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运筹学习题

1．线性规划数学模型的结构及各要素的特征。

2．什么是线性规划问题的标准型式，如何将一个非标准型的线性规划问题转化为标准型式。

3．试说明线性规划问题的可行解、基解、基可行解、最优解的概念以及上述解之间的相互关系。

4．如何从单纯形表上来判别该线性规划问题具有唯一最优解、无穷多个最优解、无界解或无可行解。

5．判断下列说法是否正确：

√

（1）图解法同单纯形法虽然求解形式不同，但从几何上理解，两者是一致的；

√

（2）线性规划模型中增加一个约束条件，可行域的围一般将缩小，减少一个约束条件，可行域的围一般将扩大；

×（3）线性规划问题的每一个基可行解对应于可行域的一个顶点，如果线性规划问题存在最优解，则最优解一定对应可行域边界上的一个点；

√（4）用单纯形法求解标准型式的线性规划问题时，检验数j0对应的非基变量xj都可以被选作为换入变量；

×（5）在单纯形法计算中，选取最大正检验数k对应的变量xk作为换入变量，将使目标函值得到最快的增长；

√（6）一旦一个人工变量在迭代中变为非基变量后，该变量及相应列的数字可以从单纯形表中删除，而不影响计算结果；

×（7）线性规划问题的任一可行解都可以用全部基可行解的线性组合来表示；

×（8）X1、X2分别是某线性规划问题的最优解，则X=1X1+2X2也是该线性规划问题的最优解，其中1、2为正的实数；

×（9）有n个变量、m个约束条件的标准型线性规划问题，其可行域的顶点恰好为Cnm个。

√（10）在单纯形法计算中，如不按最小比值原则选取换出变量，则在下一个解中至少有一个基变量的值为负；

√（11）任何线性规划问题存在并具有唯一的对偶问题；

√（12）对偶问题的对偶问题一定是原问题；

√（13）线性规划的原问题有无穷多个最优解，则其对偶问题也一定具有无穷多个最优解；

√（14）已知yi*>0为线性规划问题的对偶问题的最优解，若yi*>0，则说明在最优生产计划中第i种资源已完全耗尽；

×（15）已知yi*为线性规划问题的对偶问题的最优解，若yi*=0，则说明在最优生产计划中第i种资源一定有剩余；（参考下面的举例说明）

×（16）若某种资源的影子价格等于k>0，在其他条件不变的情况下，当该种资源增加5个单位时，相应的目标函数值将增大5k；（参考下面的举例说明）

√（17）当用对偶单纯形算法求解线性规划时，若单纯形表中某一基变量xi<0，又xi所在行的元素全部≥0，则可以判断出其对偶问题具有无界解；

×（18）线性规划问题中的bi、cj值同时发生变化，反映到最终单纯形表中，不会出现原问题与对偶问题均为非可行解的情况；

√（19）在线性规划问题的最优解表中，如某一变量xj为非基变量，则在原问题中，无论改变它在目标函数中的系数cj或在各约束条件中相应的技术系数aij，反映到最终单纯形表中，除该列数字有变化外，将不会引起其他列数字的变化。

（15）结论是错误的，现举例如下：

利用单纯形法求解如下：

[4]

检验数

[1]

-1/2

1/4

检验数

-3/4

-1/2

-4

[2]

1/4

检验数

-2

1/4

-2

1/2

-1/8

检验数

-1

-2

即原问题的最优解为（x1，x2，x3，x4，x5）=（4，2，0，0，0），

对偶问题的最优解应对应于原问题松弛变量x3，x4，x5的检验数，所以为：

（y1，y2，y3）=（2，0，0）。

此时y2=0，y3=0，其对应原问题最优解x1=4，

x2=2，下的后两种资源已全部用完并无剩余。

（16）结论是错误的，现举例如下：

对于上述问题，最优解为x1=4，x2=2，第一种资源即机器台时的影子价格为y1=2>0，现在我们增加5个机器台时，则上述问题变成：

我们仍然利用单纯形算法求解此问题得如下表：

[4]

检验数

-1/2

[4]

