江苏省苏州市高中数学 第三章 概率 331 几何概型教.docx

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江苏省苏州市高中数学第三章概率331几何概型教

几何概型

一、教材分析

教材的地位和作用

“几何概型”是继“古典概型”之后的第二类等可能概率模型，在概率论中占有相当重要的地位，是等可能事件的概念从有限向无限的延伸，是为更广泛的满足随机模拟的需要而新增加的内容，这充分体现了数学与实际生活的紧密关系。

《几何概型》共安排2课时,本节课是第1课时，注重概念的建构和公式的应用，为第二课时的几何概型的应用以及体会随机模拟中的统计思想打下基础。

教学重点与难点

重点：

掌握几何概型的判断及几何概型中概率的计算公式。

难点：

在几何概型中把实验的基本事件和随机事件与某一特定的几

何区域及其子区域对应，确定适当的几何测度。

通过数学建模解决实际问题。

[理论依据]本课是一节概念新授课，因此把掌握几何概型的判断及几何概型中概率的计算公式作为教学重点。

教学难点是在几何概型中把实验的基本事件和随机事件与某一特定的几何区域及其子区域对应，确定适当的几何测度。

此外，学生通过数

学建模

解决实际问题也较为困难，因此也是本节课的难点。

二、教学目标

[知识与技能目标]

（1）体会几何概型的意义。

（2）了解几何概型的概率计算公式

[过程与方法目标]

通过古典概型的例子，稍加变化后成为几何概型，从有限个等可能结果推广到无限个等可能结果，让学生经历概念的建构这一过程，感受数学的拓广过程。

通过实际应用，培养学生把实际问题抽象成数学问题的能力，感知用图形解决概率问题的方法。

[情感与态度目标]

体会概率在生活中的重要作用，感知生活中的数学，激发提出问题和解决问题的勇气，培养其积极探索的精神。

三、教学方法，教学模式，教学手段

本节课采用以引导发现为主的教学方法，以归纳启发式作为教学模式，结合多媒体辅助教学。

四、学法指导

通过合作交流，类

比联想，归纳化归，总结提升，让学生在学习中学会怎样发现问题、分析问题、解决问题。

五、教学过程

教学环节

教学内容

设计意图

以

境

激

情

，

形

成

概

念

建

构

概

念

[情境一]

情境一：

飞镖游戏：

如图所示，规定

射中红色区域表示中奖

问题：

各个圆盘的中奖概率各是多少？

（1）

（2）

（3）

[情境二]

问题1：

在区间[0，9]上任取一个整数，恰好

取在区间[0，3]上的概率为多少？

问题2：

在区间[0，9]上任取一个实数，恰好

取在区间[0，3]上的概率为多少？

对课本通过等分猜想引入几何概型的改造，通过学生猜想依次得到概率。

首先是将圆盘五等分，概率的求解十分容易，预计学生可能将飞镖分别射在五个相同的扇形区域作为五个等可能基本事件，从而概率的求解仍然停留在古典概型上。

第二种圆盘的三块区域圆心角之比为1:

2:

3。

圆盘

（2）的求解虽然可以由等分的观点得到答案，但图形淡化了等分。

第三种圆盘两圆的半径之比为1:

2，实现了完全的面积化，古典概型已经完全淡出了学生的思考范围。

在这一情境中，以学生为主体的直观知识进行猜想，设置三个环节创造性的使用教材，通过三个圆盘的变化，逐步实现从有限到无限，从古典概型到几何概型的过渡，让学生感受数学的拓广过程。

同时在这一情境中，首先在学生的思维里呈现面积这一几何测度。

[情境二]的设置是从学生熟悉并且容易解决的一个古典概型问题，稍加修改，转变成为一个几何概型的问题，进一步从等可能性、无限性两方面来区别古典概

型与几何概型，深化学生对几何概型意义的体会，同时在学生的思维里呈现长度这一几何测度。

几何概型的概念

如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度（面积或体积）成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称为几何概型.

