21，如果每台挖掘机每天平均挖土750m3，每台装卸机每天平均运土300m3，正好能使挖出的土及时运走，问挖掘机有多少台？
装卸机有多少台？
4.李大叔销售牛肉干，已知甲客户购买了12包五香味的和10包原味的共花了146元，乙客户购买了6包五香味的和8包原味的共花了88元.
（1）现在老师带了200元，能否买到10包五香味牛肉干和20包原味牛肉干？
（2）现在老师想刚好用完这200元钱，你能想出哪些牛肉干的包数组合形式？
第八章二元一次方程组《8.3实际问题与二元一次方程组》同步训练
一、单选题（共15题；共30分）
1、中央电视台2套“开心辞典”栏目中，有一期的题目如图所示，两个天平都平衡，则三个球体的重量等于个正方体的重量（ ）
A、2
B、3
C、4
D、5
2、现有190张铁皮做盒子，每张铁皮可做8个盒身或22个盒底，一个盒身与两个盒底配成一个完整的盒子，设用x张铁皮做盒身，y张铁皮做盒底，则可列方程组为（ ）
A、
B、
C、
D、
3、已知一只轮船载重量是600吨，容积是2400m3，现在甲、乙两种货物待装，甲种货物每吨体积7m3，乙种货物每吨体积2m3，怎样装货物才能最大限度地利用船载重量和容积若设分别装甲、乙两种货物为x吨，y吨，于是可列方程组的是（ ）
A、
B、
C、
D、
4、已知一个两位数，它的十位上的数字x比个位上的数字y大1，若颠倒个位数字与十位数字的位置，得到的新数比原数小9，求这个两位数所列的方程组正确的是（ ）
A、
B、
C、
D、
5、有大小两种船，1艘大船与4艘小船一次可以载乘客46名，2艘大船与3艘小船一次可以载乘客57人。
某船家有3艘大船与6艘小船，一次可以载游客的人数为（ ）
A、129
B、120
C、108
D、96
6、根据以下对话，可以求得嫒嫒所买的笔和笔记本的价格分别是（ ）
A、0.8元/支，2.6元/本
B、0.8元/支，3.6元/本
C、1.2元/支，2.6元/本
D、1.2元/支，3.6元/本
7、某单位组织34人分别到井冈山和瑞金进行革命传统教育，到井冈山的人数是到瑞金的人数的2倍多1人，求到两地的人数各是多少？
设到井冈山的人数为x人，到瑞金的人数为y人。
下面所列的方程组正确的是（ ）
A、
B、
C、
D、
8、某年级学生共有246人，其中男生人数
比女生人数
的2倍少2人，则下面所列的方程组中符合题意的有（ ）
A、
B、
C、
D、
9、如图，AB⊥BC，∠ABD的度数比∠DBC的度数的两倍少15°，设∠ABD和∠DBC的度数分别为x°、y°，那么下面可以求出这两个角的度数的方程组是（ ）
A、
B、
C、
D、
10、在文具店里，王伟买5本笔记本，3支钢笔，老板少拿2元，只要50元．李明买了11本笔记本，5支钢笔，老板以售价的九折优待，只要90元．若笔记本每本x元，钢笔每支y元，则下列能够表示题目中的数量关系的二元一次方程组为（ ）
A、
B、
C、
D、
11、从甲地到乙地有一段上坡与一段平路．如果保持上坡每小时走3km，平路每小时走4km，下坡每小时走5km，那么从甲地到乙地需54min，从乙地到甲地需42min．设从甲地到乙地上坡与平路分别为xkm，ykm，依题意，所列方程组正确的是（ ）
A、
B、
C、
D、
12、如图，宽为50cm的长方形图案由10个全等的小长方形拼成，其中一个小长方形的面积为（ ）
A、400cm2
B、500cm2
C、600cm2
D、300cm2
13、某中学现有学生500人，计划一年后女生在校生增加3%，男生在校生增加4%，这样，在校学生将增加3.4%，那么该校现有女生和男生人数分别是（ ）
A、300和200
B、200和300
C、180和320
D、320和180
14、一汽艇顺流航行36千米与逆流航行24千米的时间都是3小时，如果设汽艇在静水中的速度为每小时x千米，水流速度为每小时y千米，那么下面所列方程正确的是（ ）
A、
B、
C、
D、
15、同学们喜欢足球吗足球一般是用黑白两种颜色的皮块缝制而成，如图所示，黑色皮块是正五边形，白色皮块是正六边形．若一个球上共有黑白皮块32块，请你计算一下，黑色皮块和白色皮块的块数依次为（ ）
A、16块、16块
B、8块、24块
C、20块、12块
D、12块、20块
二、填空题（共5题；共5分）
16、一轮船在静水中的速度是30千米/小时，顺水速度是逆水速度的3倍，则水流速度________ 千米/小时．
17、端午节时，王老师用72元钱买了荷包和五彩绳共20个，其中荷包每个4元，五彩绳每个3元．设王老师买荷包x个，五彩绳y个，根据题意，列出的方程组为________
18、某校运动员分组训练，若每组7人，余3人；若每组8人，则缺5人．设运动员人数为x人，组数为y组，可列方程组为________
19、为庆祝抗日战争胜利70周年，某校初一
（1）班举行了主题班会，有20名同学共做了52张纪念卡，其中女生每人做3张，男生每人做2张．问女生和男生各有几人做纪念卡．设女生有x人，男生有y人，根据题意，可列方程组为________．
20、某次地震期间，为了紧急安置60名地震灾民，需要搭建可容纳6人或4人的帐篷，若所搭建的帐篷恰好（即不多不少）能容纳这60名灾民，则不同的搭建方案有________ 种．
三、计算题（共1题；共10分）
21、暑假期间，部分同学准备开展社会实践活动，决定外出调研某名胜风景点的环境污染情况，为此需在风景点周边住一晚．某旅店只有二人间和三人间两种房型，二人间每晚需50元，三人间每晚需60元
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