1/4

检验数

-3/4

-1/4

-1/2

1/4

检验数

-1/2

-3/4

即原问题的最优解为（x1，x2，x3，x4，x5）=（4，2，5，0，0），最优目标函数值仍然为Z=2×4+3×3=14≠14+y1×5=14+2×5=24。

（20）运输问题是一种特殊的线性规划模型,因而求解结果也可能出现下列情况之一：

有唯一最优解、有无穷多最优解、无界解和无可行解；（×）

（21）在运输问题中，只要给出一组含（m+n–1）个非负的{xij}，且满足

，

，就可以作为一个初始基可行解；（×）

（22）表上作业法实质上就是求解运输问题的单纯形法；（√）

（23）按最小元素法（或伏格尔法）给出的初始基可行解，从每一空格出发可以找出而且仅能找出唯一的闭回路；（√）

（24）如果运输问题的单位运价表的某一行（或某一列）元素分别乘上一个常数k，最优调运方案将不会发生变化；（×）

（25）如果运输问题的单位运价表的某一行（或某一列）元素分别加上一个常数k，最优调运方案将不会发生变化；（√）

（26）当所有产地产量和销地的销量均为整数时，用表上作业法求得的运输问题的最优解也为整数解。

（√）

二应用题：

2.1已知某工厂计划生产I、II、III三种产品，各产品需要在A、B、C三种设备上加工，各有关数据见如下表，试回答：

（1）如何充分发挥设备能力，使生产盈利最大？

（2）若为了增加产量，可借用别的工厂的设备B，每月可借用60台时，租金为1.8万元，问借用设备B是否合算？

（3）若另有两种新产品IV、V，其中IV需用设备A—12台时，B—5台时，C—10台时,单位产品盈利2.1千元；V需用设备A—4台时，B—4台时，C—12台时,单位产品盈利1.87千元。

如果A、B、C三种设备台时不增加，分别回答这两种新产品投产在经济上是否合算？

（4）若对产品工艺重新进行设计和结构改造，而改进后生产每件产品I需用设备A—9台时，设备B—12台时，设备C—4台时,单位产品盈利4.5千元，问这对原计划有何影响？

III

设备有效台时（每月）

300

400

420

单位产品利润（千元）

2.9

解：

设每月生产产品I、II、III的数量分别为x1、x2、x3。

依题意，本问题的线性规划模型为：

（1）利用单纯形法求解如下：

300

[8]

400

420

检验数

2.9

37.5

0.25

1.25

0.125

[2.5]

-4.5

-1.25

345

12.5

7.5

-0.25

检验数

1.25

-0.85

-0.375

1.7

0.25

-0.1

-1.8

-0.5

0.4

220

[30]

-5

检验数

1.4

0.25

-0.5

338/15

-9/100

11/60

-17/300

116/5

-7/50

1/10

3/50

2.9

22/3

1/5

-1/6

1/30

检验数

-3/100

-4/15

-7/150

即原问题的最优解为（x1，x2，x3，x4，x5）=（338/15，116/5，22/3，0，0）。

目标函数的最优值为：

Z=3×338/15+2×116/5+2.9×22/3=135.27（千元）。

对偶问题的最优解应对应于原问题松弛变量x4，x5，x6的检验数，所以为：

（y1，y2，y3）=（3/100，4/15，7/150）。

（2）

503/15

-9/100

11/60

-17/300

146/5

-7/50

1/10

3/50

2.9

-8/3

1/5

[-1/6]

1/30

检验数

-3/100

-4/15

-7/150

153/5

11/10

13/100

-1/50

138/5

3/5

-1/50

2/25

-6

-6/5

-1/5

检验数

-8/5

-7/20

-1/10

这时的最优解为：

（x1，x2，x3，x4，x5）=（153/5，138/5，0，0，16）。

目标函数的最优值为：

Z=3×153/5+2×138/5=147，147-18=129<135.27（千元）；故这时借用设备B不合算。

（3）假设新增两种新产品IV、V，他们的数量分别为x4/，x5/，它们的技术向量为：

，增加第IV种新产品的生产不会使总利润增加，因此，在经济上是不合算的；又

，在原问题最优单纯形表中增加一列得下表：

x5/

338/15

-9/100

11/60

-17/300

-23/75

116/5

-7/50

1/10

3/50

14/25

2.9

22/3

1/5

-1/6

1/30

[8/15]