几何概型中事件A的概率计算公式

基于[情境一]和[情境二]的分析，不难引导学生得到几何概型的概念，并从两个几何概型概率问题的解决过程中归纳概括得到几何概型中的概率计算公式。

这一概念的形成过程符合学生“研究新问题——产生内在需求——解决新问题”的认知规律。

而归纳是一种重要的推理方法，由具体结论归纳概括出定义能使学生的感性认识升华到理性认识，培养学生从特殊到一般的认知方法，实现体会几何概型的意义和了解几何概型概率公式的知识与技能目标。

在这一情境中，用生动的图形，动态演示，比较变化，向学生展现几何概型中随机事件的概率大小只与该区域的长度（面积或体积）成比例，易于学生理解和接受同时令学生印象深刻。

[情境三]

如图所示的边长为2的正方形区域内有一个面积为1的心形区域,现将一颗豆子随机地扔在正方形内计算它落在阴影部分的概率（不计豆子的面积且豆子都能落在正方形区域内）

[情境四]

请问飞镖射中靶心A的概率是多少

A

为了揭示概率与事件发生可

能性的内在联系，我在[情境四]设置了这样一个问题。

这个问题的难点在于点的面积。

为此我借助动画，让红色圆面的半径不断缩短至靶心A点，直观的用极限思想解释了事件发生区域为一个点时

，半径为0，面积为0，从而突破了情境中的难点，而求解得出的结论恰恰与学生认知结构中概率为0是不可能事件发生了强烈冲突，极大的调动了学生的思考热情，通过这一矛盾冲突的解决，延伸发展，揭示出几何概型与古典概型的一大区别，升华了学生的认识，实现了发现问题、积极探索、解决问题的情感目标。

情境一到情境四分步骤抓住教学重点，逐步深化几何概型的意义和内涵，从而达到建构和完善学生认知结构的目的。

配合表格的完成和说明，帮助学生梳理概念，加深印象。

剖

析

例题

，

深

化

巩

固

例题1：

在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1的棱AB上任取一点P，则点P到点A的距离小于

等于1的概率为

变式1：

在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1的面AA1B1B上任取一点P，则点P到点A的距离小于等于1的概率为

变式2：

在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中任取一点P，则点P到点A的距离小于等于1的概率为

辨析：

如图所示，正方体容器内倒置一个圆柱形容器，随机向正方体容器内投掷一颗豆子（假设豆子都能落在正方形A1B1C1D1区域内且豆子面积不计）.

试问：

豆子落入圆锥形容器内的概率是多少？

辨析变式：

如图所示，正方体容器内倒置一个圆锥形容器，随机向正方体

容器内投掷一颗豆子（假设豆子都能落在正方形A1B1C1D1区域内且豆子面积不计）.

试问：

豆子落入圆锥形容器内的概率是多少？

例题2：

设点P是三角形ABC内部的一点，

当P点运动时，试求S△PBC≤

S△ABC的概率.

几何概型的概率公式中，几何测度的选择是本节课的难点之一，为了突破这一难点，我设计以下三个同例变式通过解决三个具体问题，让学生经历公式的应用过程，三个例子形成梯度分散难点，逐步拓展学生的想象空间，逐一呈现了公式中的三个几何测度。

同时将多媒体技术与课堂教学有机整合，提高课堂效率，教学目的性明确，实现掌握几何概型概率公式的目标，突破测度选择的教学难点。

本题有两个明显的几何测度：

面积与体积，在测度的选取上产生了认知冲突，利用实物模型做实验，逐步引导学生做出正确的测度选择。

本例题作为一道测度选择的辨析题，能够进

一步提高学生选择测度的能力。

本例题的设置目的在于让学生利用已有知识，转化问题，找到满足条件的P点所在的区域，经历基本事件发生区域的寻找过程，回归公式应用的前提，确定构成事件A发生的几何区域。

实

际

应

用

，

建

立

模

型

例题3：

某人午觉醒来,发现表停了,他打开收音机,想听

电台整点报时,求他等待的时间不多于10分钟的概率.