检验数

-3/100

-4/15

-7/150

37/300

x5/

107/4

23/40

1/40

7/80

-3/80

31/2

-21/20

-119/

160

11/40

1/40

1.87

x5/

55/4

15/8

3/8

-5/16

1/16

检验数

-37/

160

-61/

800

-73/

320

-87/

1600

这时的最优解为：

（x1，x2，x3，x4，x5，x6，x5/）=（107/4，31/2，0，0，0，0，55/4）。

目标函数的最优值为：

Z=3×107/4+2×31/2+1.87×55/4=136.96>135.27（千元）。

此时，增加第V种产品的生产在经济上是合算的。

（4）

假设工艺重新进行设计和结构改造后产品I的产量为x1/，计算：

又

，所以在原问题最优单纯形表中增加一列得下表：

x1/

338/15

-9/100

11/60

-17/300

[349/300]

116/5

-7/50

1/10

3/50

9/50

2.9

22/3

1/5

-1/6

1/30

-1/15

检验数

-3/100

-4/15

-7/150

253/300

x1/

4.5

x1/

6760/

349

-27/349

55/349

-17/349

6880/

349

-44/349

25/349

24/349

2.9

3010/

349

[68/349]

-109/

698

21/698

检验数

123/

3490

-2789/

6980

-39/

6980

x1/

4.5

x1/

775/34

27/68

0.22

0.037

430/17

22/34

-1/34

3/34

1505/

349/68

-109/

136

21/136

检验数

-123/

680

-101/

272

-0.015

这时的最优解为：

（x1/，x2，x3，x4，x5，x6）=（775/34，430/17，0，0，0，0）。

目标函数的最优值为：

Z=4.5×775/34+2×430/17=153.16>135.27（千元）。

改进结构后，只生产产品I、II，盈利更多。

2.2．一贸易公司专门经营某种杂粮的批发业务。

公司线有库容为5000担的仓库。

一月一日，公司拥有库存1000担杂粮，并有资金20000元。

估计第一季度杂粮价格如表—1所示：

表—1

进货价格（元）

出货价格（元）

一月

2.85

3.10

二月

3.05

3.25

三月

2.90

2.95

如买进的杂粮当月到货，但需要到下月才能卖出，且规定“货到付款”。

公司希望本季末库存为2000担，问应采取什么样的买进与卖出的策略使三个月总的获利最大？

（列出求解的线性规划模型，不用求解）

提示：

三个存货限制，三个库容限制，三个资金限制，一个期末库存限制。

2.3某农场有100公顷土地及15000元资金可用于发展生产。

农场劳动力情况为秋冬季节3500人日，春夏季节4000人日，如劳动力本身用不了时可外出打工，春夏季收入为2.1元/人日，秋冬季收入为1.8元/人日。

该农场种植三种作物：

大豆、玉米、小麦，并饲养奶牛和鸡。

种作物时不需要专门投资，而饲养动物时每头奶牛投资400元，每只鸡投资3元。

养奶牛时每头需拨出1.5公顷土地种饲草，并占用人工秋冬季为100人日，春夏季为50人日，年净收入400元/每头奶牛。

养鸡时不占用土地，需人工为每只鸡秋冬季需0.6人日，春夏季为0.3人日，年净收入为2元/每只鸡。

农场现有鸡舍允许最多养3000只鸡。

牛栏允许最多养32头奶牛。

三种农作物每年需要的人工及收入情况如表—2所示。

表—2

大豆

玉米

小麦

秋冬季需人日数

春夏季需人日数

年净收入（元/公顷）

175

300

120

试决定该农场的经营方案，使年净收入为最大。

（建立线性规划模型，不求解）

提示：

1个土地限制、1个资金限制、2个劳动力限制、1个牛栏限制、1个鸡舍限制

2.4市场对I、II两种产品的需求量为：

产品I在1——4月每月需10000件，5——9月每月

需30000件，10——12月每月需100000件；产品II在3——9月每月需15000件，其它月份每月需50000件。

某厂生产这两种产品成本为：

产品I在1——5月生产每件5元，6——12月生产每件4.50元；产品II在1——5月生产每件8元，6——12月生产每件7元。

该厂每月生产两种产品能力总和应不超过120000件。