全部结果构成的区域：

[0,60]

构成事件的区域：

[50,60]

从实际问题中建立数学模型，抽象数学语言和符号，是高中数学学习的一大难点。

将得出的科学结论用于解决实际问题，有利于进一步巩固获得的知识，发展数学能力。

例题3是关于数学建模的一道实际应用题。

首先我分解本题的两个难点。

难点是基本事件的确定，难点二是几何测度的优化选择。

针对难点一，我利用实物，通过实验得出结论，突破难点。

确定了构成事件的区域后，由于钟表外观具有明显的几何特征，我预计学生可能会选择弧长、圆心角、甚至扇形面积等作为测度，当然都可以得到问题的解决，而当以角度作为变量时，弧长和面积均与角度成正比关系，故这三种测度的选择在本质上是相同的。

为了让学生对这一实际问题的本质有进一步的认识，优化测度选择，我圆盘形钟表换成了电子钟，突破课本的设计理念，引导学生认识到弧长、角度、面积这些测度本质上就是时间区域的长度，从形到数的转变，实现了测度的优化选择，揭示出数学的本质，突破了难点二。

梳

理

知

识

，

归

纳

总

结

概念、知识点表格

在这一环节，通过学生回顾，教师加以适当总结和提炼，突出本节课的重点，加深学生对所学知识的印象。

同时注重引导学生对解题思路和方法的总结，让学生知道理解概念是关键，掌握公式是前提，实际应用是深化。

分

层

作

业

，

启

迪

升

华

1、探究题：

甲、乙、丙三人做游戏，游戏规则如下：

要将一枚质地均匀的铜板扔到一个小方块上，已知铜板的直径是方块边长的1/2，谁能将铜板完整的扔到这块方块上就可以晋级下一轮。

已知，甲一扔，铜板落在小方块上，且没有掉下来，问他能晋

级下一轮的概率有多大？

2、必做题：

P142A组1、2

3、选做题：

如图所示，

在等腰直角三角形ABC中，在线段AB上取一点M，求AM

变式：

过直角顶点C在ABC内部作一条射线CM，与线段AB交于点M，则AM

作业的布置采取分层作业，分为必做题，目的在于区别古典概型与几何概型，熟悉几何概型计算公式；选做题是关于巩固测度选择的练习；探究题，让学有余力的学生课后思考。

设置分层作业目的在于巩固概念落实基础的同时，利用弹性作业使不同层次的学生都有所收获。

六、评价分析

1、评价教学目标的完成情况

本节课创造性的使用教材，揭示矛盾，创设问题的情境，在问题情境中让古典概型自然地向几何概型的过渡，抓住了几何概型与古典概型的几大本质区别，让学生获得新知的同时体会了数学知识的拓广过程。

例题设置变式拓展，层层递进，突破教材设计理念，结合多媒体和实物模型的使用，形象直观，丰富课堂形式，

实现掌握重点突破难点的目的以达到更好的教学效果。

同时注重各种数学思想方法的渗透。

最后以生活中的实例结束，让学生认识到数学源于生活，又应用于生活，生活中处处有数学。

2、评价学生的基础知识、基本技能和发现问题、解决问题的能力

教学过程注意观察学生是否置身于数学学习活动中，是否精神饱满、兴趣浓厚、探究积极，通过学生回答问题，学生举例，归纳总结等方面反馈学生对知识的理解、运用，教师根据反馈信息适时点拨，同时从新课标评价理念出发，鼓励学生发表自己的观点、给学生表达、交流思想的机会，充分质疑，并抓住学生在语言、思想等方面的的亮点给予表扬，树立自信心。