产品I容积每件0.2立方米，产品II容积每件0.4立方米，而该厂仓库容积为15000立方米，要求：

（a）说明上述问题无可行解；（b）若该厂仓库不足时，可从外厂借。

若占用本厂每月每平方米库容需1元，而租用外厂仓库时上述费用增加为1.5元，试问在满足市场需求情况下，该厂应如何安排生产，使总的生产加库存费用为最少。

（建立模型，不需求解）

提示：

2.5对某厂I、II、III三种产品下一年各季度的合同预订数如表——3所示。

表—3

产品

季度

1500

1000

2000

1200

1500

1200

1500

III

1000

2000

1500

2500

该三种产品1季度初无库存，要求在4季度末各库存150件。

已知该厂每季度生产工时为15000小时，生产I、II、III产品每件分别需要2、4、3小时。

因更换工艺装备，产品I在2季度无法生产。

规定当产品不能按期交货时，产品I、II每件每迟交一个季度赔偿20元，产品III赔10元；又生产出来产品不在本季度交货的，每件每季度的库存费用为5元。

问该厂应如何安排生产，使总的赔偿加库存的费用为最小。

（要求建立模型，不需要求解）

提示：

设xij为第j季度生产的产品i的数量，sij代表j季度需库存的产品i的数量，fij为第j季度末交货的产品i的数量，rij为第j季度对产品i的预订数，则有：

2.6厂生产I、II两种食品，现有50名熟练工人，已知一名熟练工人每小时可生产10千克食品I或6千克食品II。

据合同预订，该两种食品每周的需求量急剧上升，见表——4。

为此该厂决定到第8周末需培训出50名新的工人，两班生产。

已知一名工人每周工`作40小时，一名熟练工人用两周时间可培训出不多于三名新工人（培训期间熟练工人和培训人员均不参加生产）。

熟练工人每周工资360元，新工人培训期间每周工资120元，培训结束参加工作后每周工资240元，生产效率同熟练工人。

在培训的过度期间，很多熟练工人愿意加班工作，工厂决定安排部分工人每周工作60小时，工资每周540元。

又若预订的食品不能按期交货，每推迟交货一周的赔偿费为食品I——0.5元/千克，食品II——0.6元/千克。

在上述各种条件下，工厂应如何作出全面安排，使各项费用的总和为最小。

（建立模型，无需求解）

表—4单位：

吨/周

周次

食品

7.2

8.4

10.8

提示：

设xi，yi分别为第i周用于生产食品Ⅰ和Ⅱ的工人数；zi为第i周加班工作的工人数；wi为从i周开始抽出来培训新工人的原来工人数；ni为从i周起开始接受培训的新工人数；fi1和fi2分别为第i周末未能按期交货的食品Ⅰ和Ⅱ的数量；ri1和ri2分别为第i周对食品Ⅰ和Ⅱ的需求量，则有：

2.8如表所示的运输问题中，若产地i有一个单位物资未运出，则将发生存储费用。

假定1、2、3产地单位物资的存储费用分别为5、4和3。

又假定产地2的物资至少运出38个单位，产地3的物资至少运出27个单位，试求解此运输问题的最优解。

销地

产地

产量

销量

提示：

增加假想地D，销量为20。

将产地分别列为1，2，2'，3'，其中2'，3'的物资必须全部运出，不可以分给D，，如下图，再用表上作业法求出最优解。

销地

产地

产量

销量

2.8已知A1，A2，A3三个矿区可分别供应煤炭200，300，400（万吨/年）。

下述地区需调入煤炭：

B1：

100——200万吨/年，B2：

200——300万吨/年，B3：

为不低于200万吨/年，最高不限，B4：

180——300万吨/年，已知单位运价表如表——6所示。

如要求把所有煤炭分配出去，满足上述需求，又使总运费为最少的调运方案，试列出用运输问题模型求解时的产销平衡表及单位运价表（不必求解）。

表—6

销地

产地

2.9用匈牙利算法求解下述指派问题，已知效率矩阵分别如下：

（a）

（b）

提示：

（a）最优指派方案为X13=X22=X34=X41=1,最优值为48.

（b）最优指派方案为X15=X23=X32=X44=X51=1,最优值为21.

2.10分配甲、乙、丙、丁四个人去完成五项任务。

每人完成任务的时间如表——7所示。

由于任务数多于人数，故规定其中有一人可兼完成两项任务，其余三人每人完成一项。

试确定总花费时间为最少的指派方案。

表—7

任务

人

甲

乙

丙

丁

提示：

加上假设的第五个人是戊，她完成各项工作的时间取甲乙丙丁中最小者，如下表

任务

人

甲

乙

丙

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